安徽省合肥市第五十五中学东校2024-2025学年九年级上学期九年级阶期中数学试卷

合肥市五十中学东校2024-2025学年九年级期中数学试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.二次函数图象的顶点所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.拋物线向左平移8个单位，再向下平移9个单位后，所得抛物线的表达式是（）A. B.C. D.3.如果反比例函数（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（）A.a<0 B.a>0 C.a<2 D.a>24.如图所示的是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（

）A. B. C.且 D.或5.如图，已知AD∥BE∥CF，＝，DE＝3，则DF的长为（）A.2 B.4.5 C.3 D.7.56.下列函数中，当时，y随x的增大而增大的是（）A B. C. D.7.如图，以线段为边作正方形，取的中点E，连接，延长至F，使得，以为边作正方形，则点H即是线段的黄金分割点．若记矩形的面积为，正方形的面积为，则与的大小关系是（）A. B. C. D.不能确定8.如图，在平面直角坐标系中，，将沿y轴向上平移3个单位长度至，连接，若反比例函数的图象恰好经过点A及的中点D，则k值等于（）A.6 B. C.3 D.9.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论正确的是（）A.DE垂直平分AC B.△ABE∽△CBAC. D.10.如图，等腰与矩形DEFG在同一水平线上，，现将等腰沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（）A. B.C. D.二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.已知，则__________．12.如图所示，点A是反比例函数的图像上一点，过点A作轴于点，点在轴上，若的面积是2，则_________．13.已知，x≥2，P=x-y则P的取值范围是_______________.14.如图，，，，，点D在线段上运动，当点D从点B运动到点C时．（1）当时，则___________；（2）设P为线段中点，在点D的运动过程中，的最小值是___________．三．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.已知抛物线．（1）用配方法确定它顶点坐标、对称轴；（2）取何值时，？16.已知、、是ΔABC的三边长，且.（1）求的值；（2）若ΔABC的周长为90，求各边的长.四．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．（1）作出一个，使；（2）在边上确定一点，使．（保留作图轨迹）18.阅读材料：设二次函数的图象的顶点坐标分别为，，若，，且开口方向相反，则称是的“致真二次函数”．（1）请写出二次函数的一个“致真二次函数”；（2）已知关于的二次函数和二次函数，若函数恰是的“致真二次函数”，求的值．五．（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图，在中，，棱长为1的立方体的表面展开图有两条边分别在，上，有两个顶点在斜边上，求的面积．20.如图，在直角坐标系中，已知点B(4,0)，等边三角形OAB的顶点A在反比例函数的图象上(1)求反比例函数的表达式．(2)把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O′A′B′当这个函数图象经过△O′A′B′一边的中点时，求a的值．六．（本题满分12分）21.如图，在中，点D，E分别在边，上，、的延长线相交于点F．（1）如图1，若，，，，求的长；（2）如图2，若，求证．七､（本题满分12分）22.某商贸公司购进某种商品，经过市场调研，整理出这种商品在第天售价与日销售量的相关信息如表：时间（天）售价日销售量（）已知这种商品的进价为元，设销售这种商品的日销售利润为元．（1）求与的函数关系式；（2）第几天销售利润最大？最大日销售利润为多少？八．（本题满分14分）23.在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线过点，y的最大值为9，点A在x轴正半轴上，点A向右平移2个单位得到点B，过点A，B作x轴的垂线分别交抛物线于点D，C，设A的坐标为．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若与的面积分别记作，，当时，求的值；（3）若以A，B，C，D为顶点的四边形的面积记作S．①当时，求S的最大值；②当时，直接写出时t的值．

合肥市五十中学东校2024-2025学年九年级阶段练习数学试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.二次函数图象的顶点所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【详解】根据抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象限．解：，顶点坐标为，顶点在第二象限．故选：．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．2.拋物线向左平移8个单位，再向下平移9个单位后，所得抛物线的表达式是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：把抛物线向左平移8个单位得到抛物线；把抛物线向下平移9个单位得到抛物线．故选：A．3.如果反比例函数（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（）A.a<0 B.a>0 C.a<2 D.a>2【答案】D【解析】【分析】反比例函数图象在一、三象限，可得．【详解】解：反比例函数（a是常数）的图象在第一、三象限，，．故选D．【点睛】本题运用了反比例函数图象的性质，解题关键要知道k的决定性作用．4.如图所示的是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（

）A. B. C.且 D.或【答案】D【解析】【分析】本题考查利用图象法求解一元二次不等式，找到二次函数图象与x轴的交点横坐标即可求解，“数形结合”是解题关键．【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，且抛物线与x轴交于，∴抛物线与x轴另一交点坐标为，∴不等式的解集是或故选：D．5.如图，已知AD∥BE∥CF，＝，DE＝3，则DF的长为（）A.2 B.4.5 C.3 D.7.5【答案】D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可．【详解】解：∵AD∥BE∥CF，∴，∵＝，DE＝3，∴，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，会利用平行线分线段成比例定理求解正确列出比例式是解答的关键．6.下列函数中，当时，y随x的增大而增大的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据一次函数、二次函数和反比例函数的性质进行判断即可．【详解】解：A．当时，对于，y随x的增大而减小，故选项不符合题意；B．当时，对于，y不一定随x的增大而减小，故选项不符合题意；C．当时，对于，y随x的增大而减小，故选项不符合题意；D．当时，对于，y随x的增大而增大，故选项符合题意．故选：D．【点睛】此题考查了一次函数、二次函数和反比例函数，熟练掌握函数的性质是解题的关键．7.如图，以线段为边作正方形，取的中点E，连接，延长至F，使得，以为边作正方形，则点H即是线段的黄金分割点．若记矩形的面积为，正方形的面积为，则与的大小关系是（）A. B. C. D.不能确定【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质、黄金分割点等知识点，利用黄金分割点的定义得到是解答本题的关键．先根据H是的黄金分割点求出，得出．【详解】解：∵点H即是线段的黄金分割点，∴，∵，∴．故选：C．8.如图，在平面直角坐标系中，，将沿y轴向上平移3个单位长度至，连接，若反比例函数的图象恰好经过点A及的中点D，则k值等于（）A.6 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】本题考查反比例函数与几何综合，延长，交轴于点，有轴，根据平移特点证明四边形为菱形，得到，设，则，，由与都在反比例函数图象上，建立等式，求得值，再利用勾股定理求得值，即可解题．【详解】解：延长，交轴于点，由题意知，轴，沿y轴向上平移3个单位长度至，且，，，四边形为菱形，，设，则，，且点D为的中点，，与都在反比例函数图象上，，解得，即，，，即，，即．故选：B．9.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以点A为圆心，以AB长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论正确的是（）A.DE垂直平分AC B.△ABE∽△CBAC. D.【答案】D【解析】【分析】根据作图可知是的角平分线，，根据证明，可得，，根据面积法可得，可得即可判断D选项正确，其他选项无法证明．【详解】解：根据作图可知是的角平分线，，，在与中，，，，，，，，，即．A,B,C选项无法证明．故选：D．【点睛】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定，三角形面积公式，证明两三角形相似，垂直平分线的性质，理解基本作图是解题的关键．10.如图，等腰与矩形DEFG在同一水平线上，，现将等腰沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平移过程，可分三种情况，当时，当时，当时，利用直角三角形的性质及面积公式分别写出各种情况下y与x的函数关系式，再结合函数图象即可求解．详解】过点C作CM⊥AB于N，，在等腰中，，，①当时，如图，，，，∴，y随x的增大而增大；②当时，如图，，∴当时，y是一个定值为1；③当时，如图，，，,当x=3，y=1，当3<x<4，y随x的增大而减小，当x=4，y=0，结合ABCD选项的图象，故选：B．【点睛】本题考查了动点函数问题，涉及二次函数的图象及性质，能够准确理解题意并分情况讨论是解题的关键．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.已知，则__________．【答案】【解析】【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是关键．根据比例的性质得到，代入所求的式子计算即可．【详解】解：，，．故答案为：．12.如图所示，点A是反比例函数的图像上一点，过点A作轴于点，点在轴上，若的面积是2，则_________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义、平行线的性质等知识点，正确求出是解题的关键．如图：连接，证明，即可得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义即可解答．【详解】解：如图所示，连接，∵，∴，∴，∵点A是反比例函数的图像上一点，∴，解得：．故答案为：．13.已知，x≥2，P=x-y则P的取值范围是_______________.【答案】P≤-2【解析】【分析】先求出P的解析式，配方后，再根据二次函数的增减性求出最大值，然后写出P的取值范围即可．【详解】P=x-y=x-（x2-2x+4）=－x2+3x－4=，二次函数的对称轴为直线x=．∵a＝﹣1＜0，∴抛物线开口向下，当x≥时，y随x增大而减小，∴当x=2时，有最大值为﹣22+3×2－4＝－2，∴P≤－2，∴P的取值范围为P≤－2．故答案为P≤－2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的最值问题和增减性，熟记性质并求出对称轴是解题的关键．14.如图，，，，，点D在线段上运动，当点D从点B运动到点C时．（1）当时，则___________；（2）设P为线段的中点，在点D的运动过程中，的最小值是___________．【答案】①.②.6【解析】【分析】（1）证明，推出，可得答案；（2）证明，推出，求出最小值，可得答案．【详解】解：（1）∵，∴，∵，，即，∵，∴，，∵，∴，故答案为：；（2）∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵P为线段的中点，∴，∴，∵，，，∴的值最小时，的值最小，此时的值最小，∵，∴，根据垂线段最短可知，当时，此时＝＝，∴，∴的最小值为，故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理等知识，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．三．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.已知抛物线．（1）用配方法确定它的顶点坐标、对称轴；（2）取何值时，？【答案】（1）顶点坐标为，对称轴是直线（2）或【解析】【分析】本题考查了用配方法将二次函数的一般式化为顶点式、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．（1）根据配方法可以将抛物线化为顶点式，然后即可写出该抛物线的顶点坐标和对称轴；（2）令求出的值，然后根据二次函数的性质，即可写出取何值时，．【小问1详解】解：，该抛物线的顶点坐标为，对称轴是直线；【小问2详解】解：，该函数图象开口向下，当时，，得，，当或时，．16.已知、、是ΔABC的三边长，且.（1）求的值；（2）若ΔABC的周长为90，求各边的长.【答案】（1）；（2）各边的长为：30，24，36【解析】【分析】利用已知中的比例式，用同一未知数表示出a，b，c的值，进而计算得出答案．【详解】解：（1）∵，

∴设a=5x，b=4x，c=6x，

∴，（2）∵ΔABC的周长为90，∴a+b+c=90∴5x+4x+6x=90∴x=6∴各边的长为：30，24，36【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键．四．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．（1）作出一个，使；（2）在边上确定一点，使．（保留作图轨迹）【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查相似变换的作图，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．（1）由图可知、、的长度，根据“三边对应成比例的两个三角形相似”画图即可得答案；（2）构造相似三角形解决问题（，相似比，推出）即可．【小问1详解】解：由图可知，，，，所画各边长分别为，，，，，，即为所求（答案不唯一）；【小问2详解】解：取格点和，连结与交于点，连结，，，，，点即为所求．18.阅读材料：设二次函数的图象的顶点坐标分别为，，若，，且开口方向相反，则称是的“致真二次函数”．（1）请写出二次函数的一个“致真二次函数”；（2）已知关于的二次函数和二次函数，若函数恰是的“致真二次函数”，求的值．【答案】（1）（答案不唯一）；（2）．【解析】【分析】本题考查二次函数的性质．解题关键是读懂“问真二次函数”的定义，将函数化为顶点式求解．（1）先将配方求出顶点坐标，然后根据题干中“问真二次函数”定义求解．（2）由二次函数可得顶点坐标为，二次函数的顶点坐标为，根据题干中“问真二次函数”定义求解即可．【小问1详解】解：设二次函数的一个“问真二次函数”为，顶点坐标为，，顶点坐标为，，，，，两个函数图象开口方向相反，的值可以是，二次函数的一个“问真二次函数”可以是，即（答案不唯一）；【小问2详解】解：∵图象的顶点为．的顶点坐标为．∵，且，∴．五．（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图，在中，，棱长为1的立方体的表面展开图有两条边分别在，上，有两个顶点在斜边上，求的面积．【答案】16【解析】【分析】由题意得、、是直角三角形，四边形是矩形，证明，得出，易证，得出，求出，再由三角形面积公式即可得出答案．【详解】解：如图，由题意得：、、是直角三角形，四边形是矩形，，，，，，，，，，在和中，，，，，，．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明三角形相似和三角形全等是解题的关键．20.如图，在直角坐标系中，已知点B(4,0)，等边三角形OAB的顶点A在反比例函数的图象上(1)求反比例函数的表达式．(2)把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O′A′B′当这个函数图象经过△O′A′B′一边的中点时，求a的值．【答案】（1）；（2）的值为1或3；【解析】【详解】（1）如图1，过点A作于点C.是等边三角形，，.，.，.把点（2，）的坐标代入，得..（2）（Ⅰ）如图2，点D是的中点，过点D作轴于点E.由题意得，.在中，，，..把代入．得..（Ⅱ）如图3，点F是的中点，过点F作轴于点H.由题意得，在中，.把代入，得..综上,的值为1或3.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数及分类讨论等知识.掌握待定系数法是解答（1）的关键，分类讨论是解（2）的关键.六．（本题满分12分）21.如图，在中，点D，E分别在边，上，、的延长线相交于点F．（1）如图1，若，，，，求的长；（2）如图2，若，求证．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键；（1）先证明，再利用相似三角形的性质进行求解即可；（2）如图，过作于，证明，，再利用相似三角形的性质可得结论．【小问1详解】解：∵，，∴，∴，∵，，，∴，∴；【小问2详解】如图，过作于，∴，，∴，，∵，∴，∴．七､（本题满分12分）22.某商贸公司购进某种商品，经过市场调研，整理出这种商品在第天的售价与日销售量的相关信息如表：时间（天）售价日销售量（）已知这种商品的进价为元，设销售这种商品的日销售利润为元．（1）求与的函数关系式；（2）第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？【答案】（1）（2）第天的销售利润最大，最大日销售利润为元【解析】【分析