经济应用数学电子教案 3.7一元线性回归分析

经济应用数学课题一元线性回归分析模型（2学时）时间年月日教学目标1.理解一元线性回归方程的概念。2.理解并掌握最小二乘法求一元线性回归方程。3.理解并掌握一元线性回归方程显著性检验。重点理解一元线性回归方程的概念。难点会求一元线性回归方程。教学方法手段讲授为主，理论联系实际。主要内容时间分配引例5分钟一、一元线性回归方程10分钟二、最小二乘法20分钟例110分钟三、回归方程的显著性检验15分钟例215分钟练习10分钟小结5分钟作业备注【引例】为了研究某物流快递公司每月的总运输量（单位：万吨）对总成本（单位：万元）的影响，测得数据如下：为了研究这些数据之间的规律性，将总运输量作为横坐标，总成本作为纵坐标，在直角坐标系中描绘出来．从图中可以看出，虽然这些点是散乱的，但大体上散布在某一条直线附近，即总运输量与总成本之间大致成线性关系，这些点与直线的偏离是由于测试过程中随机因素影响的结果。【主要内容】一、一元线性回归方程一般地，如果随机变量与变量之间呈现某种线性关系，则与之间一元线性回归模型为（1）也称为变量对变量的一元线性回归方程，，称为回归系数．根据样本值确定方程中系数，．设在一次试验中，取得对数据（），这对数据就是一组样本值，根据这一组样本值可以寻求一对系数，．但由于是一个随机变量，所以如果通过另一组试验又可得到一对，的值．也就是说，我们通过一组数据所得到的是系数，的估计值，记作，，通过一组试验数据所求出的回归方程为，（2）称为经验回归方程．又称为经验公式，，叫做经验回归系数．二、最小二乘法设在一次试验中，取得对数据，其中是随机变量对应于的试验值，图中的直线是根据这对数据描绘的回归直线，其中是试验值的回归值．每一个试验值与回归值之间的差，在图中表示为两个纵坐标之差，这个差有正有负，其绝对值为．显然，我们要找的直线应该是使所有这些距离之和为最小的一条直线，即最小．但由于绝对值在处理上比较麻烦，所以代之以平方和．这个平方和是随着回归系数，而变的，因此它是，的一个二元函数，其中为常数．根据二元函数求极值的方法，求偏导数并令其等于零，得整理后得到解出回归系数，为（3）其中，．（3）式或写成（4）式中的，，即为的最小值点，使得达到最小．以，为回归系数的直线方程，就是我们所要求的回归方程．它最能代表这些点的散布状态．由于在求系数，时，是使平方和最小，故称这种方法为最小二乘法．如果令（5）则公式（5）可写成（6）将求得的，代入，就得到一元线性回归方程的具体表达式．【例1】写出引例中总成本对运量的回归方程．为了方便起见，借助计算机，将计算列成表格.由表可得：；；；；；；；；代入数据得，，，所以，，故总成本对运量的回归方程为．从中可知固定成本为万元，可变成本为万元．结合例子我们求出了一元线性回归方程，下面归纳一下具体步骤：（1）由题中经验数据，列出回归方程计算表；（2）由公式计算回归系数，；把，的值代入，即得回归方程．三、回归方程的显著性检验1.相关系数由，对进行恒等变形，得令，则，而，，所以，从而．因为，当变量与的样本值（）确定以后，只有的值决定的变化，的值越接近于1，则的值越小，变量与之间的线性关系也就越显著；反之，若的值越接近于0，则的值越大，变量与之间的线性关系也就不显著；用回归直线来表示变量与之间关系就越不准确．的值可以表示变量与之间具有线性关系的相对程度．称（）为变量与的相关系数．当时，，则所有的样本值（）都落在直线上，称变量与完全相关；当时，的值最大，说明变量与不相关或是非线性相关关系．在实际中，的值要达到什么水平，才能认为变量与之间的线性关系是显著的，回归方程具有实用价值，这要根据具体情况对检验标准的要求不同而定．2.线性相关的显著性水平检验方法一般地，按照以下步骤对线性相关的显著性进行检验．（1）提出原假设：与的线性关系不显著，记．这是因为当时，回归直线是一条平行于轴的直线，无论如何变化，的值均为常数．显然，不可能有显著的线性关系．（2）选用统计量,并根据样本值计算的值；（3）按给出的显著性检验水平和自由度，查附表6的相关系数临界值表，得临界值；（4）作出判断：当时，则拒绝原假设，说明变量与的线性关系显著；当时，则接受原假设，说明变量与的线性关系不显著．【例2】某建材实验室做陶粒混凝土实验时，考察每立方米混凝土的水泥用量对混凝土抗压强度的影响，测得下列数据：求：（1）求经验回归方程；（2）检验一元线性回归的显著性．解（1）列表如下：由表可得，；；；；；；；；代入数据得，，，所以，，故经验回归方程为．（2）提出假设：；由给定的显著性水平，自由度查表，得临界值，因为，所以拒绝原假设：，即