线性代数课后习题答案第习题详解

线性代数课后习题答案第习题详解习题一：矩阵运算$$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix},\quadB=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}$$解答：我们需要回顾矩阵乘法的规则。矩阵乘法是将第一个矩阵的每一行与第二个矩阵的每一列相乘，然后将结果相加。所以，对于给定的矩阵$A$和$B$，我们有：$$A\timesB=\begin{pmatrix}1\times5+2\times7&1\times6+2\times8\\3\times5+4\times7&3\times6+4\times8\end{pmatrix}$$计算这个乘积，我们得到：$$A\timesB=\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}$$因此，矩阵$A$和$B$的乘积是$\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}$。线性代数课后习题答案第习题详解习题二：行列式计算$$C=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}$$解答：行列式的计算有多种方法，这里我们使用拉普拉斯展开法。对于3x3矩阵，我们可以沿着第一行展开：$$\text{det}(C)=1\times\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}2\times\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}+3\times\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}$$计算每个2x2子矩阵的行列式：$$\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}=5\times96\times8=3$$$$\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}=4\times96\times7=6$$$$\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}=4\times85\times7=3$$将这些值代入原来的公式：$$\text{det}(C)=1\times(3)2\times(6)+3\times(3)=3+129=0$$因此，矩阵$C$的行列式是0。习题三：向量空间基$$\{\mathbf{v}_1=(1,2,3),\mathbf{v}_2=(4,5,6),\mathbf{v}_3=(7,8,9)\}$$解答：一个向量集合构成向量空间的基，当且仅当这些向量线性无关。为了检查这些向量是否线性无关，我们可以将它们作为列向量构成一个矩阵，然后计算这个矩阵的行列式。所以，我们构造矩阵$D$：$$D=\begin{pmatrix}1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{pmatrix}$$计算$D$的行列式：$$\text{det}(D)=1\times\begin{vmatrix}5&8\\6&9\end{vmatrix}4\times\begin{vmatrix}2&8\\3&9\end{vmatrix}+7\times\begin{vmatrix}2&5\\3&6\end{vmatrix}$$计算每个2x2子矩阵的行列式：$$\begin{vmatrix}5&8\\6&9\end{vmatrix}=5\times98\times6=3$$$$\begin{vmatrix}2&8\\3&9\end{vmatrix}=2\times98\times3=0$$$$\begin{vmatrix}2&5\\3&6\end{vmatrix}=2\times65\times3=3$$将这些值代入原来的公式：$$\text{det}(D)=1\times(3)4\times0+7\times(3)=321=24$$由于$\tex