高职数学课件 1.1函数

1.1函数1.1.1、一元函数1.1.2、基本初等函数1.1.3、复合函数与反函数1.1.4、初等函数第1章函数与极限1.1.1、一元函数1.函数的概念定义域记作自变量因变量都有唯一确定的值与则称变量是变量的函数,之对应,定义1是一个非空的实数集合，设个变量,若当变量在内任意给定一个数值时，变量按照一定的规律，和是两

当自变量注:如果两个函数具有相同的定义域和对应法则,那么它们是相同的函数.,函数值组成的数集称为函数的值域,取数值时,与对应的值称为函数的在点处的函数值,或记作.记为函数的两要素:定义域和对应法则例1

下列函数是否相同，为什么？解

⑴与不是相同的函数,因为定义域不同.⑵

与是相同的函数,因为定义域与对应法则都相同.(5)分段函数的定义域是各段定义域的并集.注

求函数定义域时应注意的一般规律(1)开偶次方,根号内的表达式不小于零;(2)对数中的真数必须大于零;(3)分式中的分母不能为零;(4)反正弦和反余弦符号下的表达式的绝对值不能大于1;（1）公式法2.函数的三种表示法自变量与因变量的关系用数学式子表示出来的方法称为公式法。例如已知某商品的总成本函数为：

其中与都是变量，是生产产品的数量，当变化时，商品的总成本函数也随着的变化而发生变化。（2）列表法自变量与因变量的关系用表格列出来的方法称为列表法。例如，某型号彩电单价为3100元，购买彩电的台数与付款金额的函数关系如下表所示：台数（台）12345款额（元）3100620093001240015500这就是函数的列表表示法。（3）图像法自变量与因变量的关系用表示出来的方法称为图像法。例如，需求函数与供给函数.,SDEQPQ=f(P)OP表示商品价格,Q表示需求量,供给量,E点为需求和供给平衡点．

如图.3、函数的几种特性(1)单调性使若对任意正数M,均存在称为有上界称为有下界当时,称为I

上的称为I

上的单调增函数;单调减函数.设函数且有区间(2)奇偶性且有若则称

f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.

说明:若在x=0有定义,为奇函数时,则当必有例如,

偶函数双曲余弦记注（1）奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于轴对称;（2）一个函数可以既不是奇函数,也不是偶函数,如函数.（3）偶（奇）函数的和或差仍为偶（奇）函数；（4）两个偶（奇）函数的积或商为偶函数；（5）一偶一奇两个函数的积或商为奇函数。(3)周期性且则称为周期函数

,若称

T

为周期(一般指最小正周期

).周期为

周期为注:

周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数(4)有界性使称使称说明:

还可定义有上界、有下界、无界为有界函数.在I

上有界.例1证明是以为周期的函数.证因为1.1.2基本初等函数1.基本初等函数

⑴幂函数(为实数);⑵指数函数(是常数且);⑶对数函数(是常数且);⑷三角函数⑸反三角函数arccot

(为实数).

形式:

定义域、图像及性质依不同而不同.（1）幂函数

(，).

形式:

定义域:.

值域:.

图像:

过点,位于轴的上方.

单调减少

单调增加

·常用以为底的指数函数.

是一个无理数,=2.718281828459…．.本课程:（2）指数函数

(，).

形式:

定义域:.

值域:.

图像:

过点,位于轴的右方.

单调减少

单调增加

·（3）对数函数(ⅰ)正弦函数

形式:

定义域:.

值域:.几何特性：奇函数；内非单调函数；周期；有界函数.（4）三角函数(ⅱ)余弦函数

形式:

定义域:.

值域:.几何特性：奇函数；内非单调函数；周期；有界函数.(ⅲ)正切函数

形式:

定义域:.

值域:.几何特性：奇函数;在内单调增加；周期；无界函数.(ⅳ)余切函数

形式:

定义域:.

值域:.几何特性:奇函数；在内单调减少；周期；无界函数.今后要用到的三角公式今后要用到的三角公式特殊角的三角函数值

(ⅰ)反正弦函数

形式:

定义域:

值域:

(ⅱ)反余弦函数

形式:

定义域:

值域:

单调减少

单调增加

（5）反三角函数(ⅲ)反正切函数形式:定义域:值域:(ⅳ)反余切函数形式:值域:定义域:

单调减少

单调增加1.1.3复合函数与反函数1．复合函数设有两个函数

，．我们称此函数为f和g复合而成的复合函数，是自变量，称为中间变量．如果函数g

的值域与函数f的定义域Df的交非空，则通过中间变量构成的函数，称为由及复合而成的关于的复合函数，记作两个以上函数也可构成复合函数.例如,可定义复合函数:例

函数是有哪些较简单的函数复合而成的?解是由三个较简单的函数复合而成的.2.反函数习惯上用表示自变量,表示因变量,故常把的反函数记为设是定义在上的一个函数,其值域为.如果对每一数值,有确定的且满足的数值与之对应,其对应法则记为则定义在上的函数称为函数的反函数注函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数例2求的反函数。

解由解出