经济应用数学电子教案 3.3随机变量的数字特征1

经济应用数学课题随机变量的数字特征1（2学时）时间年月日教学目的要求1.理解随机变量的期望的概念。2.熟练掌握离散型和连续型随机变量的数学期望的求解。重点理解随机变量的期望的概念。难点随机变量的数学期望的求解。教学方法手段结合案例，讲授为主。主要内容时间分配引例5分钟一、均值的概念10分钟例1-310分钟二、随机变量函数的均值10分钟例4-510分钟三、均值的性质10分钟例65分钟四、常见的随机变量的均值25分钟练习10分钟小结5分钟作业备注【引例】甲、乙二人进行飞镖比赛，以分别表示他们命中的环数，其分布列分别为试问谁的技术好些?这个问题的答案并不是一眼看得出的．这说明了分布列虽然完整地描述了离散型随机变量的概率特征，但是却不够“集中”地反映出它的变化情况.因此我们有必要找出一个量来更集中、更概括地描述随机变量，这些量多是某种平均值．若在上述问题中，他们射中靶的总环数大约是甲：乙：平均起来甲每枪射中9.3环，乙每枪射中9.1环，因此可以认为甲射手的本领要好些．【主要内容】一、均值的概念1.离散型随机变量的均值定义1设离散型随机变量的概率分布为称为的均值或数学期望，记作，即．【例1】有一批钢筋共10根，抗拉强度指标为120和130的各有2根，125的有3根，110，135，140的各有一根，求它们的平均抗拉强度指标．解设抗拉强度为随机变量，其分布列为则所以平均抗拉强度为126．【例2】每张福利彩票售价5元，各有一个对奖号另外规定，只领取之中最高额的奖金解设为一张彩票的中奖金额，其分布列为所以,每张彩票的平均所得奖金为这也意味，每一开奖组把筹得的500万元中的320万元已奖金的形式返给彩民，其余180万元则可用于福利事业及管理费用.2.连续型随机变量的均值定义2设为连续型随机变量，其概率密度函数为，如果绝对收敛，则称为的均值或数学期望，记作，即．【例3】设连续型随机变量的概率密度函数为，求．解由连续型随机变量均值的概念二、随机变量函数的均值定理1设是随机变量的函数：（其中是连续函数），（1）是离散型随机变量，它的分布列为，则.（2）是连续型随机变量，其密度函数为，则．注意：定理的重要意义在于当我们求时，不必算出的分布列或密度函数，而只需利用的分布列或密度函数就可以求出．【例4】设的概率分布为求．解；；．【例5】已知,求．解因为，则概率密度函数为，则＝=．三、均值的性质1.常数的均值等于常数本身，即(为常数).2.设为随机变量，为常数，则.3.设为随机变量，为常数，则.4.设为随机变量，为常数，则.5.设，为随机变量，则.6.设，为相互独立的随机变量，则．【例6】假定国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量（单位:千吨），其密度函数为．设每售出这种商品一千吨，可为国家挣得外汇3千万元；但假如销售不了而囤积于仓库，则每吨须花保养费1千万元，问需要组织多少货源，才能使国家收益最大？解设为一年预备出口的该种商品量，由于外国的需求量为，则国家收入（单位:千万元）是的函数，且若收益达到最大，那么其平均值也达到最大．而==+=解得，当=3500时，取得最大值．所以，须组织3500千吨该商品，平均说来能使国家的收益最大，这最好的决策．四、几种典型分布的均值1.两点分布设服从两点分布，其概率分布为，由离散型随机变量均值的概念.2.二项分布设服从二项分布，即，由离散型随机变量均值的概念===．3.泊松分布设随机变量服从泊松分布，即由离散型随机变量均值的概念====．4.均匀分布设服从均匀分布，其概率密度函数为由连续型随机变量均值的概念＝．5.指数分布设服从指数分布，其概率密度函数为由连续型随机变量均值的概念===．6.正态分布设，其概率密度函数为由连续型随机变量均值的概念．所以，正态分布的均值．【课堂练习】1.一民航送旅客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车.设每