第四章　三角函数与解三角形 第六节　正弦定理和余弦定理及应用

三角函数与解三角形第六节正弦定理和余弦定理及应用1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝2，b＝6，B＝π3，则A＝()A．π6 B．C．π4或3π4 D．π2．(数学与生活)密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如1周角等于6000密位，写成“60-00”，578密位写成“5-78”．若在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且有a2－c2＋b2＝ab，则角C用密位制表示正确的是()A．2-50 B．5-00C．10-00 D．20-003．(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若acosB－bcosA＝c，且C＝π5，则BA．π10 B．C．3π10 D．4．(2024·枣庄模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝60˚，b＝1，S△ABC＝3，则a+A．2393 C．833 5．(多选题)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＋b＝10，c＝5，sin2B＋sinB＝0.则下列结论正确的是()A．a＝3 B．b＝7C．B＝60˚ D．sinC＝56．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若S△ABC＝32a2sinA，且b＋c＝72a，则cosA7．(2024·北京模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若3asinB＝bcosA，且b＝23，c＝2，则a的值为________.8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________.9．(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sinB.(1)求sinA；(2)设AB＝5，求AB边上的高．高考模拟10．(数学与生活)我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且AB＝AC，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动．如图2，伞完全收拢时，伞圈D已滑到D′的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40cm，B为AD′的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24cm，则当伞完全张开时，∠BAC的余弦值是()A．－1725 B．－C．－35 D．－11．(2024·衡阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cosB·(acosC＋ccosA)＝b，lgsinC＝12lg3－lg2，则△ABCA．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB－c－b2＝0，a2＝72bc，b>c，则b13．(2024·合肥模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＋3sinA＝b+(1)求角C；(2)设BC的中点为D，且AD＝3，求a＋2b的取值范围．答案解析1、B解析：由正弦定理asinA＝bsinB，得sinA＝因为a<b，所以A<B，则A＝π42、C解析：因为a2－c2＋b2＝ab，所以cosC＝a2+b2－因为C为三角形的内角，所以C＝60˚.因为1周角等于6000密位，写成“60-00”，所以C＝16×6000＝1000(密位)，即角C用密位制表示为3、C解析：由题意结合正弦定理可得sinAcosB－sinBcosA＝sinC，即sinAcosB－sinBcosA＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋sinBcosA，整理可得sinBcosA＝0.由于B∈(0，π)，故sinB>0，据此可得cosA＝0，A＝π2则B＝π－A－C＝π－π2－π4、A解析：由三角形的面积公式可得S△ABC＝12bcsinA＝34c＝3，解得由余弦定理可得a＝b2+c设△ABC的外接圆半径为r，由正弦定理得asinA＝bsin所以a+b+csinA+sinB5、ABD解析：由sin2B＋sinB＝0，得2sinBcosB＋sinB＝0.因为在△ABC中，sinB≠0，得cosB＝－12，所以B由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝a2＋52－2×a×5×－1因为b＝10－a，所以(10－a)2＝a2＋52－2×a×5×－12，解得a＝3，所以由B＝120˚，得sinB＝32由正弦定理得sinC＝csinBb6、78解析：因为S△ABC＝32a2sin所以由三角形面积公式可得S△ABC＝12bc·sinA＝32a2sin因为A为三角形的内角，sinA≠0，所以3a2＝bc.又b＋c＝72a，所以cosA＝b2+c2－a7、2解析：由已知及正弦定理得3sinAsinB＝sinBcosA且sinB≠0，可得tanA＝33又0<A<π，所以A＝π6又b＝23，c＝2，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝16－12＝4，解得a＝2.8、233解析：因为bsinC＋csinB＝4asinB·sinC，sinBsin结合正弦定理可得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，所以sinA＝12因为b2＋c2－a2＝8，可得cosA＞0，所以A为锐角，即A＝π6，所以cosA＝32，从而求得bc＝833，所以△ABC的面积为S＝12bc·sinA9、解：(1)因为A＋B＝3C，所以π－C＝3C，即C＝π4又2sin(A－C)＝sinB＝sin(A＋C)，所以2sinAcosC－2cosAsinC＝sinAcosC＋cosAsinC，所以sinAcosC＝3cosAsinC，所以sinA＝3cosA，即tanA＝3，所以0<A<π2，所以sinA＝3(2)由(1)知，cosA＝1010由sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝22×3由正弦定理ABsinC＝ACsinB，可得设AB边上的高为h，所以12AB·h＝12AB·AC·sin所以h＝AC·sinA＝210×10、A解析：由题意得当伞完全张开时，AD＝40－24＝16(cm)，因为B为AD′的中点，所以AB＝AC＝12AD当伞完全收拢时，AB＋BD＝AD′＝40(cm)，则BD＝20cm.在△ABD中，cos∠BAD＝AB2+AD2－所以cos∠BAC＝cos2∠BAD＝2cos2∠BAD－1＝2×425－1＝－1711、C解析：因为2cosB(acosC＋ccosA)＝b，由正弦定理得2cosB(sinAcosC＋sinCcosA)＝sinB，所以2cosBsin(A＋C)＝sinB，即2cosBsinB＝sinB.因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以cosB＝12，所以B＝π因为lgsinC＝12lg3－所以lgsinC＝lg32，所以sinC＝3因为C∈(0，π)，所以C＝π3或2π因为B＝π3，所以C≠2π3，所以C＝所以A＝B＝C＝π3，即△ABC12、2解析：由acosB－c－b2＝0及正弦定理可得sinAcosB－sinC－sin因为sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，所以－sinB2－cosA因为sinB≠0，所以cosA＝－12，即A＝2π由余弦定理得a2＝72bc＝b2＋c2＋bc，即2b2－5bc＋2c2又b>c，所以bc13、解：(1)由cosA＋3sinA＝b+ac及正弦定理知，sinC(cosA＋3sinA)＝sinB＋因为sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，所以sinC(cosA＋3sinA)＝sinAcosC＋cosA·sinC＋sinA，所以3sinAsinC＝sinAcosC＋sinA.因为sinA≠0，所以3sinC＝cosC＋1，即3sinC－cosC＝1，所以2sin