工程数学 课件 第3章 n 维向量与线性方程组

第3章

n

维向量与线性方程组第1节

向量组及其线性组合第2节

向量组的线性相关性第3节

向量组的秩第4节

齐次线性方程组的解第5节

非齐次线性方程组的解

第1节向量组及其线性组合

一、n维向量的概念

定义3.1由n个数a1,a2,…,an组成的有序数组(a1,a2,…,an)称为一个n维向量,数ai称为向量的第i个分量(i=1,2,…,n).

注在解析几何中,我们把“既有大小又有方向的量”称为向量,并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象.引入坐标系后,又定义了向量的坐标表示式(三个有次序

实数),此即上面定义的3维向量.因此,当n≤3时,n维向量可以把有向线段作为其几何形象.当n>3时,n维向量没有直观的几何形象.

向量可以写成一行:(a1,a2,…,an);也可以写成一列:

向量写成一行时称为行向量,写成一列时

称为列向量.向量常用字母α,β,γ等表示.

若干个同维数的列向量(或行向量)所组成的集合称为向量组.例如,一个m×n矩阵

每一列

组成的向量组a1,a2,…,an称为矩阵A的列向量组,而由矩阵A的每一行βi=(ai1,ai2,…,ain)(i=1,2,…,m),组成的向量组β1,β2,…,βm称为矩阵A的行向量组.

根据上述讨论,矩阵A记为A=(a1,a2,…,an)或

这样,矩阵A就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系.

矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组,而线性方程组Am×nA=0的全体解当r(A)<n时是一个含有无限多个n维列向量的向量组.

我们规定:

(1)分量全为零的向量,称为零向量,记作0,即0=(0,0,…,0).

(2)向量α=(a1,a2,…,an

)各分量的相反数组成的向量称为α的负向量,记作-α,即-α=(-a1,-a2,…,-an).

(3)如果α=(a1,a2,…,an

),β=(b1,b2,…,bn),当ai=bi(i=1,2,…,n)时,则称这两个向量相等,记作α=β.

定义3.2设两个n维向量α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn),定义向量α,β的和:α+β=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn);α,β的差:α-β=(a1-b1,a2-b2,…,an-bn).若存在常数k,则常数与向量α的数乘kα=(ka1,ka2,…,kan).

向量的加法及数与向量的乘法统称为向量的线性运算.

注向量的线性运算与行(列)矩阵的运算规律相同,从而也满足下列运算规律:

(1)α+β=β+α;

(2)(α+β)+γ=α+(β+γ);

(3)α+0=α;

(4)α+(-α)=0;

(5)1α=α;

(6)k(lα)=(kl)α;

(7)k(α+β)=kα+kβ;

(8)(k+l)α=kα+lα.

二、向量组的线性组合

定义3.3设有n维向量组α1,α2,…,αm,对于向量β,如果存在一组数k1,k2,…,km,使得β=k1α1+k2α2+…+kmαm,则称β是α1,α2,…,αm的线性组合,也称β可由α1,α2,…,αm线性表示,k1,k2,…,km称为这个线性组合的系数.

定理3.1向量β可由向量组A:α1,α2,…,αm线性表示的充分必要条件是:矩阵A=(α1,α2,…,αm)与矩阵B=(α1,α2,…,αm,β)的秩相等.

三、向量组间的线性表示

定义3.4设有两向量组

若向量组B中的每一个向量都能由向量组A线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表示.若向量组A与向量组B能相互线性表示,则称这两个向量组等价.

引理3.1若Cs×n

=As×tBt×n,则矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示,B为这一表示的系数矩阵.而矩阵C的行向量组能由B的行向量组线性表示,A为这一表示的系数矩阵.

定理3.2若向量组A可由向量组B线性表示,向量组B可由向量组C线性表示,则向量组A可由向量组C线性表示.

第2节向量组的线性相关性一、线性相关性概念定义3.5对n维向量组α1,α2,…,αm,若有数组k1,k2,…,km不全为0,使得k1α1+k2α2…+kmαm=0,则称向量组α1,α2,…,αm线性相关,否则称为线性无关.

注(1)对于单个向量α:若α=0,则α线性相关;若α≠0,则α线性无关.

(2)含有一个向量的向量组线性相关的充要条件是此向量为零向量;含有一个向量的向量组线性无关的充要条件是此向量为非零向量.

(3)两个向量构成的向量组线性相关的充要条件是这两个向量对应分量成比例.

二、线性相关性的判定

定理3.3向量组α1,α2,…,αm(m≥2)线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示.

定理3.4若向量组α1,α2,…,αm线性无关,α1,α2,…,αm,β线性相关,则β可由α1,α2,…,αm线性表示,且表示式唯一.

第3节向量组的秩

定义3.6设向量组为A,若:(1)在A中有r个向量α1,α2,…,αr线性无关;(2)在A中任意r+1个向量线性相关(如果有r+1个向量的话),则称α1,α2,…,αr为向量组A的一个极大线性无关组,称r为向量组A的秩,记作:秩(A)=r.注(1)向量组中的向量都是零向量时,其秩为0

(2)秩(A)=r时,A中任意r个线性无关的向量都是A的一个极大无关组.

α1,α2线性无关⇒α1,α2是一个极大无关组.

α1,α3线性无关⇒α1,α3是一个极大无关组.

注一个向量组的极大无关组一般不是唯一的.

定理3.7设r(Am×n)=r≥1,则:

(1)A的行向量组(列向量组)的秩为r;

(2)A中某个行列式Dr≠0⇒A中Dr所在的r个行向量(列向量)是A的行向量组(列向量组)的极大无关组.

定理3.8已知Am×n,Bm×n,

第4节齐次线性方程组的解

一、齐次线性方程组解的判定一般地,我们把含有m个方程、n个未知量的齐次线性方程组

简写成矩阵形式AX=0,其中

对于方程个数等于未知量个数的线性方程组

二、齐次线性方程组的一般解

例3.11求例3.10中齐次线性方程组的一般解.

三、齐次线性方程组的通解的求法

齐次线性方程组的解有如下性质

定理3.10设A为m×n矩阵,若r(A)=r<n,则方程组AX=0有基础解系,且基础解系含有n-r个解向量;若设ξ1,ξ2,…,ξn-r是方程组AX=0的一个基础解系,则方程组AX=0的通解为

得同解方程组:

此方程组的一般解为

可得r(A)=2<n,则方程组有无穷多解,其同解方程组为

第5节非齐次线性方程组的解

一、非齐次线性方程组例3.15如图3.1的网络是某市的一些单行道路在一个下午(以每小时车辆数目计算)的交通流量,计算该网络的车流量.

图3.1

解如图3.1所示,标记道路交叉口和未知的分支流量,在每个交叉口,令其车辆驶入数目等于车辆驶出数目.

(1)车辆驶入驶出数目,列表如下:

(2)车辆驶入数目等于车辆驶出数目,列表如下:

(3)车辆总驶入量等于车辆总驶出量,列表如下:

(4)得到下面方程组:

二、非齐次线性方程组解的判定

方程组的矩阵形式是AX=B,与之对应的齐次线性方程组为AX=0.而且有如下定理:

定理3.11

AX=B有解⇔r(A,B)=r(A)

三、非齐次线性方程组解的结构

性质3.3设η1,η2为AX=B的解,则η1-η2为AX=0的解.

证明

A(η1-η2)=Aη1-Aη2=B-B=0.

性质3.4设η1为AX=B的解,η2为AX=0的解,则η1+η2为AX=B的解.

证明A(η1+η2)=Aη1+Aη2=B+0=B.

由以上的两条性质可以推出非齐次线性方程组解的结构.

四、非齐次线性方程组通解的求法

定理3.12设非齐次线性方程组AX=B有解,则其通解为X=η+ξ,其中,η为AX=B的一个特解,ξ是方程组AX=B的导出组AX=0的通解.

若设矩阵Am×n的秩为r,齐次线性方程组AX=0的一个基础解系为ξ1,ξ2,…,ξn-r,则AX=B的通解为

例3.17解例3.15中的非齐次线性方程组

综上有AX=B的通解是

例3.18解线性方程组

于是得到导出组的一个基础解系为

所以,原方程组的通解为