2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.3.2对数的运算课时跟踪训练含解析新人教A版必修第一册

PAGE对数的运算一、复习巩固1.eq\f(log89,log23)＝()A.eq\f(2,3) B．1C.eq\f(3,2) D．2解析：eq\f(log89,log23)＝eq\f(lg9,lg8)×eq\f(lg2,lg3)＝eq\f(2lg3,3lg2)×eq\f(lg2,lg3)＝eq\f(2,3).答案：A2．2log510＋log50.25＝()A．0 B．1C．2 D．4解析：2log510＋log50.25＝log5102＋log50.25＝log5(102×0.25)＝log525＝2.答案：C3．2eq\f(1,2)＋2log23的值是()A．12eq\r(2) B．9＋eq\r(2)C．9eq\r(2) D．84eq\r(2)解析：∵eq\f(1,2)＋2log23＝log2eq\r(2)＋log29＝log29eq\r(2)，又∵alogax＝x，∴原式＝9eq\r(2).答案：C4．若log5eq\f(1,3)·log36·log6x＝2，则x等于()A．9 B.eq\f(1,9)C．25 D.eq\f(1,25)解析：原式＝eq\f(lg\f(1,3),lg5)×eq\f(lg6,lg3)×eq\f(lgx,lg6)＝eq\f(－lgx,lg5)＝2，∴－lgx＝2lg5＝lg52＝lg25，∴x＝eq\f(1,25).答案：D5．(lg5)2＋lg2lg5＋lg20的值是()A．0 B．1C．2 D．3解析：(lg5)2＋lg2lg5＋lg20＝lg5·(lg5＋lg2)＋lg20＝lg5＋lg20＝lg100＝2.答案：C6．已知log89＝a，log25＝b，则lg3等于()A.eq\f(a,b－1) B.eq\f(3,2b－1)C.eq\f(3a,2b＋1) D.eq\f(3a－1,2b)解析：∵log89＝a，∴a＝eq\f(lg9,lg8)＝eq\f(2lg3,3lg2)，b＝eq\f(lg5,lg2)＝eq\f(1－lg2,lg2)，∴lg2＝eq\f(1,b＋1)，∴lg3＝eq\f(3,2)alg2＝eq\f(3a,2)×eq\f(1,b＋1)＝eq\f(3a,2b＋1).答案：C7．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()A．logab·logcb＝logcaB．logab·logca＝logcbC．loga(bc)＝logab·logacD．loga(b＋c)＝logab＋logac解析：由对数的运算公式loga(bc)＝logab＋logac可推断选项C，D错误．选项A，由对数的换底公式知logab·logcb＝logca⇒eq\f(lgb,lga)·eq\f(lgb,lgc)＝eq\f(lga,lgc)⇒(lgb)2＝(lga)2，此式不恒成立．选项B，由对数的换底公式知logab·logca＝eq\f(lgb,lga)·eq\f(lga,lgc)＝eq\f(lgb,lgc)＝logcb，故恒成立．答案：B8．lgeq\r(5)＋lgeq\r(20)的值是________．解析：lgeq\r(5)＋lgeq\r(20)＝lg(eq\r(5)·eq\r(20))＝lg10＝1.答案：19．已知2a＝5b＝10，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝________.解析：∵2a＝5b＝10，∴a＝log210＝eq\f(1,lg2)，b＝log510＝eq\f(1,lg5)，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝lg2＋lg5＝1.答案：110．方程log3(x－1)＝log9(x＋5)的解是________．解析：由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,x＋5>0，,x－12＝x＋5，))解得x＝4.答案：4二、综合应用11．若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则(lgeq\f(a,b))2的值等于()A．2 B.eq\f(1,2)C．4 D.eq\f(1,4)解析：由根与系数的关系知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lga＋lgb＝2，,lga·lgb＝\f(1,2)，))∴(lgeq\f(a,b))2＝(lga－lgb)2＝(lga＋lgb)2－4lgalgb＝22－4×eq\f(1,2)＝2.答案：A12．设lga＋lgb＝2lg(a－2b)，则log4eq\f(a,b)的值是________．解析：依题意，得a>0，b>0，a－2b>0，原式可化为ab＝(a－2b)2，即a2－5ab＋4b2＝0，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))2－5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))＋4＝0，∴eq\f(a,b)＝4或eq\f(a,b)＝1.∵a－2b>0，eq\f(a,b)>2，∴eq\f(a,b)＝4，∴log4eq\f(a,b)＝1.答案：113．计算log225·log32eq\r(2)·log59的结果为________．解析：原式＝eq\f(lg25,lg2)·eq\f(lg2\r(2),lg3)·eq\f(lg9,lg5)＝eq\f(2lg5,lg2)·eq\f(\f(3,2)lg2,lg3)·eq\f(2lg3,lg5)＝6.答案：614.eq\f(lg3＋2lg2－1,lg1.2)＝________.解析：原式＝eq\f(lg3＋lg22－lg10,lg1.2)＝eq\f(lg3＋lg4－lg10,lg1.2)＝eq\f(lg\f(3×4,10),lg1.2)＝1.答案：115．已知x，y，z都是大于1的正数，m＞0，且logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，求logzm的值．解析：logm(xyz)＝logmx＋logmy＋logmz＝eq\f(1,12)，而logmx＝eq\f(1,24)，logmy＝eq\f(1,40)，故logmz＝eq\f(1,12)－logmx－logmy＝eq\f(1,12)－eq\f(1,24)－eq\f(1,40)＝eq\f(1,60)，即logzm＝60.16．已知ab＝8，alog2b＝4，求a，b的值．解析：由alog2b＝4两边取对数得log2(alog2b)＝log24⇒(log2a)(log2b)＝2，由ab＝8得log2(ab)＝log28⇒log2a＋log2b＝3.②由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\