2024-2025学年新教材高中数学第7章三角函数7.1.1任意角课后素养落实含解析苏教版必修第一册VIP

课后素养落实(二十九)随意角(建议用时：40分钟)一、选择题1．(多选题)下列命题中错误的是()A．三角形的内角必是第一、二象限角B．始边相同而终边不同的角肯定不相等C．第四象限角肯定是负角D．钝角比第三象限角小ACD[只有B正确．对于A，如90°角不在任何象限；对于C，如330°角在第四象限但不是负角；对于D，钝角不肯定比第三象限角小．]2．(多选题)下列角中与80°终边相同的是()A．800° B．1160°C．1200° D．1280°AB[与80°终边相同的角的集合为{α|α＝80°＋k·360°，k∈Z}．取k＝2，得α＝800°.取k＝3得α＝1160°.]3．在0°～360°范围内，与角－120°终边相同的角是()A．120° B．60°C．180° D．240°D[与－120°终边相同角的集合为{α|α＝－120°＋k·360°，k∈Z}．取k＝1，可得在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°.]4．若α是第四象限角，则180°－α所在象限是()A．第四象限 B．第三象限C．其次象限 D．第一象限B[如图所示，∵α是第四象限角，则－α是第一象限角，∴180°－α是第三象限角．]5．若角α的终边与240°角的终边相同，则eq\f(α,2)的终边所在象限是()A．其次或第四象限 B．其次或第三象限C．第一或第四象限 D．第三或第四象限A[角α满意的集合为{α|α＝k·360°＋240°，k∈Z}，故有eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＝k·180°＋120°，k∈Z))))，∴eq\f(α,2)终边落在其次象限或第四象限．]二、填空题6．已知角α的终边与－100°角的终边关于y轴对称，则α的取值集合为________．{α|α＝k·360°－80°，k∈Z}[如图，－80°角与－100°角的终边关于y轴对称，因此α的取值集合为{α|α＝k·360°－80°，k∈Z}．]7．α满意180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________.270°[5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.又∵180°<α<360°，∴α＝270°.]8．若角α＝2021°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．221°－139°[∵2021°＝5×360°＋221°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝221°＋k·360°，k∈Z}，∴最小正角为221°，最大负角为－139°.]三、解答题9．写出终边在如图所示直线上的角的集合．[解](1)在0°～360°范围内，终边在x轴上的角有两个，即0°和180°，因此全部与0°角的终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，而全部与180°角的终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}．于是，终边落在x轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．(2)在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°.因此，终边在直线y＝－x上的角的集合S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．(3)终边在直线y＝x上的角的集合为{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}，结合(2)知，所求角的集合S＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}．10．已知角x的终边落在如图阴影部分区域(包括边界)，写出角x组成的集合．[解](1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°，或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|n·180°＋30°≤x≤n·180°＋60°，n∈Z}．1．(多选题)角α＝－60°＋k·180°(k∈Z)的终边可能落在()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限BD[令k＝0，α＝－60°，在第四象限，再令k＝1，α＝－60°＋180°＝120°，在其次象限．]2．设集合M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}，则集合M与N的关系是()A．M∩N＝∅ B．M⊆NC．M⊇N D．M＝NB[对于集合M，α＝45°＋k·90°＝45°＋2k·45°＝(2k＋1)·45°，即M＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k∈Z}；对于集合N，α＝90°＋k·45°＝2×45°＋k·45°＝(k＋2)·45°，即N＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}＝{α|α＝n·45°，n∈Z}．∵2k＋1表示全部的奇数，而n表示全部的整数，∴M⊆N，故选B.]3．终边落在直线y＝eq\r(3)x上的角的集合为________．{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}[如图所示终边落在射线y＝eq\r(3)x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线y＝eq\r(3)x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}．于是终边落在直线y＝eq\r(3)x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．]4．如图，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))动身，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转．已知P在1秒钟内转过的角度为θ(0°＜θ＜180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒后又恰好回到动身点A.则θ的值为________，θ在第________象限．eq\f(540°,7)或eq\f(720°,7)一或二[依据题意知，14秒后，点P在角14θ＋45°的终边上，∴45°＋k·360°＝14θ＋45°，k∈Z，即θ＝eq\f(k·180°,7)，k∈Z.又180°＜2θ＋45°＜270°，即67.5°＜θ＜112.5°，∴67.5°＜eq\f(k·180°,7)＜112.5°，k∈Z，∴k＝3或k＝4，∴所求θ的值为eq\f(540°,7)或eq\f(720°,7).∵0°＜eq\f(540°,7)＜90°，90°＜eq\f(720°,7)＜180°，∴θ在第一象限或其次象限．]若α是第一象限角，问－α，2α，eq\f(α,3)是第几象限角？[解]∵α是第一象限角，∴k·360°＜α＜k·360°＋90°(k∈Z)．(1)－k·360°－90°＜－α＜－k·360°(k∈Z)，∴－α所在区域与(－90°，0°)范围相同，故－α是第四象限角．(2)2k·360°＜2α＜2k·360°＋180°(k∈Z)，∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，故2α是第一、二象限角或终边在y轴的非负半轴上．(3)k·120°＜eq\f(α,3)＜k·120°＋30°(k∈Z)．法一：(分类探讨)当k＝3n(n∈Z)时，n·360°＜eq\f(α,3)＜n·360°＋30°(n∈Z)，∴eq\f(α,3)是第一象限角；当k＝3n＋1(n∈Z)时，n·360°＋120°＜eq\f(α,3)＜n·360°＋150°(n∈Z)，∴eq\f(α,3)是其次象限角；当k＝3n＋2(n∈Z)时，n·360°