专题37函数的图象（知识点讲解）-2023年高考数学一轮复习知识点讲解真题测试（新教材新高考）

专题3.7函数的图象（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】通过由函数的性质及解析式选图；由函数的图象来研究函数的性质、图象的变换、数形结合解决不等式、方程等问题．与导数结合考查两图象交点、函数性质、方程解的个数、不等式的解集等方面的应用.凸显数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养．【知识点展示】一．利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.二．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换y＝f(x)的图象eq\o(→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)的图象；y＝f(x)的图象eq\o(→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)的图象；y＝f(x)的图象eq\o(→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)的图象；y＝ax(a>0，且a≠1)的图象eq\o(→,\s\up7(关于直线y＝x对称))y＝logax(a>0，且a≠1)的图象.(3)伸缩变换y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(纵坐标不变),\s\do5(各点横坐标变为原来的\f(1,a)（a>0）倍))y＝f(ax).y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(横坐标不变),\s\do5(各点纵坐标变为原来的A（A>0）倍))y＝Af(x).(4)翻转变换y＝f(x)的图象eq\o(→,\s\up7(x轴下方部分翻折到上方),\s\do5(x轴及上方部分不变))y＝|f(x)|的图象；y＝f(x)的图象eq\o(→,\s\up7(y轴右侧部分翻折到左侧),\s\do5(原y轴左侧部分去掉，右侧不变))y＝f(|x|)的图象.三.常用结论1．函数图象自身的轴对称(1)f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；(2)函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)；(3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线对称．2．函数图象自身的中心对称(1)f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称；(2)函数y＝f(x)的图象关于(a,0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)；(3)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．3．两个函数图象之间的对称关系(1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；(2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；(3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称；(4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．【常考题型剖析】题型一作函数的图象例1.（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）已知函数，若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由题对取特殊值，利用数形结合，排除不合题意的选项即得.【详解】令，当时，方程为，即，作出函数及的图象，由图象可知方程的根为或，即或，作出函数的图象，结合图象可得所有根的和为5，不合题意，故BD错误；当时，方程为，即，由图象可知方程的根，即，结合函数的图象，可得方程有四个根，所有根的和为4，满足题意，故A错误.故选：C.例2．（2018·全国·高考真题（理））设函数．（1）画出的图像；（2）当，，求的最小值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【详解】分析：（1）将函数写成分段函数，再画出在各自定义域的图像即可．（2）结合（1）问可得a，b范围，进而得到a+b的最小值详解：（1）的图像如图所示．（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为．【规律方法】函数图象的画法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．题型二：函数图象的变换例3．（2012·四川·高考真题（文））函数的图象可能是

()A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】对进行分类讨论，结合指数函数的单调性以及函数图像平移变换，即可得出答案.【详解】①当时，函数可以看做函数的图象向下平移个单位，由于，则A错误；又时，，则函数过点，故B错误；②当时，函数可以看做函数的图象向下平移个单位，由于，则D错误；又时，，则函数过点，故C正确；故选：C例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】分三步进行图像变换①关于y轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半【详解】①关于y轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半故选：C.【规律方法】1．平移变换当m>0时，y＝f(x－m)的图象可以由y＝f(x)的图象向右平移m个单位得到；y＝f(x＋m)的图象可以由y＝f(x)的图象向左平移m个单位得到；y＝f(x)＋m的图象可以由y＝f(x)的图象向上平移m个单位得到；y＝f(x)－m的图象可以由y＝f(x)的图象向下平移m个单位得到．2．对称(翻折)变换y＝f(|x|)的图象可以将y＝f(x)的图象位于y轴右侧和y轴上的部分不变，原y轴左侧部分去掉，画出y轴右侧部分关于y轴对称的图形而得到．y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象位于y轴上方的部分不变，而将位于y轴下方的部分翻折到y轴上方得到．y＝－f(x)的图象可将y＝f(x)的图象关于x轴对称而得到．y＝f(－x)的图象可由y＝f(x)的图象关于y轴对称得到．题型三：图象的识别例5．（2022·全国·高考真题（理））函数在区间的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令，则，所以为奇函数，排除BD；又当时，，所以，排除C.故选：A.例6．（2019·全国高考真题（理））函数在的图像大致为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．例7．（2019·浙江·高考真题）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】本题通过讨论的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.例8．（2012·江西·高考真题（理））如图所示，已知正四棱锥SABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE=x（0＜x＜1），截面下面部分的体积为V（x），则函数y=V（x）的图像大致为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由题意可知截面下面部分的体积为V（x），不是SE的线性函数，可采用排除法，排除C，D，进一步可排除B，于是得答案．【详解】由题意可知截面下面部分的体积为V（x），不是SE＝x的线性函数，可采用排除法，排除C，D；又当截面为BDE，即x＝时，V（x）＝，当侧棱SC上的点E从SC的中点向点C移动时，即时.,A满足；故选A．【规律方法】1.辨析函数图象的入手点(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(3)从函数的特征点，排除不合要求的图象．(4)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(5)从函数的周期性，判断图象的循环往复．2.根据实际背景、图形判断函数图象的方法：(1)根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；(2)根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．题型四：从图象到解析式例9.（2022·全国·高考真题（文））如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设，则，故排除B;设，当时，，所以，故排除C;设，则，故排除D.故选：A.例10．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；对于C，，则，当时，，与图象不符，排除C.故选：D.例11．（2022·浙江绍兴·模拟预测）下图中的函数图象所对应的解析式可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根据函数图象的对称性、奇偶性、单调性以及特殊点，利用排除法即可求解.【详解】解：根据图象可知，函数关于对称，且当时，，故排除B、D两项；当时，函数图象单调递增，无限接近于0，对于C项，当时，单调递减，故排除C项.故选：A.例12．（2022·浙江·模拟预测）如图所示的是函数的图像，则函数可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由图象确定函数的性质，验证各选项是否符合要求即可.【详解】由图可知：是非奇非偶函数，且在y轴右侧，先正后负．若，则，所以函数为偶函数，与条件矛盾，A错，若，则，所以函数为奇函数，与条件矛盾，B错，若，则，当时，，与所给函数图象不一致，D错，若，则，当时，，又，，所以函数为非奇非偶函数，与所给函数图象基本一致，故选：C．【规律方法】根据图象找解析式，一般先找差异，再验证.题型五：函数图象的应用例13.（2015·北京·高考真题（理））如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是A． B．C． D．【答案】C【解析】【详解】试题分析：如下图所示，画出的函数图象，从而可知交点，∴不等式的解集为，故选C．考点：1．对数函数的图象；2．函数与不等式；3．数形结合的数学思想．例14.（2015·安徽·高考真题（理））函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】C【解析】【详解】试题分析：函数在处无意义，由图像看在轴右侧，所以，，由即，即函数的零点，故选C．例15．【多选题】（2021·福建龙岩·高三期中）已知函数若存在，使得，则下列结论正确的有（

）A．B．的最大值为4C．的取值范围是D．的取值范围是【答案】AD【解析】【分析】根据函数性质得，是方程的两根，再运用数形结合的思想逐项验证选项可得出答案.【详解】由题意可知，且，则，因为，所以，故选项A正确，选项B错误；作出的图象，如图所示，由图可知的取值范围是，选项错误；因为，所以，又则的取值范围是，选项D正确.故选：AD.例16.（2021·新疆·沙湾县第一中学高一期中）定义，例如：min(－1，－2)＝－2，min(2，2)＝2，若f(x)＝x2，g(x)＝－x2－4x＋6，则函数F(x)＝min(f(x)，g(x))的最大值为______.【答案】【解析】【分析】作出函数的图象即可得到的图象，从而求出其最大值．【详解】作出函数的图象，根据定义可知，的图象如图所示（实线部分）：由，解得：或，所以函数的最大值为．故答案为：．例17.（2012·天津·高考真题（文））已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．【答案】(0,1)∪(1,4)【解析】【详解】y＝函数y＝kx－2的图象恒过定点M(0，－2)，.当k＝1时，直线y＝kx－2在x＞1或x≤－1时与直线y＝x＋1平行，此时有一个公共点，∴k∈(0,1)∪(1,4)时，两函数图象恰有两个交点．点睛：已知函数零点求参数的范围的常用方法，(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解．例18.（2022·北京东城·三模）已知函数.①对于任意实数，为偶函数；②对于任意实数，在上单调递减，在上单调