山东专用2025届高考数学二轮专题闯关导练四热点问题专练热点三不等式性质与基本不等式含解析

PAGE热点(三)不等式性质与基本不等式1．[2024·山东泰安质量检测](不等式性质＋充分必要条件)已知a，b∈R，则“a<0，b>0且a＋b<0”是“a<－b<b<－a”A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．[2024·山东济南模拟](基本不等式＋充分必要条件)设x为实数，则“x<0”是“x＋eq\f(1,x)≤－2”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．(基本不等式)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则xy的最大值是()A.eq\f(1,4)B．4C.eq\f(1,8)D．84．(基本不等式＋茎叶图(平均数))某校高一年级10个班参与合唱竞赛的得分如茎叶图所示，若这组数据的平均数是20，则eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)的最小值为()A.1B.eq\f(3,2)C．2D.eq\f(5,2)5．[2024·山东省试验中学、淄博试验中学、烟台一中、莱芜一中四校联考](不等式的性质)已知非零实数a，b满意a|a|>b|b|，则下列不等式肯定成立的是()A．a3>b3B．a2>b2C.eq\f(1,a)<eq\f(1,b)D．logeq\f(1,2)|a|<logeq\f(1,2)|b|6．(基本不等式＋直线方程)已知a>0，b>0，直线ax＋by＝1过点(1,3)，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,3b)的最小值为()A．4B．3C．2D．17．[2024·山东烟台、菏泽联考](基本不等式＋平面对量)已知向量m＝(a，－1)，n＝(2b－1,3)(a>0，b>0)，若m∥n，则eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)的最小值为()A．12B．8＋4eq\r(3)C．15D．10＋2eq\r(3)8．(基本不等式)已知正数a，b满意a＋b＝3，则eq\f(1,a)＋eq\f(4,b＋1)的最小值为()A.eq\f(9,4)B.eq\f(34,15)C.eq\f(7,3)D.eq\f(9,2)9．[2024·山东威海模拟](基本不等式＋等比数列)公比为2的等比数列{an}中存在两项am，an满意aman＝16aeq\o\al(2,1)，则eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)的最小值为()A.eq\f(3,2)B.eq\f(5,3)C.eq\f(4,3)D.eq\f(13,10)10．(基本不等式)若正实数a，b满意eq\f(1,a＋1)＋eq\f(1,b＋2)＝eq\f(1,4)，则ab＋a＋b的最小值为()A．27＋16eq\r(3)B．8eq\r(3)C．15＋4eq\r(3)D．19＋16eq\r(3)11．(多选题)(不等式的性质)若a>b>0，d<c<0，则下列不等式成立的是()A．ac>bcB．a－d>b－cC.eq\f(1,d)<eq\f(1,c)D．a3>b312．(多选题)(不等式的性质＋基本不等式)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下列不等式中正确的是()A．a＋b>abB．|a|<|b|C．a<bD.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>213．[2024·山东济南质量针对性检测](基本不等式)已知x>eq\f(5,4)，则函数y＝4x＋eq\f(1,4x－5)的最小值为________．14．[2024·山东青岛质量检测](基本不等式＋指数运算)已知a，b∈R，且a＋3b－2＝0，则2a＋8b15．(基本不等式)已知x，y均为正实数，且eq\f(2x＋y,xy)＝eq\f(1,2)(7＋2eq\r(6))，则x＋3y的最小值为________．16．(基本不等式＋对数运算)若实数x，y满意x>y>0，且log2x＋log2y＝1，则eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)的最小值是________，eq\f(x－y,x2＋y2)的最大值为________．热点(三)不等式性质与基本不等式1．答案：C解析：画出数轴即可知a<0，b>0且a＋b<0⇔a<－b<b<－a，故选C.2．答案：C解析：由x<0得－x>0，故x＋eq\f(1,x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x－\f(1,x)))≤－2，当且仅当x＝eq\f(1,x)，即x＝－1时取等号，充分性成立；由x＋eq\f(1,x)≤－2得eq\f(x＋12,x)≤0，则x<0，必要性成立，故选C.3．答案：C解析：∵2xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋y,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(1,4)，∴xy≤eq\f(1,8)，当且仅当2x＝y即x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(1,2)时等号成立，故选C.4．答案：C解析：因为这组数据的平均数为20，则eq\f(1,10)×(12＋13＋15＋19＋17＋23＋20＋a＋25＋28＋20＋b)＝20，解得a＋b＝8，则eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)＝eq\f(1,8)×(a＋b)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(9,b)))＝eq\f(1,8)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋9＋\f(b,a)＋\f(9a,b)))≥eq\f(1,8)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋2×\r(\f(b,a)·\f(9a,b))))＝2，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(9a,b)即b＝6，a＝2时，等号成立，所以eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)的最小值为2，故选C.5．答案：A解析：由于a|a|>b|b|，可得a>b，则a3>b3肯定成立，故选A.6．答案：A解析：依题意得a＋3b＝1，因为a>0，b>0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,3b)＝(a＋3b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,3b)))＝1＋1＋eq\f(a,3b)＋eq\f(3b,a)≥2＋2eq\r(\f(a,3b)×\f(3b,a))＝4，当且仅当a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,6)时取等号，故选A.7．答案：B解析：∵m＝(a，－1)，n＝(2b－1,3)，且m∥n，∴3a＋2b－1＝0，即3a＋2b＝1，∴eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))(3a＋2b)＝eq\f(4b,a)＋eq\f(3a,b)＋8.∵a>0，b>0，∴eq\f(4b,a)>0，eq\f(3a,b)>0，∴eq\f(4b,a)＋eq\f(3a,b)＋8≥2eq\r(\f(4b,a)·\f(3a,b))＋8＝4eq\r(3)＋8，当且仅当eq\f(4b,a)＝eq\f(3a,b)时等号成立，即a＝eq\f(3－\r(3),6)，b＝eq\f(\r(3)－1,4)时成立．故选B.8．答案：A解析：因为a＋b＝3，所以a＋b＋1＝4，于是eq\f(1,a)＋eq\f(4,b＋1)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,b＋1)))(a＋b＋1)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(b＋1,a)＋\f(4a,b＋1)))≥eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(b＋1,a)·\f(4a,b＋1))))＝eq\f(9,4)，当且仅当eq\f(b＋1,a)＝eq\f(4a,b＋1)，即a＝eq\f(4,3)，b＝eq\f(5,3)时，等号成立，故选A.9．答案：A解析：由等比数列的通项公式知am＝a1×2m－1，an＝a1×2n－1，由aman＝16aeq\o\al(2,1)可得aeq\o\al(2,1)·2m＋n－2＝16aeq\o\al(2,1)，易知a1≠0，故2m＋n－2＝16，解得m＋n＝6，则eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)＝eq\f(1,6)(m＋n)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(4,n)))＝eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4m,n)＋\f(n,m)＋4))≥eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(4m,n)×\f(n,m))))＝eq\f(3,2)(当且仅当m＝2，n＝4时取等号)，故选A.10．答案：A解析：由eq\f(1,a＋1)＋eq\f(1,b＋2)＝eq\f(1,4)，得ab＝10＋2a＋3b，即a＝3＋eq\f(16,b－2)(b>2)，所以ab＋a＋b＝10＋3a＋4b＝27＋eq\f(48,b－2)＋4(b－2)≥27＋2eq\r(\f(48,b－2)·4b－2)＝27＋16eq\r(3)，当且仅当eq\f(48,b－2)＝4(b－2)，即b＝2＋2eq\r(3)时，等号成立，所以ab＋a＋b的最小值为27＋16eq\r(3)，故选A.11．答案：BD解析：因为a>b>0，c<0，所以ac<bc，A错误；因为a>b>0，－d>－c>0，所以a－d>b－c，B正确；因为d<c<0，所以eq\f(1,d)>eq\f(1,c)，C错误；因为a>b>0，所以a3>b3，D正确．故选BD.12．答案：BD解析：若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则a<0，b<0，且a>b，所以a＋b<0，ab>0，故A错；a<0，b<0，且a>b，明显|a|<|b|，故B正确；明显C错；由于a<0，b<0，故eq\f(b,a)>0，eq\f(a,b)>0，则eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝b时取“＝”．又a>b，所以eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>2，故D正确．故选BD.13．答案：7解析：∵x>eq\f(5,4)，∴4x－5>0，∴y＝4x＋eq\f(1,4x－5)＝(4x－5)＋eq\f(1,4x－5)＋5≥2eq\r(4x－5·\f(1,4x－5))＋5＝7(当且仅当x＝eq\f(3,2)时取等号)，故函数y＝4x＋eq\f(1,4x－5)的最小值为7.14．答案：4解析：由a＋3b－2＝0得a＋3b＝2.又由2a＋8b＝2a＋23b≥2eq\r(2a·23b)＝2eq\r(2a＋3b)＝2eq\r(22)＝4(当且仅当a＝3b＝1时取等号)，故2a＋8b的最小值为4.15．答案：2解析：∵eq\f(2x＋y,xy)＝eq\f(2,y)＋eq\f(1,x)＝eq\f(1,2)(7＋2eq\r(6))，∴x＋3y＝eq\f(2x＋3y\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,y)＋\f(1,x))),7＋2\r(6))＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7＋\f(2x,y)＋\f(3y,x))),7＋2\r(6)).又∵x，y均为正实数，∴eq\f(2x,y)＋eq\f(3y,x)≥2eq\r(\f(2x,y)·\f(3y,x))＝2eq\r(6)，当且仅当eq\f(2x,y)＝eq\f(3y,x)时，取“＝”，∴x＋3y≥eq\f(27＋2\r(6),7＋2\r(6))＝2.∴x＋3y的最小值为2.16．答案：2eq\f(1,4)解析：由log2x＋log2y＝1，得log2(xy)＝1，即xy＝2，所以eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)≥2eq\r(\f