数学学案：对数及其运算

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3。2.1对数及其运算1．对数的概念在指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）中,对于实数集R内的每一个值x，在正实数集内都有唯一确定的值y和它对应;反之，对于正实数集内的每一个确定的值y，在R内都有唯一确定的值x和它对应．因此,在式子y＝ax中，幂指数x又叫做以a为底y的对数．例如:因为42＝16，所以2是以4为底16的对数；因为41＝4,所以1是以4为底4的对数；因为，所以－eq\f（1，2)是以4为底eq\f(1,2）的对数．一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN,即b＝logaN（a＞0，且a≠1）．其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数,读作“b等于以a为底N的对数”．对数的定义可以从以下三个方面来理解：（1）对数式b＝logaN是指数式N＝ab的另一种表达形式,其本质相同．对数式中的真数N就是指数式中的幂值N，而对数式中的对数b就是指数式中的指数b，对数式与指数式中各个量的关系如图所示．(2）对于对数式b＝logaN,只有在a＞0,且a≠1，N＞0时才有意义．①当a＜0，N为某些数值时，b不存在，如(－2)x＝3没有实数解,所以log(－2)3不存在,为此，规定a不能小于0，并且由指数函数的定义也可知a不能小于0。②当a＝0,且N≠0时，logaN不存在，为此,规定a≠0。③当a＝1，且N不为1时，b不存在，如log12不存在；而a＝1,N＝1时，b可以为任何实数，不能确定．为此，规定a≠1.④在logaN＝b中，必须N＞0。这是由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数,因而在ab＝N中，N总是正数；0和负数没有对数．(3）指数式、对数式中各个字母的名称变化如下表：式子名称abN指数式ab＝N底数指数幂值对数式b＝logaN底数对数真数【例1－1】已知3m＝7,则有（)A．3＝log7mB．7＝log3mC．m＝log73D．m＝log37解析:由于ax＝Nx＝logaN，则3m＝7m＝log37.答案：D【例1－2】完成下表指数式与对数式的转换．题号指数式对数式(1)103＝1000（2）log39＝2(3）log210＝x解析：(1）103＝1000log101000＝3；（2）log39＝232＝9；（3）log210＝x2x＝10.答案：（1）log101000＝3;（2)32＝9；（3)2x＝10。【例1－3】求下列各式中x的值:(1)log2(log5x)＝0；(2）logx27＝；（3)x＝log84.解：(1）∵log2（log5x）＝0，∴log5x＝1。∴x＝51＝5。(2)∵logx27＝,∴＝27。∴x＝＝34＝81.(3)∵x＝log84，∴8x＝4.∴23x＝22。∴3x＝2，即。2．对数恒等式与对数的性质（1)根据对数的定义,可得对数恒等式.例如等．需注意,当幂的底数和对数的底数相同时，对数恒等式才适用．（2)根据对数的定义,对数logaN(a＞0，且a≠1）具有下列性质：①零和负数没有对数，即N＞0;②1的对数为0,即loga1＝0；③底的对数等于1，即logaa＝1.【例2】已知log7［log3（log2x)］＝0，那么等于(）A．B．C．D．解析:由log7［log3(log2x）］＝0,得log3（log2x)＝1，∴log2x＝3，∴x＝23＝8.∴.答案：C3．常用对数与自然对数（1）以10为底的对数叫做常用对数．为了简便，通常把底数10略去不写，并把“log”写成“lg”，即把log10N记作lgN.①以后如果没有特别指出对数的底，都是指常用对数．例如：100的对数是2，就是指100的常用对数是2,即lg100＝2.②常用对数的性质：(ⅰ）lg1＝0;（ⅱ）lg10＝1;(ⅲ）10lgN＝N(N＞0）．(2)以e为底的对数叫做自然对数(其中e＝2.71828…)．logeN通常记作lnN.自然对数有如下性质:①lne＝1;②elna＝a(a＞0）．【例3】有以下四个结论：①lg（lg10）＝0；②ln(lne）＝0；③若10＝lgx，则x＝10；④若e＝lnx，则x＝e2。其中正确的是（）A．①③B．②④C．①②D．③④答案：C4．对数的运算法则如果a＞0，且a≠1，M＞0,N＞0，那么：(1）loga（MN)＝logaM＋logaN.对于（1)，又可表述为：正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和（简言之：积的对数等于对数的和)．此性质可以推广到若干个正因数的积：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk.(2）＝logaM－logaN.对于（2），又可表述为：两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数(简言之：商的对数等于对数的差）．(3)logaMα＝αlogaM。对于（3），又可表述为：正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数．由（3)可推出对数的几个常用结论:①logaeq\r(n，M)＝eq\f(1,n）logaM；②logaeq\f(1,M）＝－logaM;③logaeq\r（p,Mn）＝eq\f(n,p）logaM，其中M＞0，n，p∈N＋,n，p＞1.谈重点牢记对数运算法则及其成立的条件1．要把握好对数运算法则及其成立的条件，特别是经常将对数的加减乘除与真数的加减乘除混淆．注意：loga(MN）≠（logaM）(logaN）；loga（M＋N）≠logaM＋logaN；logaeq\f(M,N)≠eq\f(logaM,logaN).2．指数与对数运算性质对比表:指数对数性质am·an＝am＋nloga（MN）＝logaM＋logaNeq\f（am，an)＝am－nlogaeq\f（M，N）＝logaM－logaN(am)n＝amnlogaMn＝nlogaM3．对数运算法则口诀：积的对数变加法，商的对数变减法；幂的乘方取对数，要把指数提到前．【例4－1】计算：(1）2log122＋log123；(2）lg500－lg5.解：(1）原式＝log1222＋log123＝log124＋log123＝log1212＝1。（2)原式＝＝lg100＝lg102＝2lg10＝2.【例4－2】已知lg2＝0。3010，lg3＝0.4771,求.分析:可以将转化为只含有lg2和lg3的形式．解：∵＝＝lg(5×9)＝（lg5＋lg9）＝＝（1－lg2＋2lg3）,又∵lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，∴lgeq\r(45）＝eq\f(1，2）（1－0。3010＋2×0。4771）＝0。8266.点技巧巧用常用对数的变形由于lg2＋lg5＝lg10＝1，所以lg5＝1－lg2，这是在对数运算中经常用到的结论．5．换底公式（1)设logbN＝x，则bx＝N。两边取以a为底的对数,得logabx＝logaN，得xlogab＝logaN，所以x＝eq\f(logaN,logab），即logbN＝eq\f（logaN，logab).即换底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab）。(2)公式作用：利用换底公式可以把不同底的对数化为同底的对数,这是解决关于对数运算问题的基本思想方法．【例5－1】的值是（)A．B．C．1D．2解析：思路一:将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，即。思路二:将分母利用换底公式转化为以2为底的对数，即.答案：A【例5－2】计算。解：原式＝＝－12.6．对数定义中的隐含条件根据对数的定义，对数符号logaN中实数a和N满足的条件是底数a是不等于1的正实数，真数N是正实数．因此讨论对数问题时，首先要注意对数的底数和真数满足的隐含条件．【例6】已知对数log(1－a)(a＋2)有意义，则实数a的取值范围是________．解析：根据对数的定义,得解得－2＜a＜0或0＜a＜1.答案：(－2，0)∪（0，1)7．对数的化简、求值问题（1)同底数的对数式的化简、求值一是“拆"，将积、商的对数拆成对数的和、差．如log3eq\f(9，5)＋log35＝log39－log35＋log35＝log39＝2.二是“收”，将同底数的对数和、差合成积、商的对数．如，log3eq\f（9,5）＋log35＝log3eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(9，5)×5)）＝log39＝2.三是“拆”与“收"相结合．(2)不同底数的对数式的化简、求值常用方法是利用换底公式,转化为同底数的对数式．通常是先分别换底,化简后再将底数统一进行计算．也可以在方向还不清楚的情况下，统一将不同的底换为常用对数等，再进行化简、求值．对数式的化简、求值,要灵活运用对数的性质、运算性质、换底公式和一些常见的结论，如lg2＋lg5＝1,logab·logba＝1等．【例7】求下列各式的值:（1);（2）2log32－＋log38－log5125;（3）log2(1＋＋)＋log2（1＋－)．分析：根据各个式子的特点，综合运用积、商、幂的对数公式变形求解．解：(1）原式＝.（2)原式＝2log32－（log325－log332)＋log323－log553＝2log32－(5log32－2）＋3log32－3＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.(3)log2（1＋＋)＋log2(1＋－)＝log2［（1＋＋）(1＋－）］＝log2[(1＋）2－()2]＝＝＝。点技巧对数运算法则的灵活运用利用对数运算法则计算时，通常要将底数、真数进行质因数分解,将不同底数化为同底数，在计算过程中常常会逆用运算法则．8．利用已知对数表示其他对数用对数logax和logby等表示其他对数时，首先仔细观察a，b和所要表示的对数底数的关系，利用换底公式把所要表示的对数底数换为a，b.解决此类题目时，通常用到对数的运算性质和换底公式．对数的运算性质总结：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：loga(MN)＝logaM＋logaN；logaeq\f（M，N）＝logaM－logaN；logaMn＝nlogaM（n∈R)．换底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab）(a＞0，且a≠1;b＞0,且b≠1;N＞0)．【例8－1】已知lg2＝a，lg3＝b,则log36＝（）A．B．C．D．解析：由换底公式得.答案:B【例8－2】已知log189＝a,18b＝5，求log3645。（用a，b表示)解:∵18b＝5，∴b＝log185。∴。点技巧巧用换底公式巧用换底公式是解决本题的关键，其中“log182＝log18eq\f（18，9)＝1－log189＝1－a”是点睛之笔．9．与对数有关的方程的求解问题关于对数的方程有三类：第一类是形如关于x的方程logaf（x）＝b，通常将其化为指数式f(x）＝ab,这样解关于x的方程f(x)＝ab即可，最后要注意验根．例如：解方程log64eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f(15，16）))＝－eq\f(2,3)，将其化为指数式为，又,则x－eq\f（15，16)＝eq\f（1，16)，所以x＝1，经检验x＝1是原方程的根．第二类是形如关于x的方程logf（x)n＝b，通常将其化为指数式[f(x）]b＝n，这样解关于x的方程［f(x）]b＝n即可，最后要注意验根．例如,解方程log（1－x)4＝2，将其化为指数式为(1－x）2＝4，解得x＝3或x＝－1，经检验x＝3是增根，原方程的根是x＝－1.第三类是形如关于x的方程f（logax)＝0,通常利用换元法，设logax＝t,转化为解方程f（t)＝0得t＝p的值，再解方程logax＝p,化为指数式则x＝ap,最后要注意验根．【例9－1】解方程lg2x－lgx2－3＝0。分析：利用换元法，转化为解一元二次方程．解：原方程可化为lg2x－2lgx－3＝0.设lgx＝t,则有t2－2t－3＝0，解得t＝－1或t＝3,∴lg