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文档简介

一、案例

二、知识要点

三、应用5.4一阶线性微分方程一、案例

求微分方程

的通解．

二、知识要点1、一阶线性微分方程的概念

【定义5.4.1】形如

（5.4.1）的微分方程，称为一阶线性微分方程．其中，与都是已知的连续函数，称为自由项．微分方程中所含未知函数及其导数是一次的，且不含与的乘积．当时，（5.4.1）式称为一阶线性非齐次微分方程．当时，即

称为与一阶线性非齐次微分方程（5.4.1）相对应的一阶线性齐次微分方程．

对于形如（5.4.1）式的一阶线性非齐次微分方程可用如下的

常数变易法求解．（5.4.2）2、一阶线性微分方程的解法首先，求一阶线性齐次微分方程（5.4.2）的通解．方程（5.4.2）是可分离变量的微分方程．分离变量，积分得由此得通解其次，求一阶线性非齐次微分方程（5.4.1）的通解．将一阶线性齐次微分方程（5.4.2）的通解中的常数换成的未知函数这里是一个待定的函数，即设一阶线性非齐次微分方程（5.4.1）有如下形式的解（5.4.3）将其代入非齐次线性微分方程（5.4.1），它应满足该微分方程，由此可以确定把上式及其导数代入微分方程（5.4.1）可得化简得两端积分得于是，一阶线性非齐次微分方程（5.4.1）的通解为（5.4.4）或（5.4.5）在（5.4.5）中，第一项是齐次微分方程（5.4.2）的通解；第二项是非齐次微分方程（5.4.1）的一个特解．若将（5.4.5）式的第一项记做；第二项记做，则非齐次微分方程（5.4.1）的通解为

三、应用【例题5.4.1】求方程的通解．

解

这是一阶线性非齐次微分方程，其中因为所以通解为【练习5.4.1】求方程的通解．解

这是一阶线性非齐次微分方程，其中因为所以通解为【例题5.4.2】求微分方程的通解．解这是一阶线性非齐次微分方程，其中首先，求与所给方程相对应的齐次线性微分方程的通解.分离变量，积分得由此可得通解

其次，求所给非齐次微分方程的通解．设其通解具有如下形式求导，得将和的表达式代入方程可得化简得两端积分得于是，原微分方程的通解是【练习5.4.2】求方程的特解．解先将方程化为一阶线性非齐次微分方程标准形式：满足条件其中因为所以通解为将代入上式得故原方程的特解为的通解．【练习5.4.3】求方程解将

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