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文档简介

第五模块微分方程

5.1微分方程的概念

5.2可分离变量的一阶微分方程

5.3

齐次微分方程

5.4

一阶线性微分方程

5.5微分方程的简单应用举例

5.6

微分方程模块习题课

一、案例

二、知识要点

三、应用5.1微分方程的概念解设这条曲线的方程为，则其中上式两端对进行积分，即，解得，将代入上式，解得。所以所求曲线方程为一、案例对（5.1.1）式两边积分，得对（5.1.2）式两边再积分，得其中C2也是任意常数．显然（5.1.3）式给出了s与t的函数关系。依题意初始位置和初始速度都为零，即将（5.1.5）式代入（5.1.2）式，可得C1=0；再将（5.1.4）式和C1=0代入（5.1.3）式，可得C2=0。于是，所求的了s与t的函数关系，即物体下落的运动方程为：分析上面的例题，可得到微分方程的一般概念：

凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程．

注意：微分方程中可以不显含自变量和未知函数，但必须显含未知函数的导数或微分．

因此，简单地说，含有未知函数的导数或微分的方程，叫做微分方程．二、知识要点未知函数是一元函数的方程，叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程．本模块只讨论常微分方程．微分方程的分类：

微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶阶数，叫做微分方程的阶．二阶和二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程．一般地，n阶微分方程的形式是

如果把一个函数及其导数代入微分方程后，能使微分方程成为恒等式，则称此函数为该微分方程的解．

如果微分方程的解中含有任意常数，且任意独立常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解；确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解．

用以确定通解中任意常数的条件通常称为初始条件．

求微分方程满足某初始条件的解的问题，称为微分方程的初值问题．【例题5.1.3】

验证：函数是微分方程的通解．解首先，求所给函数的一阶导数和二阶导数：三、应用将及x的表达式代入所给方程，得这表明函数满足二阶微分方程因此它是所给方程的解．例如：函数就是满足初值问题的解．解首先，求所给函数的导数：且满足初始条件：所以函数是满足初值问题的解．【练习5.1.1】

验证由二元方程确定的函数为微分方程的解．解首先，求所给函数的导数：将上式代人方程得这表明函数是微分方程的解．【练习5.1.2】

验证：函数是微分方程

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