2024学年长春市外国语高二数学上学期10月期中考试卷附答案解析

学年长春市外国语高二数学上学期10月期中考试卷一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角（

）A． B． C． D．2．已知圆，直线，则圆上到直线的距离为的点的个数为（

）A． B． C． D．3．平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（）

A．3 B． C． D．4．若方程表示圆，则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．曲线与曲线一定成立的是（

）A．长轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相等 D．短轴长相等6．已知直线，直线，若，则与的距离为（

）A． B． C． D．7．已知为直线上的一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．8．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论错误的是（

）A．卫星向径的取值范围是B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小二、多选题（本大题共3小题）9．对于直线：，下列说法正确的是（

）A．直线恒过定点B．直线斜率可以不存在C．时直线的倾斜角为D．时直线在轴上的截距为10．已知圆：与圆：相交于A，B两点，则下列判断正确的是（

）A．两圆的相交弦所在直线方程为B．两圆的公共弦长为C．经过A，B两点，且过原点的圆的方程为D．P为上任意一点，Q为上任意一点，则的最大值为11．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（

）A．曲线围成的图形有4条对称轴B．曲线C围成的图形的周长是C．曲线C上的任意两点间的距离最大值是D．若是曲线上任意一点，的最小值是三、填空题（本大题共3小题）12．已知向量则实数的值为．13．经过点，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线l的一般方程是.14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与C在第一、第三象限分别交于点A，B，若，则C的离心率的最大值是．四、解答题（本大题共5小题）15．求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且；(2)焦点在坐标轴上，且经过两个点.16．已知以点为圆心的圆与直线相切.(1)求圆A的方程；(2)过点的直线l与圆A相交于M、N两点,当时，求直线l方程．17．在平面直角坐标系中，圆为过点，，的圆．(1)求圆的标准方程；(2)若点P的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状.18．如图所示，在直三棱柱中，侧面为长方形，，，，.(1)求证：平面平面；(2)求直线和平面所成角的正弦值；(3)在线段上是否存在一点T，使得点T到直线的距离是，若存在求的长，不存在说明理由.19．已知椭圆的离心率为，过椭圆E的左焦点且与x轴垂直的直线与椭圆E相交于的P，Q两点，O为坐标原点，的面积为.（1）求椭圆E的方程；（2）点M，N为椭圆E上不同两点，若，求证：的面积为定值.参考答案1．【答案】D【详解】化成斜截式为，所以直线斜率，直线倾斜角，且，则.故选：D.2．【答案】C【详解】设与直线平行且与直线的距离为的直线的方程为，由平行线间的距离公式可得，解得或，圆的圆心为，半径为，显然直线过圆心，圆心到直线的距离为，所以，直线与圆相交，直线与圆相切，所以，圆上到直线的距离为的点的个数为.故选：C.3．【答案】C【详解】由题意可知：，则，所以.故选：C.4．【答案】C【详解】解：因为方程，可变形为，因为方程表示圆，则，解得：或，所以的取值范围是.故选：C.5．【答案】B【详解】曲线表示焦点在x轴上的椭圆，其中，所以长轴长为，短轴长，焦距为，离心率，因为，所以，曲线表示焦点在x轴上的椭圆，其中，，，所以长轴长为，短轴长，焦距为，离心率故长轴长不相等，焦距相等，离心率不相等，短轴长不相等，故ABD错，B对；故选：B6．【答案】B【详解】由，所以，则，所以可得，根据两平行直线距离公式.故选：B7．【答案】D【详解】记点、，则，如下图所示：

设原点关于直线的对称点为，且直线的斜率为，由题意可得，解得，故原点关于直线的对称点为，由对称性可知，所以，，当且仅当为线段与直线的交点时，等号成立，因此，的最小值为.故选：D.8．【答案】C【详解】由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，所以A正确；根据在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B正确；卫星向径的最小值与最大值的比值为越大，则越小，椭圆越圆，故C错误．因为运行速度是变化的，速度的变化，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故D正确；故选：C．9．【答案】AB【详解】对于A，直线，令，则，所以直线过定点，故A正确；对于B，当时，直线，斜率不存在，故B正确；对于C，当时，直线，即，所以直线的斜率为，倾斜角为，故C错误；对于D，当时，直线，令，得，即直线在轴上的截距为，故D错误.故选：AB.10．【答案】ABD【详解】对于A，由，得，所以两圆的相交弦所在直线方程为，故A正确；对于B，圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，则两圆公共弦长为，故B正确；对于C，经过，两点的圆的方程可设为，即，因为此圆过原点，，解得，所以经过，两点，且过原点的圆的方程为，故C错误；对于D，圆的圆心为，半径为，所以的最大值为，故D正确.故选：ABD.11．【答案】ACD【详解】当时，曲线的方程可化为，当时，曲线的方程可化为，当时，曲线的方程可化为，当时，曲线的方程可化为，所以曲线的图象如图所示，对于A，由图可知曲线围成的图形有4条对称轴，故A正确；对于B，曲线由4个半圆组成，其周长为，故B错误；对于C，由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故C正确；对于D，到直线的距离，点到直线的距离为，由圆的性质得曲线上一点到直线的距离最小为，故的最小值为，故D正确.故选：ACD.12．【答案】7【详解】由题，，，解得.故答案为：7.13．【答案】或【详解】当截距为0时，设直线方程为，将代入得，解得，故，即；当截距不为0时，设直线方程为，将代入得，解得，故直线方程为，即.故答案为：或14．【答案】【详解】连接，设，因为点在第一象限，所以，由对称性可知，因为，所以，即，由椭圆定义可得，由圆的性质得⊥，由勾股定理得，所以，即，因为，设，，则，由对勾函数性质，单调递增，所以，即，当时，解得，即，解得当时，解得，即，解得，综上，所以C的离心率的最大值为.故答案为：15．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题设椭圆，，，即，将点代入方程，可得，所以椭圆方程为.（2）设椭圆的一般方程为，将点，代入椭圆的方程，得，解得，，所以椭圆的标准方程为.16．【答案】（1）（2）或【详解】（1）由题意知到直线的距离为圆半径，且,所以圆的方程为.

（2）记MN中点为Q，则由垂径定理可知且，在中由勾股定理易知，，设动直线方程为：或，显然合题意.由到距离为1知，解得,∴或为所求方程.17．【答案】(1)；(2)，轨迹是以为圆心，半径为的圆．【详解】（1）设圆的方程为，因为圆为过点，，，所以，解得满足，所以，化成标准方程为.（2）设的坐标是，点的坐标是，因为的坐标是，且，所以，解得，又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即，代入得，整理得，点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆．18．【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在，【详解】（1）由于，所以，根据直三棱柱的性质可知，由于，所以平面，由于平面，所以平面平面.（2）设N是的中点，连接，则，MA，MB，MN，两两相互垂直.以M为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，，，设平面的法向量为，则，令，可得，设直线和平面所成角为，则；（3）设，则，过T作，则，∵，∴，∴，∴或（舍）∴.19．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，则①过椭圆左焦点且与x轴垂直的直线方