经济应用数学电子教案 2.3线性方程组

经济应用数学课题线性方程组（2学时）时间年月日教学目标1.掌握线性方程组解的存在定理。2.会用初等变换求解线性方程组。重点理解线性方程组解的存在定理。难点掌握线性方程组解的求法。教学方法手段讲授为主，数形结合。主要内容时间分配复习5分钟线性方程组的矩阵表示10分钟例15分钟二、线性方程组解的判定10分钟例2-415分钟三、线性方程组求解10分钟例5-920分钟小结5分钟练习10分钟作业备注【复习】1.阶梯型矩阵和行简化阶梯型矩阵.2.矩阵的秩.【主要内容】一、线性方程组的矩阵表示线性方程组的一般形式如下：（1）线性方程组（1）的一个解是一组数（），用它依次代替（1）中的未知数后，（1）的每个方程都成立.设，，，，称矩阵为线性方程组（1）的系数矩阵，矩阵为线性方程组（1）的增广矩阵，列矩阵为线性方程组（1）的未知数矩阵，列矩阵称为常数项矩阵．方程组的矩阵形式为．显然任何一个线性方程组都有唯一的增广矩阵与之对应．【例1】写出线性方程组的矩阵形式与增广矩阵.解设，，，则方程组的矩阵形式为方程组的增广矩阵为当线性方程组（1）的常数项满足时，即（2）称它为齐次线性方程组，它的矩阵形式为二、线性方程组解的判定定理1设、分别是线性方程组（1）的系数矩阵与增广矩阵，那么（1）线性方程组（1）有惟一解；（2）线性方程组（1）有无穷多解。显然线性方程组无解（或）。齐次线性方程组（2）的系数矩阵与增广矩阵的秩永远相等，所以齐次线性方程组永远有解，永远是它的解，称为零解。推论设是齐次线性方程组（2）的系数矩阵，那么（1）齐次线性方程组（2）只有零解；（2）齐次线性方程组（2）有非零解。【例2】判断线性方程组是否有解.解由，故方程组有唯一解.【例3】判断线性方程组是否有解.解由，故方程组有无穷多解.【例4】判断线性方程组是否有解.解由，故方程组无解.三、线性方程组的求解定理2如果用初等行变换将线性方程组的增广矩阵化为，那么方程组与是同解方程组.【例5】求例2中线性方程组的解.解对例2所得的行阶梯形矩阵继续施行初等行变换，得到行简化阶梯形矩阵所以，方程组的解为.【例6】求例3中线性方程组的解.解对例3所得的行阶梯形矩阵继续施行初等行变换，得到行简化阶梯形矩阵原方程组同解的方程组为令，得原方程组的解为其中，、为任意常数.这种解的形式称为线性方程组的通解或一般解.【例7】求解齐次线性方程组.解该齐次线性方程组的系数矩阵与原方程组同解的方程组为令，得原方程组的通解为【例8】某百货商店出售四种型号的衬衫：小号、中号、大号与加大号.四种型号的衬衫售价分别为：22元、24元、26元和30元.如果该商店某周共售出13件衬衫，销售收入为320元，并已知大号的销售量为小号和加大号的销售量总和，大号的销售收入也为小号和加大号销售收入的总和.问四种型号的衬衫各售出多少件？解设小号、中号、大号与加大号衬衫的销售量分别为、、、，由题意得方程组变形为其增广矩阵化简得所以，方程组的解为,故小号、中号、大号和加大号的衬衫的销售量分别为1件、9件、2件和1件.【课堂练习】1.求解齐次线性方程组2.当取何值时，方程组有解，并求出它的解．【课堂小结】1.线性方程组解的存在定理：①线性方程组有惟一解；②线性方程组有无穷多解；③线性方程组无解（或）。齐次线性方程组：①齐次线性方程组只有零解；②齐次线性方程组有非零解。2.用初