第四章　三角函数与解三角形 第七节　解三角形应用举例

三角函数与解三角形第七节解三角形应用举例1．如图所示，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD＝()A．30˚ B．45˚C．60˚ D．75˚2．(2024·泸州模拟)如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的高度为10000m，速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15˚，经过420s后看山顶的俯角为45˚，则山顶的高度大约为(2≈1.4，3≈1.7)()A．7350m B．2650mC．3650m D．4650m3．(数学与生活)我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛用于抢险救灾、视频拍摄、环保监测等领域．如图，有一个从地面A处垂直上升的无人机P，对地面B，C两受灾点的视角为∠BPC，且tan∠BPC＝13.已知地面上三处受灾点B，C，D共线，且∠ADB＝90˚，BC＝CD＝DA＝1km，则无人机P到地面受灾点D处的遥测距离PDA．2km B．2kmC．3km D．4km4．(多选题)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3(acosC＋ccosA)＝2bsinB，且∠CAB＝π3.若点D是△ABC外一点，DC＝1，DAA．△ABC的内角B等于πB．△ABC的内角C等于πC．△ACD的面积为3D．四边形ABCD面积的最大值为5325．甲船在A处发现乙船在其北偏东60˚方向上的B处，乙船正在以anmile/h的速度向北行驶，已知甲船的速度是3anmile/h，则甲船应沿着______方向前进，才能最快与乙船相遇．6．(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60˚，AB＝2，BC＝6，∠BAC的平分线交BC于点D，则AD＝________.7．如图，在△ABC中，D是AB边上的点，且满足AD＝3BD，AD＋AC＝BD＋BC＝2，CD＝2，则△BCD的面积为________.高考模拟8．如图，在100m高的山顶B处，测得山下一塔顶D与塔底C的俯角分别为30˚和60˚，则塔高CD＝()A．4003m B．400C．20033m D．9．(多选题)一艘轮船航行到A处时看灯塔B在其北偏东75˚方向，距离为126海里，灯塔C在其北偏西30˚方向，距离为123海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60˚方向，下面结论正确的有()A．AD＝24B．CD＝12C．∠CDA＝60˚或∠CDA＝120˚D．∠CDA＝60˚10．如图，在四边形ABCD中，已知AB⊥BC，AB＝5，AD＝7，∠BCD＝3π4，cosA＝17，则BC11．如图，在△ABC中，AB＝2，3acosB－bcosC＝ccosB，点D在线段BC上．(1)若∠ADC＝3π4，求AD(2)若BD＝2DC，△ACD的面积为423，求12．(2024·济宁模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2a＋c)·cos(A＋C)＋b＝2bcos2C2(1)求B；(2)如图，若D为△ABC外一点，且∠BCD＝7π12，AB⊥AD，AB＝1，AD＝3，求AC答案解析1、B解析：依题意可得AD＝2010m，AC＝305m，又CD＝50m，所以在△ACD中，由余弦定理的推论，得cos∠CAD＝AC2+AD2－CD2又0˚<∠CAD<180˚，所以∠CAD＝45˚，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45˚.2、B解析：如图，设飞机的初始位置为点A，经过420s后的位置为点B，山顶为点C，作CD⊥AB于点D，则∠BAC＝15˚，∠CBD＝45˚，所以∠ACB＝30˚.在△ABC中，AB＝50×420＝21000(m)，由正弦定理得ABsin∠ACB＝BCsin∠因为CD⊥AB，所以CD＝BCsin45˚＝10500(6－2)×22＝10500(3－所以山顶的海拔高度大约为10000－7350＝2650(m)．3、B解析：(方法一)由题意得BD⊥平面PAD，所以BD⊥PD.设PD＝xkm，记∠PBD＝α，∠PCD＝β，所以tanα＝x2，tanβ＝x所以tan∠BPC＝tan(β－α)＝x－x21+x·x2又在Rt△PDA中，有PD>AD，所以x＝2，即PD＝2km.(方法二)由题意知BD⊥平面PAD，所以BD⊥PD.设PA＝xkm，则PB2＝x2＋5，PC2＝x2＋2.由tan∠BPC＝13，可得cos∠BPC＝3在△PBC中，由余弦定理得x2＋5＋x2＋2－1＝2x2+5·x2+2进而PD＝PA24、ABD解析：因为3(acosC＋ccosA)＝2bsinB，由正弦定理得3(sinAcosC＋sinCcosA)＝2sinBsinB，所以sinB＝32，所以B＝π又因为∠CAB＝π3，所以∠ACB＝πS△ACD＝12×1×3sinD＝32sinD，由于角D无法确定，故在等边三角形ABC中，设AC＝x，x>0，在△ACD中，由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcosD，将DA＝3，DC＝1，代入上式可得x2＝10－6cosD，所以四边形ABCD的面积S＝S△ABC＋S△ACD＝12x·xsinπ3+12×1×3sinD＝34＝34(10－6cosD)＋32sinD＝3sin(D－π3)所以当D＝5π6时，四边形ABCD的面积取得最大值，最大值为535、北偏东30˚解析：如图所示，设经过th两船在C点相遇．在△ABC中，BC＝at，AC＝3at，B＝180˚－60˚＝120˚.由正弦定理BCsin∠CAB＝ACsinB，得sin∠CAB＝因为0˚<∠CAB<60˚，所以∠CAB＝30˚，所以∠DAC＝60˚－30˚＝30˚，即甲船应沿北偏东30˚的方向前进，才能最快与乙船相遇．6、2解析：在△ABC中，由余弦定理得cos60˚＝AC2整理得AC2－2AC－2＝0，得AC＝1＋3.因为S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，所以12×2ACsin60˚＝12×2ADsin30˚＋12AC所以AD＝23ACAC7、16解析：设BD＝x，则AD＝3x，AC＝2－3x，BC＝2－x.因为∠ADC＋∠BDC＝π，所以cos∠ADC＝－cos∠BDC，由余弦定理可得9x2+2－2－3x22×2×3x＝－x2+2－2－x228、D解析：由题图可知，山高AB＝100m，∠EBD＝30˚，∠EBC＝60˚，所以∠BCA＝60˚，∠CBD＝30˚.在Rt△ABC中，BC＝ABsin∠BCA＝在△BCD中，∠CBD＝∠BCD＝30˚，则∠BDC＝120˚，由正弦定理CDsin30˚＝BCsin120˚，得CD＝9、ABD解析：如图，在△ABD中，B＝45˚，由正弦定理得ADsin45˚＝ABsin在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2×AC·AD·cos30˚，因为AC＝123，AD＝24，所以CD＝12，故B正确；由正弦定理得CDsin30˚＝ACsin∠CDA，所以sin∠CDA＝3因为AD>AC，故∠CDA为锐角，所以∠CDA＝60˚，故C不正确，D正确．10、4(3－1)解析：在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA＝64，所以BD＝8，所以cos∠ABD＝AB2+BD又因为AB⊥BC，所以sin∠CBD＝cos∠ABD＝12又∠CBD∈0，π4，所以cos∠CBD＝1所以sin∠BDC＝sin(∠BCD＋∠CBD)＝sin∠BCDcos∠CBD＋cos∠BCDsin∠CBD＝22×3在△BCD中，由正弦定理得BCsin∠BDC＝BDsin所以BC＝82sin∠BDC＝82×6－211、解：(1)因为3acosB－bcosC＝ccosB，由正弦定理可得3sinAcosB＝sinBcosC＋cosB·sinC＝sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA.因为A∈(0，π)，则sinA>0，故cosB＝13，则B为锐角，所以sinB＝1－cos因为∠ADC＝3π4，所以∠ADB＝π在△ABD中，由正弦定理得ADsinB＝ABsin∠ADB，所以AD2(2)设CD＝t，则BD＝2t.因为S△ACD＝423，则S△ABC＝3S△ACD＝4即12×2×3t×223＝42，解得t＝2，故BC在△ABC中，由余弦定理可得AC＝AB2+BC2－在△ABD中，由正弦定理可得BDsin∠BAD＝ABsin∠在△ACD中，由正弦定理可得CDsin∠CAD＝ACsin∠ADC，故sin因为sin∠ADB＝sin(π－∠ADC)＝sin∠ADC，所以sin∠BADsin12、解：(1)由(2a＋c)cos(A＋C)＋b＝2bcos2C2，得(2a＋c)cos(π－B)＝b2即－(2a＋c)cosB＝bcosC.由正弦定理得－(2sinA＋sinC)cosB＝sinBcosC，整理得－2sinAcosB＝sinCcosB＋sinBcosC，所以－2sinAcosB＝sin(B＋C)＝sinA.又A∈(0，π)，所以sinA>0，所以cosB＝－12又B∈(0，π)，所以B＝2π3(2)如图，连接BD.因为AB⊥AD，AB＝1，AD＝3，所以