2024-2025学年新教材高中数学第6章平面向量及其应用6.2.1向量的加法运算课时分层作业含解析新人教A版必修第二册

PAGE课时分层作业(二)向量的加法运算(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列等式不正确的是()①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＝0；③eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→)).A．②③ B．②C．① D．③B[②错误，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＝0，①③正确．]2．已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a＋b的方向()A．与向量a方向相同 B．与向量a方向相反C．与向量b方向相同 D．与向量b方向相反A[因为a∥b，且|a|＞|b|＞0，由三角形法则知向量a＋b与a同向．]3．若向量a表示“向东航行1km”，向量b表示“向北航行eq\r(,3)km”，则向量a＋b表示()A．向东北方向航行2kmB．向北偏东30°方向航行2kmC．向北偏东60°方向航行2kmD．向东北方向航行(1＋eq\r(,3))kmB[eq\o(AB,\s\up7(→))＝a表示“向东航行1km，eq\o(BC,\s\up7(→))＝b表示“向北航行eq\r(,3)km”，依据三角形法则，∴eq\o(AC,\s\up7(→))＝a＋b，∵tanA＝eq\r(,3)，∴A＝60°，且eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\r(,\r(,3)2＋12)＝2(km)，∴a＋b表示向北偏东30°方向航行2km.]4.如图所示的方格中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则eq\o(OP,\s\up7(→))＋eq\o(OQ,\s\up7(→))＝()A．eq\o(OH,\s\up7(→)) B．eq\o(OG,\s\up7(→))C．eq\o(FO,\s\up7(→)) D．eq\o(EO,\s\up7(→))C[设a＝eq\o(OP,\s\up7(→))＋eq\o(OQ,\s\up7(→))，以OP，OQ为邻边作平行四边形(图略)，则夹在OP，OQ之间的对角线对应的向量即为向量a＝eq\o(OP,\s\up7(→))＋eq\o(OQ,\s\up7(→))，则a与eq\o(FO,\s\up7(→))长度相等，方向相同，所以a＝eq\o(FO,\s\up7(→)).]5．a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则()A．a∥b，且a与b方向相同B．a，b是共线向量且方向相反C．a＝bD．a，b无论什么关系均可A[依据三角形法则可知，a∥b，且a与b方向相同．]二、填空题6．设a0，b0分别是a，b的单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.③[单位向量不肯定相等或相反，也不肯定共线，但其模为1，故只有③正确．]7．(一题两空)如图，在平行四边形ABCD中，eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＝________，eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＝________.eq\o(AC,\s\up7(→))eq\o(BC,\s\up7(→))(或eq\o(AD,\s\up7(→)))[利用三角形法则和平行四边形法则求解．]8.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(FE,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))|等于________．2[正六边形ABCDEF中，eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(ED,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(FE,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(ED,\s\up7(→))＋eq\o(FE,\s\up7(→))＋eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))＋eq\o(FE,\s\up7(→))＋eq\o(ED,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))，∵|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝1，∴|eq\o(AD,\s\up7(→))|＝2.]三、解答题9．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且eq\o(BP,\s\up7(→))＋eq\o(CQ,\s\up7(→))＝0.求证：eq\o(AP,\s\up7(→))＋eq\o(AQ,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)).[证明]∵eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BP,\s\up7(→))，eq\o(AQ,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CQ,\s\up7(→))，∴eq\o(AP,\s\up7(→))＋eq\o(AQ,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BP,\s\up7(→))＋eq\o(CQ,\s\up7(→)).又∵eq\o(BP,\s\up7(→))＋eq\o(CQ,\s\up7(→))＝0，∴eq\o(AP,\s\up7(→))＋eq\o(AQ,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)).10．(多选题)若a＝(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→)))＋(eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→)))，b是任一非零向量，则下列结论正确的是()A．a∥b B．a＋b＝aC．a＋b＝b D．|a＋b|＜|a|＋|b|AC[∵a＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＝0，b为任一非零向量，∴a∥b，即A对；0＋b＝b，即B错，C对；D中|0＋b|＝|b|＝|0|＋|b|，即D错．故选AC．]11．若在△ABC中，AB＝AC＝1，|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|＝eq\r(2)，则△ABC的形态是()A．正三角形 B．锐角三角形C．斜三角形 D．等腰直角三角形D[设线段BC的中点为O，由平行四边形法则和平行四边形对角线相互平分可知|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|＝2|eq\o(AO,\s\up7(→))|，又|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|＝eq\r(2)，故|eq\o(AO,\s\up7(→))|＝eq\f(\r(2),2)，又BO＝CO＝eq\f(\r(2),2)，所以△ABO和△ACO都是等腰直角三角形，所以△ABC是等腰直角三角形．]12．(一题两空)如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，则：(1)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝________；(2)eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(FE,\s\up7(→))＝________.(1)eq\o(OB,\s\up7(→))(2)eq\o(AD,\s\up7(→))[(1)由题图可知，四边形OABC为平行四边形．由向量加法的平行四边形法则，得eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→)).(2)由题图可知，eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(FE,\s\up7(→))＝eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\o(AO,\s\up7(→))，∴eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(FE,\s\up7(→))＝eq\o(AO,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→)).]13．若P为△ABC的外心，且eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))＝eq\o(PC,\s\up7(→))，则∠ACB＝________.120°[因为eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))＝eq\o(PC,\s\up7(→))，则四边形APBC是平行四边形．又P为△ABC的外心，所以|eq\o(PA,\s\up7(→))|＝|eq\o(PB,\s\up7(→))|＝|eq\o(PC,\s\up7(→))|.因此∠ACB＝120°.]14.如图，已知向量a，b，c，d.(1)求作a＋b＋c＋d；(2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值．[解](1)在平面内任取一点O，做eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(AB,\s\up7(→))＝b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝c，eq\o(CD,\s\up7(→))＝d，则eq\o(OD,\s\up7(→))＝a＋b＋c＋d.(