高职数学课件 8.1-8.4 行列式

线性代数初步

8.1-8.3行列式的概念及运算一、二阶线性方程组与二阶行列式1、定义：考虑含有两个未知量x1，x2

的线性方程组§1二阶行列式与三阶行列式为求得上述方程组的解，可利用加减消元得到。直接用消元法解二元线性方程组方程组的解为由方程组的四个系数确定.(1)(2)(1)×a22

：(2)×a12

：两式相减消去x2,得类似地,消去x1,得当a11a22–a12a21≠

0时，

为了记忆该公式，引入记号并称之为二阶行列式．第二个下标

j称为列标，表示该元素所在的列．

第一个下标

i

称为行标，表示该元素所在的行，aij

的两个下标表示该元素在行列式中的位置，其中aij

称为行列式的(i,j)元素

或元素，主对角线副对角线行列式的展开式

例计算二阶行列式：(1)(2)258–4124–85解：(1)258–4=2·(–4)

–5·8=–48(2)124–85=12·5–4·(–8)=92解二元线性方程组方程组的解为时，当21122211¹0

-aaaa若记对于二元线性方程组系数行列式解二元线性方程组方程组的解唯一,且为记

时，当021122211¹-aaaa22211211aaaaD==DDx11=

方程组未知量的系数所构成的二阶行列式例

解二元线性方程组解方程组有唯一解.又于是方程组的解为2、利用二阶行列式解二元一次方程组定义记（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式

.

§2三阶行列式)5(333231232221131211aaaaaaaaa339列的数表行个数排成设有)6(,312213332112322311aaaaaaaaa---322113312312332211aaaaaaaaa++=(1)沙路法三阶行列式的计算.列标行标

§2三阶行列式(2)对角线法则

注意

红线上三元素的乘积以正号，蓝线上三元素的乘积以负号．(3)降阶法=2·4·(–1)+(–3)(–3)·3+2·1·(–1)–2·4·3–(–3)·1·(–1)–2·(–3)·(–1)=–8+27–2–24–3–6=–16例：计算三阶行列式解：D练习

计算三阶行列式解由对角线法，有

系数行列式解线性方程组：解=5于是将前面2元方程的方法直接推广,有

在n

阶行列式中，把元素aij

所在的第i

行和第j

列划去后，留下来的n–1阶行列式叫做元素aij

的余子式，记作Mij.

记Aij=(–1)i+jMij,叫做元素aij

的代数余子式.例如一、余子式与代数余子式§3行列式按行(列)展开行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式。中，元素a23的余子式及代数余子式的值.

651310223D---=例解

求出行列式二、行列式的降阶展开公式

D=a11A11+a12A12+···+a1nA1n

即n

阶行列式D等于它的第一行的各元素与其代数余子式乘积之和。=

一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式来看

§3行列式按行(列)展开

二、降阶展开公式

D=a11A11+a12A12+···+a1nA1n

例：用降阶法计算行列式解：直接套公式–(–2)+(–3)–(–4)=1–(–2)·2+(–3)·3–(–4)·(–4)=–20

系数行列式例：利用三阶行列式解线性方程组：解=5于是将前面2元方程的方法直接推广,有经检验确实为方程组的解.

§4定义n行列式

由n

阶行列式的定义可知，当n

较大时，用定义计算行列式运算量很大．例如，计算一20阶的行列式，需作1920!次乘法，若用每秒运算亿万次的电脑，也要算年才行！

为了解决这一问题，需先研究行列式的性质．本节主要介绍行列式的基本性质，运用这些性质，不仅可以简化行列式的计算，而且对行列式的理论研究也很重要．一千

因此如何有效地计算行列式，这是我们要解决的一个重要课题．考虑

D=称DT为D的转置行列式

.将它的行依次变为相应的列，得

DT=§5行列式的性质性质1

行列式与它的转置行列式相等.（D=DT）性质1行列式与它的转置行列式相等.（D=DT）

解例计算行列式D=DT

性质2

互换行列式的两行(列)，行列式值变号.推论

若行列式D的两行（列）完全相同，则D=0.性质3行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k，等于数k

乘以此行列式，即推论

(1)D中一行(列)所有元素的公因子可提到D的外面；(2)D中一行(列)所有元素为零，则D=0；(3)性质4D的两行(列)对应元素成比例，则D=0.记为

kri

(kci)记为ri

rj

(ci

cj)性质5若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同.即

性质6行列式D的某一行(列)的所有元素都乘以数k加到另一行(列)的相应元素上，行列式值不变.即=ri

+

krji行

j行

记为

ri

+

krj

(ci

+

kcj)例计算行列式解：原式=======5=302–300297–300203–200=9–18–16–12+36+6把第2列乘上（–100）加到第3列

c3

–100c2行列式与克莱姆法则

8.4复习：行列式的性质

n

阶行列式的性质（须重点记住以下3条）

1、每行可提公因子。

2、交换两行行列式变号。

3、用一个数乘上行列式某一行的所有元素分别加到另一行的对应元素上，行列式的值不变。D=DT

记住：如果三元线性方程组的系数行列式利用三阶行列式求解三元线性方程组

克莱姆(Cramer)法则

系数行列式记为得则三元线性方程组的解唯一，且为：一、解n

个未知数n

个方程的线性方程组的行列式法

克莱姆(Cramer)法则令D

为系数行列式D=D

j

为D

的第j

列用常数列替代的行列式则当D≠0时，这就是一种解线性方程组的方法:克莱姆(Cramer)法则例

解线性方程组解方程组的系数行列式所以方程组有唯一解，而第2行乘–1加到第1行所以方程组的解为注当线性方程组的系数行列式等于零时,不能应用克莱姆法则求解.二、n

个未知数n

个方程的齐次线性方程组

克莱姆(Cramer)法则一、解n

个未知数n

个方程的线性方程组的行列式法齐次线性方程组一定有解,至少有零解。于是由克莱姆法则当系数行列式D≠0时，只有零解。可得结论：(定理5)

系数行列式D≠0

齐次线性方程组只有零解。或：系数行列式D

=0

齐次线性方程组有非零解。x1=x2=···=xn=0例：判别齐次线性方程组的解的情况。解：∵D==0∴原方程有非零解。(2)∵D==–23≠

0∴原方程只有零解。例16问

为何值时，齐次线性方程组有非零解？解方程组的系数行列式为若方程组有非零解,则它的系数行列式D=0,

从而得

=2、

=5或

=8时,齐次线性方程组有非零解.=80–66

+15

2

–

3

=(2–

)(5–

)(8–

)练习

问齐次线性方程组x1+x2+x3+ax4=0x1+2x2+x3+x4=0x1+x2–3x3+x4=0x1+x2+ax3+bx4=0解：∵齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于0，而

D=

111a121111–3111a

b=

121111–31111a11a

b=(a+3)(a–1)–4(b–1)有非零解时，a,b必须满足什么条件？=

12110–1–400–10a–10–1a–1b–1=

–1–4004a–10a+3b–1=(a+1)2–4b

∴a，b必须满足的条件为：(a+1)2=4b.

n

阶行列式的定义本章小结

n

阶行列式的性质（须重点记住以下3条）

1、每行(列)可提公因子。

2、交换两行(列)行列式变号。

3、用一个数乘上行列式某一行(列)的所有元素分别加到另一行(列)的对应元素上，行列式的值不变。降阶展开公式

D