数学学案：二面角及其度量

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精数学人教B选修2-1第三章3.2.4二面角及其度量1．理解斜线和平面所成角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性．2．会求直线与平面所成的角．3．掌握二面角的概念,二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角．4．掌握求二面角大小的基本方法．1．直线与平面的夹角(1)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为______；（2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为______；（3)斜线和它在平面内的______所成的角叫做斜线和平面________(或斜线和平面的夹角)；（4)直线与平面的夹角的范围是eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（0，\f（π，2)））。【做一做1】直线l的一个方向向量与平面α的法向量的夹角为135°,则直线l与平面α的夹角为（)A．135°B．45°C．75°D．以上均错2．最小角定理(1）线线角、线面角的关系式：cosθ＝________，如图，θ是OA与OM所成的角，θ1是OA与OB所成的角,θ2是OB与OM所成的角．(2)最小角定理：斜线和它在平面内的________所成的角，是斜线和这个平面内________________中最小的角．【做一做2】一条直线与平面的夹角为30°，则它和这个平面内所有直线所成角中最小的角为(）A．30°B．60°C．90°D．150°3．二面角的定义及表示方法（1）平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做________．(2）从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做________；这条直线叫做二面角的________,每个半平面叫做二面角的________．棱为l,两个面分别为α,β的二面角,记作________．若A∈α，B∈β，二面角也可以记作________．（3)二面角的平面角在二面角α－l－β的棱上任取一点O,在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l,则∠AOB叫做________________．(4)二面角的范围是[0,π]．（5)平面角是直角的二面角叫做直二面角．（1）二面角是图形，它是由两个半平面和一条棱构成的图形．(2）符号α－l－β的含义是棱为l，两个面分别为α，β的二面角．（3）两个平面相交，构成四个二面角．【做一做3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－B1C－A1的平面角的正切值为（)A．1B．eq\f(\r（2）,2）C．eq\r（2）D．eq\r（3）4．设m1⊥α，m2⊥β,则角〈m1，m2〉与二面角α－l－β____________________。【做一做4】若二面角的两个半平面的法向量分别为(4,2,0)和（3，－6,5），则这个二面角的余弦值是（）A．0B．eq\f（\r（3），2)C．eq\f(1，2)D．eq\f（\r（2），2）1．如何理解直线与平面所成的角？剖析：此概念应分三种情况：(1）直线与平面斜交时,直线与平面所成的角是指这条直线和它在平面内的射影所成的锐角；(2)直线与一个平面垂直时，直线与平面的夹角为90°;（3)一条直线与一个平面平行或在平面内时，直线与平面的夹角为0°。2．如何用向量求线面角？剖析：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n,直线与平面所成的角为θ，则sinθ＝｜cos〈a，n〉｜＝eq\f（|a·n|,｜a||n｜).3．如何理解二面角的平面角?二面角的平面角必须具备三个条件：（1)二面角的平面角的顶点在二面角的棱上；(2）二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内；(3)二面角的平面角的两条边都与棱垂直，且平面角的大小与平面角在棱上的位置无关．4．如何求二面角？(1)作出二面角的平面角；（2)利用法向量的夹角．题型一用定义求直线与平面所成的角【例1】已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a,BC＝eq\r(2）a,求OA与平面α所成角的大小．分析：解答本题可找出点A在平面内的射影位置,作出线面角，然后解三角形求出线面角．反思：用定义法求直线与平面所成角时，关键是找到斜线的射影，找射影有以下两种方法:①斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上;②利用已知垂直关系得出线面垂直，确定射影．题型二向量法求直线与平面所成的角【例2】在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝2BC,A1B⊥B1C.求B1C与侧面A1ABB1所成角的正弦值．分析:因为是直三棱柱，所以本题可建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角求解．反思：利用向量法求斜线与平面的夹角优势在于不用找角，只需建立适当的坐标系，用待定系数法求出平面的法向量，再用公式求解即可．但要注意法向量的正确性以及线面角与向量夹角的关系．题型三定义法求二面角的大小【例3】如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD,AD＝DC＝BC＝a，AB＝eq\r(3）a.(1)求证：平面ABC垂直于平面ADC;（2)求二面角C－AB－D的大小．分析：(1）可利用面面垂直的判定定理证明；（2)利用平面ABC垂直于平面ADC，作出所求二面角的平面角，然后解三角形求角．反思：所谓定义法，就是作出二面角的平面角，然后通过解三角形求解．作出二面角的平面角常用的方法有:①找与二面角的棱垂直的平面与二面角两半平面的交线;②在二面角的一个面上取一点，利用三垂线定理作平面角；③在二面角的棱上取一点，分别在两个面内作出和棱垂直的射线．题型四向量法求二面角的大小【例4】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角A1－BD－C1的大小．分析：本题可建立空间直角坐标系,分别求平面C1BD和平面A1BD的一个法向量，然后通过法向量的夹角获得二面角的大小．反思:向量法求二面角有如下方法：(1)可以在两个半平面内作垂直于棱的向量,转化为这两个向量的夹角，但需注意两个向量的起点应始终在二面角的棱上．(2）建空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量m，n，根据cosθ＝eq\f（|m·n|,|m｜｜n|)求得锐角θ，若二面角为锐角，则为θ，若二面角为钝角,则为π－θ。1正方体ABCD－A1B1C1D1中,O为侧面BCC1B1的中心，则AO与平面ABCD所成角的正弦值为（）A．eq\f(\r（3),3)B．eq\f（1，2）C．eq\f(\r(6），6）D．eq\f(\r（3）,2）2正三棱锥的所有棱长都相等，则侧棱与底面所成的角是(）A．arctaneq\r（3）B．arctaneq\r(2)C．arctaneq\f（\r（3）,3)D．arctaneq\f(\r(2)，2）3若BC在平面α内，斜线AB与平面α所成的角γ,∠ABC＝θ，AA′⊥平面α,垂足为A′，∠A′BC＝β，那么(）A．cosθ＝cosγ·cosβB．sinθ＝sinγ·sinβC．cosγ＝cosθ·cosβD．cosβ＝cosγ·cosθ4已知正四面体ABCD，则二面角A－BC－D的余弦值为（)A．eq\f(1，2)B．eq\f(1，3）C．eq\f(\r（3）,3）D．eq\f（\r（3），2)5设a＝（0,1，1)，b＝(1,0，1)分别是平面α，β的两个法向量，则锐二面角α－l－β的大小是（)A．45°B．90°C．60°D．120°答案：基础知识·梳理1．（1)90°(2）0°(3）射影所成的角【做一做1】B直线与平面的夹角的范围是eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2））)，所以直线l与平面α的夹角为180°－135°＝45°.2．(1)cosθ1cosθ2(2)射影所有直线所成角【做一做2】A3．(1)半平面(2)二面角棱面α－l－βA－l－B(3）二面角α－l－β的平面角【做一做3】B设A1D，B1C的中点分别为E，F，可知∠AFE是所求二面角的平面角．在Rt△AEF中,tan∠AFE＝eq\f(AE,EF）＝eq\f（\f（\r(2),2）AB,AB）＝eq\f(\r(2）,2)。4．相等或互补【做一做4】A4×3＋2×(－6)＋0×5＝0,∴二面角的两个半平面的法向量垂直．故这个二面角的余弦值是0.典型例题·领悟【例1】解：∵OA＝OB＝OC＝a,∠AOB＝∠AOC＝60°，∴AB＝AC＝a。∵BC＝eq\r(2)a，∴AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC为等腰直角三角形．同理，△BOC也为等腰直角三角形．过点A作AH⊥α于点H，连OH，则OH为AO在平面α内的射影，∠AOH为OA与平面α所成的角．∵AO＝AB＝AC，∴OH＝BH＝CH，H为△BOC的外心，∴点H在BC上，且为BC的中点．∵在Rt△AOH中，AH＝eq\f（\r（2),2)a，∴sin∠AOH＝eq\f(AH,AO）＝eq\f（\r（2),2),∴∠AOH＝45°，∴OA与平面α所成角的大小为45°.【例2】解：取C为原点，eq\o（CA，\s\up6(→)),eq\o（CB,\s\up6（→)），eq\o(CC1,\s\up6（→))为x，y,z轴的正方向,建立直角坐标系Cxyz，设|BC｜＝2，｜CC1|＝a，则A（4，0，0），A1（4，0，a），B（0，2,0）,B1(0，2，a)．∵A1B⊥B1C，∴eq\o（BA1，\s\up6(→））·eq\o（CB1，\s\up6(→）)＝0，∴a＝2。设n＝(x，y，z)是平面A1ABB1的一个法向量，则n·eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝－4x＋2y＝0。n·eq\o（BB1，\s\up6(→））＝2z＝0,∴n取(1,2,0),eq\o(CB1,\s\up6(→）)＝（0,2,2)，sinθ＝｜cos<n，eq\o（CB1，\s\up6(→）)〉|＝eq\f（4,2\r（10））＝eq\f（\r(10），5)，∴B1C与侧面A1ABB1所成角的正弦值为eq\f（\r(10)，5).【例3】解:（1)证明：因为AD⊥平面BCD,所以AD⊥DB，AD⊥BC.又AD＝a，AB＝eq\r（3)a，所以DB＝eq\r（2）a。又DC＝BC＝a，因此BD2＝CD2＋BC2，即∠DCB＝90°,所以DC⊥BC,因此BC⊥平面ADC。又BC在平面ABC内，所以平面ABC垂直于平面ADC.(2)作DF⊥AB于点F，DE⊥AC于点E,连EF,因为平面ABC垂直于平面ADC,因此DE⊥平面ABC,AB⊥平面DEF,所以EF⊥AB,则∠DFE为二面角C－AB－D的平面角，在直角三角形DEF中，∠DEF＝90°，DF＝eq\f(a·\r(2）a,\r（3)a）＝eq\f(\r（6)，3)a,DE＝eq\f(\r（2）,2）a，sin∠DFE＝eq\f(\r（3)，2）,所以∠DFE＝60°,故二面角C－AB－D的大小为60°。【例4】解：建立空间直角坐标系Dxyz,则＝(1,1，0），eq\o(DC1,\s\up6(→))＝(0，1,1),设平面C1BD的法向量为n1＝(x，y,z），则n1·＝0，n1·eq\o（DC1,\s\up6（→))＝0,即x＋y＝0，y＋z＝0，令x＝1,则y＝－1，z＝1,所以n1＝(1，－1，1)是平面C1BD的一个法向量．同理，得n2＝（－1，1,1）是平面A1BD的一个法向量．因为|n1|＝eq\r（3)，｜n2｜＝eq\r（3），所以cos〈n1，n2〉＝－eq\f（1，3)，由题知二面角的大小为arccoseq\f（1,3）.随堂练习·巩固1．C设BC中点为E，则∠OAE就是AO与平面ABCD所成角．2．B设底面正三角形BCD中心为O，则∠