人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册学案：2 3 3 点到直线的距离公式-2 3 4 两条平行直线间的距离

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE12．3.3点到直线的距离公式2．3.4两条平行直线间的距离学习目标1.掌握点到直线距离的公式，会用公式解决有关问题.2.掌握两条平行直线间的距离公式，并会求两条平行直线间的距离．知识点点到直线的距离、两条平行线间的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长图示公式(或求法)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))思考1点P(x0，y0)到直线x＝a和直线y＝b的距离怎样计算？〖答案〗P(x0，y0)到x＝a的距离d＝|a－x0|；P(x0，y0)到y＝b的距离d＝|b－y0|.思考2两直线都与坐标轴平行，可以利用公式求距离吗？〖答案〗可以.应用公式时要把直线方程都化为一般式方程．1．当点P(x0，y0)在直线l：Ax＋By＋C＝0上时，点到直线的距离公式不适用了．(×)2．点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为eq\f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).(×)3．直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离．(√)4．两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．(√)一、点到直线的距离例1(1)求点P(2，－3)到下列直线的距离．①y＝eq\f(4,3)x＋eq\f(1,3)；②3y＝4.解①y＝eq\f(4,3)x＋eq\f(1,3)可化为4x－3y＋1＝0，则点P(2，－3)到该直线的距离为eq\f(|4×2－3×－3＋1|,\r(42＋－32))＝eq\f(18,5).②3y＝4可化为3y－4＝0，则点P(2，－3)到该直线的距离为eq\f(|－3×3－4|,\r(02＋32))＝eq\f(13,3).(2)求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1,0)的距离是eq\f(3\r(10),5)的直线l的方程．解设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知，d＝eq\f(|3×－1－0＋m|,\r(32＋－12))＝eq\f(|m－3|,\r(10))＝eq\f(3\r(10),5).所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.得m＝9或m＝－3，故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.反思感悟点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．跟踪训练1(1)点P(－1,2)到直线2x＋y－10＝0的距离为________．〖答案〗2eq\r(5)(2)已知坐标平面内两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为________．〖答案〗－6或eq\f(1,2)〖解析〗由eq\f(|3m＋2＋3|,\r(m2＋1))＝eq\f(|－m＋4＋3|,\r(m2＋1))，得|3m＋5|＝|m－7|，∴m＝－6或m＝eq\f(1,2).二、两平行线间的距离例2(1)求两条平行直线3x＋4y－12＝0与mx＋8y＋6＝0之间的距离；(2)求到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线的方程．解(1)由两直线平行得eq\f(3,m)＝eq\f(4,8)，∴m＝6.∴直线6x＋8y＋6＝0即为3x＋4y＋3＝0.∴两平行直线间的距离d＝eq\f(|3＋12|,\r(32＋42))＝eq\f(15,5)＝3.(2)设所求直线方程为3x－4y＋m＝0，由两平行线间的距离公式得eq\f(|m－1|,\r(32＋－42))＝3，解得m＝16或m＝－14.故所求的直线方程为3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0.延伸探究把本例(2)改为“直线l与直线3x－4y＋1＝0平行且点P(2,3)到直线l的距离为3，求直线l的方程”．解由直线l平行于直线3x－4y＋1＝0，可设l的方程为3x－4y＋c＝0，又点P到l的距离为3，所以eq\f(|3×2－4×3＋c|,\r(32＋－42))＝3.解得c＝21或c＝－9，所以，所求直线方程为3x－4y＋21＝0或3x－4y－9＝0.反思感悟求两条平行直线间距离的两种方法(1)转化法：将两条平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求．(2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).跟踪训练2(1)已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是()A．1B．2C.eq\f(1,2)D．4〖答案〗A〖解析〗由两条直线平行可得eq\f(5,10)＝eq\f(12,m)，解得m＝24.即5x＋12y＋10＝0，由两条平行线间的距离公式得d＝eq\f(|－3－10|,\r(52＋122))＝1.(2)已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．〖答案〗x＋2y－3＝0〖解析〗当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为A(1,1)，B(0，－1)．所以kAB＝eq\f(－1－1,0－1)＝2，所以两条平行直线的斜率为－eq\f(1,2)，所以直线l1的方程为y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.三、距离的综合应用例3两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：(1)d的变化范围；(2)当d取最大值时，两条直线的方程．解(1)如图，显然有0<d≤|AB|.而|AB|＝eq\r(6＋32＋2＋12)＝3eq\r(10).故所求的d的变化范围为(0,3eq\r(10)〗．(2)由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直．而kAB＝eq\f(2－－1,6－－3)＝eq\f(1,3)，所以所求直线的斜率为－3.故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.反思感悟应用数形结合思想求最值(1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决．(2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围．跟踪训练3已知△ABC的顶点坐标为A(1,1)，B(m，eq\r(m))，C(4,2)，1<m<4.当m为何值时，△ABC的面积S最大？解|AC|＝eq\r(4－12＋2－12)＝eq\r(10)，直线AC的方程为eq\f(y－1,2－1)＝eq\f(x－1,4－1)，即x－3y＋2＝0.因为点B(m，eq\r(m))到直线AC的距离d＝eq\f(|m－3\r(m)＋2|,\r(12＋－32))，所以△ABC的面积S＝eq\f(1,2)|AC|·d＝eq\f(1,2)|m－3eq\r(m)＋2|＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(m)－\f(3,2)))2－\f(1,4))).因为1<m<4，所以1<eq\r(m)<2，所以0<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(m)－\f(3,2)))2－\f(1,4)))≤eq\f(1,4)，0<S≤eq\f(1,8).所以当eq\r(m)＝eq\f(3,2)，即m＝eq\f(9,4)时，△ABC的面积S最大．1．已知点(a，1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为()A．1B．－1C.eq\r(2)D．±eq\r(2)〖答案〗D〖解析〗由题意知eq\f(|a－1＋1|,\r(12＋12))＝1，即|a|＝eq\r(2)，∴a＝±eq\r(2).2．两平行直线x＋y－1＝0与2x＋2y＋1＝0之间的距离是()A.eq\f(3\r(2),4)B.eq\f(\r(2),4)C．2D．1〖答案〗A〖解析〗2x＋2y＋1＝0可化为x＋y＋eq\f(1,2)＝0，由两平行直线间的距离公式，得eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋1)),\r(12＋12))＝eq\f(3\r(2),4).3．已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是()A.eq\r(10) B.eq\f(3\r(5),5)C.eq\r(6) D．3eq\r(5)〖答案〗B〖解析〗点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为|MP|的最小值，所以|MP|的最小值为eq\f(|2＋2－1|,\r(22＋12))＝eq\f(3\r(5),5).4．直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是________________．〖答案〗(5，－3)〖解析〗由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，设垂足为M，则|MP|最小，直线MP的方程为y－1＝－eq\f(4,3)(x－2)，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y－27＝0，,y－1＝－\f(4,3)x－2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝－3，))∴所求点的坐标为(5，－3)．5．与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为_____