二元一次方程组应用题教案

二元一次方程组应用题【例题选讲】例1：（利息问题）李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税后可得利息43.92元。已知这两种储蓄的年利率的和为3.24％，问这两种储蓄的年利率各是多少？（注：公民应交利息所得税＝利息金额20％）分析：利息问题是一个实际应用问题，一定要结合实际来理解掌握，如：一般说来，利息要交20%的利息税，但是教育储蓄和国库券等一些特殊形式的储蓄是无须交利息税的。本题中需要求的是两个量，因此直接设两个未知数，从而列出方程组来解决。相等关系是：①两种储蓄的年利率的和=3.24%，②两种储蓄的利息和=43.92元。解：设存2000元的这种储蓄的年利率是，存1000元的这种储蓄的年利率是，根据题意得：解这个方程组得：答：存2000元的这种储蓄的年利率是2.25%，存1000元的这种储蓄的年利率是0.99%。注意：本题也可以列一元一次方程来解决：解法2：设存2000元的这种储蓄的年利率是，则存1000元的这种储蓄的年利率是，根据题意得：解这个方程组得：则答：存2000元的这种储蓄的年利率是2.25%，存1000元的这种储蓄的年利率是0.99%。例2：（人员调配问题）某班学生参加义务劳动，男生全部挑土，女生全部抬土，这样安排恰需筐68个，扁担40根，问这个班男生、女生各有多少人？分析：本题看似条件很少，实际上里面还有隐含条件，那就是：挑土需要一个人、一根扁担和两个筐，抬土需要两个人、一根扁担和一个筐，因此，本题就有充足的条件来解决了。这里可以直接设两个未知数，列出方程组。本题的相等关系是：①男生需要筐的数量+女生需要筐的数量=68个，②男生需要扁担的数量+女生需要扁担的数量=40根。解：设这个班有男生人，女生人，根据题意得：解这个方程组得：答：这个班有男生28人，女生24人注意：本题也可以列一元一次方程来解决，同学们如果有兴趣不妨一试。其实，列二元一次方程组来解决的问题大部分可以列一元一次方程来解决，只是有时候比较困难或是烦琐。例3：（数字问题）甲、乙两人做加法，甲将其中一个加数后面多写了一个0，所以得和是2342，乙将同一个加数后面少写了一个0，所得和是65，求原来的两个加数。分析：这个数字问题中需要弄清的是，一个加数（如）后面多写一个0可以表示为,少写一个0可以表示为，本题的两个相等关系是①一个加数+另一个加数的10倍=2342，②一个加数+另一个加数的eq\f(1,10)=65。解：设两个加数分别为和，其中两人都看错的加数为，根据题意得：解这个方程组得：答：原来两个加数分别为42和230。例4：（工程问题）甲、乙2个工人同时接受一批任务，上午工作的4小时中，甲用了2.5小时改装机器以提高工效，因此，上午工作结束时，甲比乙少做40个零件；下午2人继续工作4小时后，全天总计甲反而比乙多做420个零件，问这一天甲、乙各做多少个零件？分析：这是个工程问题，一定要抓住工作总量=工作效率工作时间这个相等关系，这里有两个条件，也就是本题的两个相等关系，①甲上午（4-2.5）小时完成的零件数+40个=乙上午4小时完成的零件数，②甲一天（8-2.5）小时完成的零件数=乙一天8小时完成的零件数+420个。这里的相等关系用的是工作量相等，因此只要知道工作时间和工作效率，工作时间已知，故本题间接设两人的工作效率为未知数。解：设甲每小时加工个零件，乙每小时加工个零件，则甲一天做个零件，乙一天做个零件。根据题意得：解这个方程组得：则，答：这一天甲做了11000个零件，乙做了680个零件。例5：（税利问题）去年甲、乙两车间计划共完成税利150万元，由于技术革新，生产效率大幅度提高，结果甲车间超额完成税利110％，乙车间超额完成税利120％，两车间一共上缴税利323万元，问甲、乙车间实际上缴税利多少万元？分析：这里只要注意甲车间超额完成税利110%，实际上甲车间完成的税利是原来的（1+110%），同样，乙车间完成的税利是原来的（1+120%）。两个相等关系是，①甲车间计划完成的税利+乙车间计划完成的税利=150万元，②甲车间实际完成的税利+乙车间实际完成的税利=323万元。解：设去年甲车间计划完成税利万元，乙车间计划完成税利万元，则实际甲车间完成税利万元，乙车间完成税利万元。根据题意得：解这个方程组得：则，答：甲车间实际上缴税利147万元，乙车间实际上缴税利176万元。例6：（行程问题）一列快车长168米，一列慢车长184米，如果两车相向而行，那么两车错车需4秒，如果同向而行，两车错车需16秒钟，求两车的速度。分析：行程问题是用方程或方程组解决问题的常见类型，主要要抓住路程=速度时间这个相等关系，本题的错车问题，实际上是两种情况：①相向而行，错车实际上是两车合走的路程是两车长之和，②同向而行，错车实际上是快车比慢车多走的路程是两车长之和。这就是本题的两个相等关系。解：设快车的速度是米/秒，慢车的速度为米/秒，根据题意得：解这个方程组得：答：快车的速度是55米/秒，慢车的速度为33米/秒。例7：（环行跑道问题）甲、乙两人分别以均匀的速度在周长为600米的圆形轨道上运动，甲的速度较快，当两人反向运动时，每15秒钟相遇一次；当两人同向运动时，每1分钟相遇一次，求各人的速度。分析：环行跑道的问题主要抓住相向而行，每一次相遇两人合走了一圈，同向而行，每一次遇到，快的人比慢的人多走了一圈。同样，这道题中的两个相等关系是：①反向运动：甲15秒所走的路程+乙15秒所走的路程=600米，②同向运动：甲1分钟所走的路程-乙1分钟所走的路程=600米。这里注意时间的单位名称。解：设甲的速度是米/秒，乙的速度是米/秒，根据题意得：解这个方程组得：答：甲的速度是25米/秒，乙的速度是15米/秒。例8：（利润问题）某牛奶加工厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获取利润2000元。该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片，每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行。受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕。为此，该厂设计了两种方案：方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜奶；方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成。你认为选择哪种方案获利最多，为什么？分析：要比较那种方案的获利最多，当然要将两种方案的获利情况算出来，方案一直接就可以计算，而方案二需要先求出制成奶片和酸奶各是多少，才能计算出利润来，因此这里需要先列方程组来解题。两个相等关系是：①加工酸奶的数量+加工奶片的数量=9吨，②加工酸奶的天数+加工奶片的天数=4天。解：方案一：总利润=元。方案二：设4天内加工酸奶吨，加工奶片吨，则总利润为元，根据题意得：解这个方程组得：则因为方案一的总利润<方案二的总利润所以选择方案二获利更多。答：选择方案二获利更多。例9：（年龄问题）甲、乙两人不知其年龄，只知道甲像乙现在的年龄时，乙只有2岁，又知等乙长到甲现在这么大时，甲已经是38岁了，问甲、乙现在的年龄各是多少？分析：解年龄问题只要抓住年龄差不变即可，也就是说，两人现在的年龄的差等于两人若干年前的年龄的差，也等于两人若干年后的年龄的差。这题的两个相等关系是：①甲现在的年龄-乙现在的年龄=甲是乙现在的年龄-乙当时的年龄2岁，②甲现在的年龄-乙现在的年龄=甲38岁-乙在甲38岁时的年龄。解：设甲现在的年龄是岁，乙现在的年龄是岁，根据题意得：解这个方程组得：答：甲现在的年龄是26岁，乙现在的年龄是14岁。例10：（不足和有余问题）某校为初一年级学生安排宿舍，若每间宿舍住5人，则有4人住不下；若每间住6人，则有一间只住了4人，且空两间宿舍，求该年级寄宿生人数及宿舍间数。分析：抓住两个条件给出的两个相等关系：①每间宿舍5人可以住下的学生数+住不下的4人=学生总数，②每间宿舍住满6人的学生数+一间宿舍只有的4人=学生总数。这里特别注意，题目中并没有具体给出“多”、“少”的关系，要自己将住不下理解成“多”，将空两间宿舍和有一间只住了4人理解为“少”。解：设该年级寄宿生人，宿舍间，根据题意得：解这个方程组得：答：该年级寄宿生94人，宿舍18间【同步练习】一、填空题：1、甲、乙两商店共有练习本400本，某日甲店售出38本，乙店售出60本，甲、乙两店所剩的练习本数相等，则甲店原有练习本本，乙店原有练习本本。2、一个长方形的周长是96cm，长比宽的2倍多6cm，则长为cm，宽为cm。3、两数之差为1，两数之和比其中较大数的eq\f(1,3)\1/31/31/3多4，则这两个数分别为、。4、商店运来120台洗衣机，每台售价是440元，每售出一台可以得到售价15％的利润，其中二台有些破损，按原售价打八折出售，这批洗衣机售完后实得利润为元。5、小明、小军两人赛跑，若小明让小军先跑12米，则小明6秒钟即可追上小军；若小军比小明先跑2.5秒，则小明跑5秒就可追上小军。设小明每秒跑米，小军每秒跑米，可列出方程组为。6、某城市现有42万人口，预计一年后城镇人口将增加0．8％，农村人口增加1．1％，这样全市人口将增加1％，求这个城市现有城市人口与农村人口。设该城市现有城镇人口万人，农村人口万人，则所列方程组为。7、某校初一年级（1）、（2）两班共有96人，在一次数学测验中，总及格率为81.25％，其中（1）班的及格率为75％，（2）班的及格率为87.5％，则（1）班有人，（2）班有人。8、一份试共有20道选择题，总分为100分，每道题选对得5分，选错或不选扣1分。如果一个学生得88分，那么他选对道题。9、甲种糖果的单价是每千克20元，乙种糖果的单价是每千克15元，若要配制200千克单价为每千克18元的混合糖，则需甲种糖果千克，乙种糖果千克。10、母亲26岁结婚，第二年生了儿子，若干年后，母亲的年龄是儿子的3倍，此时母亲的年龄是岁，儿子的年龄是岁。二、解答题：1、4辆小车和7辆大车一次运货38吨，5辆小车和6辆大车一次运货36.5吨，问一辆小车和一辆大车一次各运货多少吨？2、两地相距280千米，一艘轮船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度。3、某无线电厂原计划上月生产A型电视机和B型电视机共3600台，由于订货量增加，该厂挖掘生产潜力，上月A、B两种型号的电视机共生产4240台，其中A型电视机完成了原计划的116％，B型电视机完成了原计划的120％，问上月两种电视机各比原计划超额了多少台？4、有一只驳船，载重500吨，容积705立方米，现在要运生铁和棉花两种货物，生铁每吨体积0.3立方米，棉花每吨体积4立方米。生铁和棉花各装多少吨才能充分利用船的载重量与容积？5、永盛电子有限公司向工商银行申请了甲乙两种贷款，共计68万元，每年需付出利息8.42万元。甲种贷款每年的利息是12%，乙种贷款每年的利率是13%，求这两种贷款的数额各是多少？6、甲、乙两种商品，如果购买甲3件、乙7件共需27元，如果购买甲商品40件、乙商品50件，则可以按批发价计算，共需付189元，已知甲商品每件批发价比零售价低0.4元，乙商品每件批发价比零售价低0.5元。问甲、乙两种商品的批发价各是多少元？7、两个商店以100元的相同价格进同一种商品。甲店以30%的利润加价出售，乙店以20%的利润加价出售，结果乙店销售的件数是甲店的2倍，且总利润比甲店多4000元。问甲、乙两店各售出多少件商品？8、一个三位数是一个两位数的3倍，把三位数放在两位数的左边得到一个五位数；再把三位数放在两位数的右边又得到一个