高职数学课件 1.3 1.4 1.5 极限的运算 法则_第1页
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文档简介

1.3极限的运算

法则定理

若,则（3）（1）（2）,则有(若)常数因子可以提到极限记号外面例1求解原式例2求解原式

例3

求解原式

例4

求

解原式

其中．的极限，有下面结论：一般地,对于有理函数（即两个多项式函数的商）例5下列做法是否正确?(1)解错.正确的为(2)解错.正确的为1.4极限存在准则及两个重要极限1.4.1极限存在准则1.4.2两个重要极限1.4.1极限存在准则准则1(单调有界有极限)若函数在区间内单调上升（或单调下降），且有界，则存在，（其中也可改为）．若函数在区间内单调上升（或单调下降），且有界，则存在，（其中也可改为）．准则2（两边夹准则）设函数在点的某去心邻域内满足：1.此极限也可记为：（式中□代表同一个变量）例1求解

1.4.2两个重要极限例3

求解例2求解

例4

求解

例5解2．

这里的是一个无理数2.71828182845904…，此极限也可记为（式中□代表同一变量）解

例6

求例7解例8解例9

求极限解当时，，这是一个“”未定型．于是，1.5无穷小量与无穷大量1.5.1无穷小量1.5.2无穷大量1.5.3无穷小量与无穷大量的关系例如:是当时的无穷小量是当时的无穷小量是当时的无穷小量定义1:在自变量的某一个变化过程中，如果函数的极限为零，那么，就称是的这个变化过程中的无穷小。1.5.1无穷小量1.无穷小量的概念注意:1.无穷小量是个变量,而不是数;2.一个函数是无穷小量,必须指明自变量的变化趋势;3.零是唯一可称为无穷小量的数。时,函数为无穷小

但时，

函数不是无穷小

如:2．无穷小的性质在自变量的同一变化过程中性质1有限个无穷小的代数和仍是无穷小。性质3有限个无穷小的乘积仍是无穷小。性质2有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。推论常数与无穷小的乘积仍是无穷小.例1

求为无穷小,解因为当时,因此当时,为无穷小量，所以≤又因为为有界量,考察下列极限，例如，当时都是无穷小而，，没极限这一事实反映了同一过程中如时各个的快慢程度.

小趋于无穷3、无穷小的比较（1）若为比高阶的无穷小,,则称（2）若，为常数,（3）若与定义2设是自变量的同一变化过程中的两个则在所论过程中：;无穷小,记作与为同阶无穷小;则称．

为等价无穷小,记作,则称与例如:是比当时,高阶的无穷小当时,与是同阶无穷小)()(()当时,与是等价无穷小(令,则,当时,,于是)的等价无穷小是当时,常见的等价无穷小:当时无穷小的等价代换定理

设在自变量的同一变化过程中，

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