数学学案：二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教材习题点拨1．解：（1)3x＋4＞0，原不等式可化为x＞－eq\f(4，3).所表示的平面区域如图（1）阴影部分．(2）2y－3≤0,原不等式可化为y≤eq\f(3，2）。所表示的平面区域如图（2）中阴影部分．（3)3x＋2y＜－4。所表示的平面区域如图(3)中阴影部分．（4)2x－y－2≤0，所表示的平面区域如图（4)中阴影部分．2．解：（1）eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＋4＜0，x－y＋1≤0））所表示的平面区域如图(1)中阴影部分．(2)eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（3x－y＋6＞0，2x＋3y－1≥0，2x－4＜0）)所表示的平面区域如图（2)中的阴影部分．(3）eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＜3,x－2y≤0，3x＋2y≥6,3y＜x＋9))所表示的平面区域如图(3)中的阴影部分．（4）eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（1＜x＋2y≤4，－2≤2x－y≤－1）)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋2y＞1,，x＋2y≤4，，2x－y≥－2，，2x－y≤－1。)）所表示的平面区域如图（4）中的阴影部分．图（4)3．解：设甲厂分配到的贷款为x万元,乙厂分配到的贷款为y万元,由题意得：eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋y＜250，,20％x＋25%y≥60，,x≥0,，y≥0，)）可化简为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋y＜250，,4x＋5y≥1200，,x≥0，,y≥0.)）其相应的平面区域如图中阴影部分所示．练习B（1)解：直线AC斜率为：kAC＝eq\f(3，5），∴直线AC的方程为y－1＝eq\f(3,5）(x＋2），即3x－5y＋11＝0.直线BC斜率为：kBC＝－eq\f(3,2），∴直线BC的方程为y－4＝－eq\f(3,2）(x－3)，即3x＋2y－17＝0.直线AB方程为y＝1。由如图(1)所示可行域得二元一次不等式组为eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（3x－5y＋11≥0,，3x＋2y－17≤0,,y≥1.））(2）解：设C点坐标为(x1，y1)，D点坐标为（x2，y2），直线AB的方程为：2x＋3y－1＝0,AB＝eq\r(13)。∵BC＝AB，∴eq\r（(x1－2)2＋（y1＋1）2)＝eq\r(13）。①又AB⊥BC，∴kBC·kAB＝－1，即eq\f(y1＋1，x1－2）＝eq\f（3,2）。②由①②组成方程组解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x1＝0，,y1＝－4)）或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x1＝4，,y1＝2.))同理解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝－3，,y2＝－2））或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x2＝1，，y2＝4.））A、B、C、D依逆时针顺序排列，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝0,，y1＝－4））不合题意，∴C点坐标为(4，2）．不合题意，∴D点坐标为（1,4）．∴直线AD的方程为:3x－2y＋5＝0。直线BC的方程为:3x－2y－8＝0.直线DC的方程为：2x＋3y－14＝0.由图（2)所示可行域得二元一次不等式组为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2y＋5＞0，，3x－2y－8＜0,,2x＋3y－14＜0，，2x＋3y－1＞0。）)练习1．解:(1）作出线性约束条件所表示的可行域，如图所示，作出直线l0:5x＋8y＝0.将l0在可行域内平移到l，当l过点eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（9，4)，\f(15,4）））时，z＝5x＋8y取最大值，l的方程为:5x＋8y＝eq\f(165,4）,即zmax＝eq\f（165，4）。（2)作出线性约束条件所表示的可行域，如图所示，作出直线l0:3x＋5y＝0.设5x＋3y＝15与y＝x＋1的交点为A。将直线l0在可行域内平移到l，当直线l过A点时，z取最大值．∵eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(5x＋3y＝15，,y＝x＋1，)）∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f(3，2)，，y＝\f（5,2），））即Aeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f（5,2))）.zmax＝3×eq\f（3，2)＋5×eq\f(5,2）＝17.2．解：设A仓库调往甲地机器x台，B仓库调往乙地机器y台,则B仓库调往甲地机器(10－x）台,A仓库调往乙地机器（8－y）台，设运输费用为z，由题意,得即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(0≤x≤10,,0≤y≤8,,x－y≤6，,x－y≥2，，x、y∈N＋。））设目标函数z＝400x＋800(8－y)＋300(10－x)＋500y。∴z＝100x－300y＋9400.作出上述限制条件所表示的可行域,如图所示．作直线l0：x－3y＝0.将l0向可行域平移，当l0过A点时，z有最小值．由得A（10,8)．此时zmin＝10×100－300×8＋9400＝8000(元)．答：A运往甲地10台，乙地0台；B运往乙地8台，甲地0台时运费最省．3．解:设每月生产甲产品x件,乙产品y件，设总收入为z，则目标函数z＝3000x＋2000y。由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，，y≥0，,x、y∈N＋，,x＋2y≤400，,2x＋y≤500.)）作出上述限制条件所表示的可行域（如图所示)，作直线l0：3000x＋2000y＝0，将l0向可行域平移，设x＋2y＝400与2x＋y＝500交点为A,当l0平移到l1过A点时，z取最大值．∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋2y＝400，，2x＋y＝500，））∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝200，,y＝100。）)即A（200,100）．∴zmax＝3000×200＋2000×100＝800000.即每月生产甲200件，乙100件可获最大销售总收入800000元．4．解:设需食物A为xkg，食物B为ykg，花费为z元．则目标函数z＝28x＋21y.由题意，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(0.105x＋0.105y≥0。075，,0。07x＋0.14y≥0。06，,0。14x＋0.07y≥0。06，,x≥0，,y≥0.）)即.作出上述不等式组表示的可行域．如图阴影部分所示．作直线l0：28x＋21y＝0，即4x＋3y＝0，将l0向可行域平移，设7x＋7y＝5与14x＋7y＝6的交点为A，当l0平移至l1，l1过点A时,z取最小值．∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（7x＋7y＝5，,14x＋7y＝6，）)∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1，7），,y＝\f(4,7)，))即Aeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,7），\f(4，7）)).∴zmin＝28×eq\f（1,7)＋21×eq\f(4，7）＝16.答：需食物A为eq\f(1，7）kg，食物B为eq\f(4，7）kg时，既能满足营养专家指出的饮食要求，同时花费也最低．习题3－5A1．解：(1）如图(1)；(2)如图(2）;(3）如图(3)；(4)如图（4)．2．解:（1)eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥2x＋1，，x＋2y＜4））表示的平面区域如图（1)．(2）表示的平面区域如图(2)．(3)表示的平面区域如图(3)．（4）eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≤0，,3x＋5y≤30,，x≥－2））表示的平面区域如图（4)．3．解：作出不等式组eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2x＋3y－24≤0，,x－y≤7，,x≥0，，y≥0））表示的平面区域（如图所示）．作直线l0：2x＋3y＝0。将直线l0向可行域移动，由图可知，当直线移至2x＋3y－24＝0与之重合时，z＝2x＋3y取得最大值．由解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝9，,y＝2，)）∴A（9，2）．∴zmax＝2×9＋3×2＝24或zmax＝3×8＝24.∴函数z＝2x＋3y的最大值为24.4．解：作出不等式组eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2x＋5y≥15，,x－5y≥0，，6≤x≤8））表示的平面区域(如图所示）．作直线l0：7x＋y＝0,将直线l0向可行域移动．如图所示，当直线移至B点时,7x＋y取得最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－5y＝0,,x＝8，）)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝8,，y＝\f(8,5）.））∴Beq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(8，\f（8,5）)).∴z的最大值为7×8＋eq\f（8，5）＝eq\f(288，5）.5．解：设一天生产甲产品x件，乙产品y件，获得利润z＝1500x＋2000y，则：eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（4x≤16,，4y≤12，,x＋2y≤8，,x＞0，y＞0，且x，y均为整数)),由画图可知，生产4件甲产品，2件乙产品，才能获得最大的利润．6．解：设截两种钢板分别为x张、y张．目标函数z＝x＋y.由题意，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2x＋y≥15,，x＋2y≥18，，x＋3y≥27,，x，y∈N＋。）)作出不等式组表示的平面区域(如图），作直线l0：x＋y＝0。由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋3y＝27,,2x＋y＝15，）)得A(3。6,7。8)．当直线l0平移过A点时，z＝3.6＋7.8＝11.4.令z＝x＋y＝12得最优解（4，8)和（3,9)．答：分别截这两种钢板4张、8张或3张、9张，可使所用两种钢板的张数最少．习题3－5B1．解:（1）如图（1）．(2）如图(2）．2．解：设二次函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，图象过原点，则有c＝0，∴y＝ax2＋bx。由－1≤f（－1)≤2≤f（1)≤4,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－1≤a－b≤2，①，2≤a＋b≤4.②）)∴f(－2）＝4a－2b.作直线l0：2a－b＝0.根据①②作可行域,如图所示．将l0向可行域平移．可知,在B点处f（－2）取最小值,在A点处取最大值，A（a1，b1），B（a2，b2）．∵eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a1＋b1＝4,,a1－b1＝2，))∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a1＝3，,b1＝1.))∴A（3，1）.eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a2＋b2＝2，,a2－b2＝－1。))∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a2＝\f（1,2)，,b2＝\f（3，2))）∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，2）,\f（3,2）)).∴4×eq\f(1，2）－2×eq\f（3，2）≤f（－2）≤4×3－2×1，即－1≤f(－2）≤10.∴f（－2）的取值范围为［－1，10］．另解:设4a－2b＝m（a－b)＋n(a＋b），则eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(4＝m＋n,，－2＝－m＋n，)）得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（m＝3，,n＝1，））即4a－2b＝3(a－b）＋（a＋b）．∵－3≤3（a－b)≤6，2≤a＋b≤4，∴－1≤4a－2b≤10.∴f(－2）的取值范围为[－1,10］．3．解：设电视台每周播放连续剧甲x次，连续剧乙y次，收视观众为z万人，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(80x＋40y≤320，,x＋y≥6，,x,y∈N＋.))即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2x＋y≤8，，x＋y≥6，，x，y∈N＋))目标函数z＝60x＋20y,l0:3x＋y＝0.作出不等式组的可行域如图所示．将直线l0向可行域平移，当直线过A点时,z取最大值．由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝8，,x＋y＝6，)）得A（2，4）．zmax＝60×2＋20×4＝200（万人)．答：电视台每周应播放连续剧甲2次，连续剧乙4次，才能使收视的观众最多．4．解:设安排x名Ⅰ级车工，y名Ⅱ级车工，支出费用z元，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(240x＋160y≥2400，，x，y∈N＋，,6≤y≤12，,0≤x≤8。))即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（3x＋2y≥30,，0≤x≤8,，6≤y≤12，,x，y∈N＋.）)目标函数z＝56x＋36y＋240×（1－97％）×2x＋160×（1－95.5%)×2y＝70。4x＋50.4y。将l0：70。4x＋50.4y＝0向可行域平移，可知在B点处取得最小值（如图所示)．由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(3x＋2y＝30，，y＝6，））得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝6,，y＝6.)）∴B（6,6）．∴zmin＝70.4×6＋50.4×6＝724。8（元）．答：安排6名Ⅰ级车工,6名