2025届河南省洛阳市老城区一模数学试题

绝密★考试结束前2025届河南省洛阳市老城区一模数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。1.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的函数是（

）A．B．C．D．2.在复平面内，复数对应的点在第二象限，且，则（

）A．B．C．D．3.在数学历史中有很多公式都是数学家欧拉（LeonhardEuler）发现的，它们都叫做欧拉公式，分散在各个数学分支之中.任意一个凸多面体的顶点数、棱数、面数之间，都满足关系式，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”若一个凸二十面体的每个面均为三角形，则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为（

）A．10B．12C．15D．204.从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（

）A．B．C．D．05.将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，再将上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线，则的解析式为（

）A．B．C．D．6.已知集合，集合，则（

）A．B．C．D．7.已知圆，O是坐标原点，P是圆C上任意一点，若定点A满足，则面积的最大值是（

）A．3B．9C．D．8.在函数，，，中，既是奇函数又是周期函数的有多少个（

）A．0B．1C．2D．3二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知函数在上单调递增，，则的最小正周期可以是（

）A．B．C．D．10.已知函数，，则下列说法正确的是（

）A．当时，图象的一个对称中心为B．当为奇数时，的最小正周期是C．当为偶数时，D．当为偶数时，在上单调递减11.已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，点在抛物线上，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为1B．的周长的最小值为C．若，则的最小值为32D．若过分别作抛物线的切线，两切线相交于点，则点在抛物线的准线上三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知奇函数满足对任意都有成立，且，则______．13.若单位向量与单位向量满足，且与的夹角，则___________.14.已知中，角对边分别为，,，则______________．四、解答题：本题共5小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.已知数列的前顶和为.且.

(1)求数列的通项公式；

(2)在数列中，，求数列的前项和.16.如图.在四棱锥P-ABCD中.平面.底面ABCD为菱形.E.F分别为AB.PD的中点.(1)求证：平面；

(2)若，，，求直线CD与平面EFC所成角的正弦值.17.中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车､电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用为了解某一地区纯电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电汽车销量y（单位：万台）关于x（年份）的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为.

(1)求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱；

(2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：购买非电动车购买电动车总计男性39645女性301545总计692190请判断有多大的把握认为购买电动汽车与性别有关；

(3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为，求的分布列和数学期望.

①参考数据：

②参考公式：（i）线性回归方程：，其中

（ii）相关系数：，若，则可判断y与x线性相关较强.

（iii），其中.

附表：18.

设其中

（