11篇高考数学复习资料

第十一篇统计与概率③

•MATHEMATICS1

第十一篇

统计与概率

第1讲抽样方决与总体分布的估计

【2014年高考会这样考】

1.考查三种抽样方法及其应用.

2.考查频率分布直方图中的相关计算（求解频率、频数等）.

3.考查用样本估计总体中的样本数据的数字特征（平均数、方差、标准差等）.

。1」_抓住乏个考点必考必记夯基固本

对应学生

-162~

考点梳理

1.三种抽样方法的比较

类别共同点各自特点相互联系适用范围

简单随从总体中逐个抽总体中的个

机抽样取体数较少

抽样过程中每个

个体被抽取的概

将总体均分成几在起始部

率相等，均属于不

系统部分，按事先确定分抽样时总体中的个

放回抽样

抽样的规则在各部分采用简单体数较多

中抽取随机抽样

各层抽样

时采用简总体由差异

分层将总体分成几层，

单随机抽明显的几部

抽样分层进行抽样

样或系统分组成

抽样

2.频率分布直方图与茎叶图

(1)当总体很大或不便获得时一，可以用样本的频率分布去估计总体的频率分布，

我们把反映样本频率分布的表格称为频率分布表.绘制频率分布表的步骤为：

①求极差;②决定组距和组数;③将数据分组;④列频率分布袤.

(2)利用直方图反映样本的频率分布，这样的直方图称为频率分布直方图.画频

率分布直方图的一般步骤是：①绘制频率分布表；②作直角坐标系，把横轴分

成若干段，每一段对应一个组的组距；③在上面标出的各点中，分别以相邻两

点为端点的线段为底作矩形，它的高等于该组的频磊率.此时，每个矩形的面积

组距

恰好就是该组的频率，显然所有矩形的面积之和为1.

3.样本的数字特征

(1)众数

在样本数据中，出现次数最多的那个数据.

(2)中位数

样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据.如果数据的个数为偶数,

就取中间两个数据的平均数作为中位数.

(3)平均数

样本数据的算术平均数，即x=：(制+应+…+/).

(4)方差与标准差

,22—22

方差：5=-[(Xl-X)+(%2X)4---------\~(Xn—X)].

标准差：S=A~[(X\—X)2+(X2—Xf-l---------HQ"—XyJ.

【助学・微博】

一条规律

三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率

相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性.若样本容量为〃，总体的个

体数为M则用这三种方法抽样时，每个个体被抽到的概率都是5

两个特性

(1)在频率分布表中，频数的和等于样本容量，每一小组的频率等于这一组的频

数除以样本容量，各小组频率的和等于1;

(2)在频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，每个小矩形的

面积等于该组的频率，所有小矩形的面积之和为1.

考点自测

1.(2012.山东)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查.为此将他

们随机编号为1,2,…，960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的

号码为9.抽到的32人中，编号落入区间［1,450］的人做问卷A,编号落入区间

［451,750］的人做问卷其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷8的人数为

().

A.7B.9C.10D.15

解析从960人中用系统抽样方法抽取32人，则每30人抽取一人，因为第一

组抽到的号码为9,则第二组抽到的号码为39,第〃组抽到的号码为斯=9+

30(n-1)=30〃-21,由451<30〃-21<750,得-^W.〃=16,17,,,,,

25,共有25-16+1=10人，选C.

答案C

2.(2013.临沂模拟)甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800

名学生.为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量

为90的样本，应该在这三校分别抽取的学生人数是().

A.30,30,30B.30,45,15

C.20,30,10D.30,50,10

Of)1

解析抽取比例是—„=看，故三校分别抽取的学生人数为3

J0UU+J4UU+1oUU

600X-j^r=30,5400X-7^7=45,1800XT^T=15.

答案B

3.10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是

15,17,14,10,15,19,17,16,14,12,则这一天10名工人生产的零件的中位数是

（）.

A.14B.16C.15D.17

解析将这组数据从小到大排列得10,12,14,14,15,15,16,17,17,19.故中位数为

答案C

4.（2013•西北工大附中测试）如图是容量为150的样本的频率分布直方图，则

样本数据落在［6,10）内的频数为（）.

A.12B.48C.60D.80

解析落在［6,10）内的频率为0.08X4=0.32,故频数为0.32X150=48.

答案B

5.（2013.长沙模拟）

089

1035

如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在

这五场比赛中得分的方差为.

（注：方差s2=%（XLX尸+。2—x----|-（x„—X）2］,其中X为X1，X2,

X”的平均数）

解析=1（8+9+10+13+15）=11,52=1x（9+4+1+4+16）=6.8.

答案6.8

02突破3个考向则i案例考向突破

对应学生

~163~

考向一抽样方法

［例1］＞从某厂生产的802辆轿车中抽取80辆测试某项性能.请合理选择抽

样方法进行抽样，并写出抽样过程.

［审题视点］因为802不能整除80,为了保证“等距”分段，应先剔除2个个

体.

解由于总体及样本中的个体数较多，且无明显差异，因此采用系统抽样的方

法，步骤如下：

第一步：先从802辆轿车中剔除2辆轿车（剔除方法可用随机数法）；

第二步：将余下的800辆轿车编号为1,2,…，800,并均匀分成80段，每段

含攵=鬻=10个个体；

OV

第三步：从第1段即1,2,…，10这10个编号中，用简单随机抽样的方法抽

取一个编号（如5）作为起始编号；

第四步：从5开始，再将编号为15,25,…，795的个体抽出，得到一个容量

为80的样本.

方法最费»解决系统抽样问题的两个关键步骤为：

（1）分段的方法应依据抽取的样本容量而定，即根据定义每段抽取一个样本.

（2）起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便

随之确定了.

【训练1】（2012•天津）某地区有小学150所，中学75所，大学25所.现采用

分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学

中抽取所学校，中学中抽取所学校.

解析根据分层抽样的特点求解.从小学中抽取30X明+=18所学

75

校；从中学中抽取30X条+,=9所学校.

答案189

考向二频率分布直方图的绘制及应用

［例2］»某班同学利用国庆节进行社会实践，对［25,551岁的人群随机抽取n

人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念,

称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频

率分布直方图:

组数分组低碳族的人数占本组的频率

第一组[25,30)1200.6

第二组[30,35)195P

第三组[35,40)1000.5

第四组140,45)a0.4

第五组[45,50)300.3

第六组[50,55]150.3

续表

(1)补全频率分布直方图:

(2)求〃，a,p的值.

［审题视点］(1)要补全频率分布直方图，关键是计算出第二组的频率；(2)灵活

运用关系式：募频率X组距=频率,择频磊数量=频率求解・

解(1)第二组的频率为1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)X5=0.3,所以小长

方形的高为W=0Q6.频率分布直方图如图所示.

频率/组距

(2)第一组的人数为族"二?。。，频率为0.04X5=0.2,

所以zz=Q2—1000.

由(1)知，第二组的频率为0.3,所以第二组的人数为1000X0.3=300,所以夕

195

荻=0.65.第四组的频率为0.03X5=0.15,所以第四组的人数为1000X0.15

=150,所以a=150X0.4=60.

方法锦*》(1)绘制频率分布直方图时需注意：①制作好频率分布表后可以利用

各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确；②频率分布直方图的纵坐标是

瞿，而不是频率.

(2)由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式:煞X组距=频率.

组ME

【训练2】(2013•烟台四校联考)据悉2012年山东省高考要将体育成绩作为参

考，为此，济南市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业

班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在80m(精确到0.1m)以上的为合格.把

所得数据进行整理后，分成6组，并画出频率分布直方图的一部分如图所示.已

知从左到右前5个小组对应矩形的高分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30,且第6

小组的频数是7.

(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；

(2)若由直方图来估计这组数据的中位数，指出该中位数在第几组内，并说明理

由.

解⑴由题易知，第6小组的频率为1-(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)X1=

0.14,

7

•••此次测试的总人数为万y=50.

，这次铅球测试成绩合格的人数为(0.28XI+0.30X1+0.14X1)X50=36.

(2)直方图中中位数两侧的矩形面积和相等，即频率和相等，前三组的频率和为

0.28,前四组的频率和为0.56,

中位数位于第4组内.

考向三用样本的数字特征估计总体的数字特征

【例3】A甲乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图.

得分

甲:―

乙:―.

。第磐期第,第次数

次前正次次

(1)分别求出两人得分的平均数与方差；

(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价.

[审题视点](1)先通过图象统计出甲、乙二人的成绩；

(2)利用公式求出平均数、方差，再分析两人的成绩，作出评价.

解(1)由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为

甲：10分，13分，12分，14分，16分；

乙：13分，14分，12分，12分，14分.

—10+13+12+14+16、

x甲==13,

—13+14+12+12+14

x乙==13,

S^=|[(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2]=4,

^=1[(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+(14-13)2]=0.8.

（2）由s小〉s?可知乙的成绩较稳定.

从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩

在不断提高，而乙的成绩则无明显提高.

方法锦*2（1）用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、

标准差的近似.实际应用中，当所得数据平均数不相等时，需先分析平均水平,

再计算标准差（方差）分析稳定情况.

（2）若给出图形，一方面可以由图形得到相应的样本数据，再计算平均数、方差

（标准差）；另一方面，可以从图形直观分析样本数据的分布情况，大致判断平

均数的范围，并利用数据的波动性大小反映方差（标准差）的大小.

【训练3】

88400028

75202337

80012448

238

（2012.陕西）从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行

统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示）.设甲乙两组数据的平均数分别为工

甲，x乙，中位数分别为加甲，mz,,贝1」（）.

A.x甲＜x乙,m\\\＞m乙B.x甲＜x乙,m甲乙

C.x甲〉x乙，加甲乙D.x甲,x乙,m甲〈加乙

解析二甲=表(41+43+30+30+38+22+25+27+10+10+14+18+18+5

x乙=T7(42+43+48+31+32+34+34+38+20+22+23+23+27+10+12

一x甲＜x乙

又根甲=20,m29,m甲乙,

答案B

。3»揭秘3年高考权威解读真题展示

对应学生

~164-

方法优化15——快速掌握抽样方法的技巧

【命题研究】通过近三年的高考试题分析，考查分层抽样方法的题目较多，

其次是系统抽样.题型多为选择题、填空题，有的与统计的其它知识或概率综

合考查，常以解答题的形式出现，难度较低.

【真题探究】A（2012.江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：

3:4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样

本，则应从高二年级抽取名学生.

［教你审题］等比例性质；

二审抽取的样本容量.

［优美解法］高二年级学生人数占总数的看百=孱.样本容量为50,则高二年

3

级抽取：50X行=15（名）学生.

［答案］15

［反思］用分层抽样抽样时，分成的各层标准要一致，互不重叠，各层抽取的比

例都等于样本容量在总体中的比例，即?

【试一试】（2013•徐州模拟）从某小学随机抽取100名同学，这些同学身高都

不低于100厘米，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如

图）.现用分层抽样的方法从身高在［120,130）,［130,140）,［140,150］三组学生中，

选取18人参加一项活动，则从身高在［140,150］内的学生中选取的人数应为

解析由(0.005+0.010+0.020+0.035+a)X10=1,得a=0.030,因此

[120,130),[130,140),[140,150]三组学生人数分别为：0.3X100=30,0.20X100

=20,0.10X100=10,所以，从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为

30+20+10X18=3,

答案3

“J限时规范训练阶梯训练能力提升

对应学生

-329~

A级基础演练（时间：30分钟满分：55分）

一、选择题（每小题5分，共20分）

1.（2013・西安质检）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，125

得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分20233

3124489

别是（）.455577889

A.46,45,56B.46,45,5350011479

6178

C.47,45,56D,45,47,53

45+47

解析样本共30个，中位数为二y一=46;显然样本数据出现次数最多的为

45,故众数为45;极差为68-12=56,故选A.

答案A

2.（2013・南昌模拟）小波一星期的总开支分布如图⑶所示，，星期的食品开支如

图（b）所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（）.

图⑷

图(b)

A.30%B.10%C.3%D.不能确定

解析由题图(b)可知小波一星期的食品开支共计300元，其中鸡蛋开支30

元.又由题图(a)知，一周的食品开支占总开支的30%,则可知一周总开支为

1000元，所以鸡蛋开支占总开支的百分比为丁丽X100%=3%.

答案C

3.(2013•成都模拟)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的

知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员

的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽

取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数"为().

A.101B.808C.1212D.2012

解析甲社区驾驶员的抽样比例为1公7J1，四个社区驾驶员总人数的抽样比例

VOo

,12+21+25+43101,1011公

为------R------=斤，由丁=+何N=808.

答案B

4.(2012.安徽)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图

如图所示，贝IJ().

甲

A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数

B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数

C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差

D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

解析由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8,乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的

成绩的平均数均为6,A错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5,B错；甲、乙

的成绩的方差分别为1X[(4-6)2+(5-6)2+(6-+(7-6)2+(8-6)2]=2,1

X[(5-6)2+(5-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(9-6)2]=y,C对；甲、乙的成绩的

极差均为4,D错.

答案C

二、填空题(每小题5分，共10分)

5.(2013・武夷模拟)用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160

名学生随机地从1〜160编号,按编号顺序平均分成20组(1〜8号,9〜16号，…，

153〜160号)，若第16组抽出的号码为126,则第1组中用抽签的方法确定的

号码是.

解析设第1组抽取的号码为4则第八组抽取的号码为8(〃-1)+6••・8X(16

-1)+6=126,「力=6,故第1组抽取的号码为6.

答案6

6.(2013.苏州一中月考)某学校为了解学生数学课程的学习情况，在1000名学生

中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的

频率分布直方图(如图).根据频率分布直方图可估计这1000名学生在该次数

学考试中成绩不低于60分的学生人数是.

解析低于60分学生所占频率为(0.002+0.006+0.012)X10=0.2,故低于60

分的学生人数为1000X0.2=200,所以不低于60分的学生人数为1000-200

=800.

答案800

三、解答题（共25分）

7.（12分）某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，--般干部

70人，工人20人.上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容

量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施抽取.

解用分层抽样方法抽取.

具体实施抽取如下：

（1）720：100=1：5,Ay=2,y=14,y=4,

•••从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4

人.

（2）因副处级以上干部与工人的人数较少，他们分别按1〜10编号与1〜20编号，

然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人采用00,01,02,…，

69编号，然后用随机数表法抽取14人.

（3）将2人，4人，14人的编号汇合在一起就取得了容量为20的样本.

8.（13分）（2012.揭阳调研）某校高一某班的某次数学测试成绩（满分为100分）的茎

叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答下

列问题：

荃叶

~5~68

62335689

71223456789

8_____缺失_____

958

⑴求分数在［50,60］的频率及全班人数；

（2）求分数在［80,90］之间的频数，并计算频率分布直方图中［80,90］间的矩形的

信］・

解⑴分数在［50,60］的频率为0.008X10=0.08.

2

由茎叶图知，分数在［50,60］之间的频数为2,所以全班人数为品=25.

U.UO

(2)分数在［80,90］之间的频数为25—2—7—10—2=4,频率分布直方图中［80,90］

4

间的矩形的高为W10=0.016.

B级能力突破

(时间：30分钟满分:45分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1.(2013•哈尔滨模拟)一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0

的等差数列｛斯｝,若田=8,且勾,的，劭成等比数列，则此样本的平均数和中

位数分别是().

A.13,12B.13,13

C.12,13D.13,14

解析设等差数列｛斯｝的公差为d(dWO),a3=8,.。7=(。3)2=64,(8-2d)(8

+44)=64,(4-d)(2+d)=8,2d-/=0,又—#(),故〃=2,故样本数据为

4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,样本的平均数为乒苛一=13,中位数为气耳=

13,故选B.

答案B

2.(2012.江西)样本8,X2，…，X”)的平均数为工，样本3，竺，…，%,)的平均

数为y(xWy).若样本(xi，X2，…，xn,y\,加…，y”)的平均数z=ax+

—1

(1—a)y,其中Ovav/,贝lj〃，机的大小关系为().

A.n<mB.n>m

C.n=mD.不能确定

解析依题意得©+应+…+%〃=〃x，yi+为+…+%=my，

+

+%2+/+yi+,2++ytn=(m+〃)z=(加+屋)ax+(加+〃)(1~a)y,

•,-nx+my=(m+n)ax+(m+-a)y,

n=(m+n)a,

m=(m+“)(1-a),

于是有n-m=(m+n)[a-(1-a)]=(jn+n)(2a-1),

0<ct<^,-'-2a_l<0,n-m<Q,即m>”.

答案A

二、填空题(每小题5分，共10分)

3.(2013・沈阳质检)沈阳市某高中有高一学生600人，高二学生500人，高三学生

550人，现对学生关于消防安全知识了解情况进行分层抽样调查，若抽取了一

个容量为〃的样本，其中高三学生有11人，则〃的值等于.

n11

解析由600+500+550=550'得〃=33(A)，

答案33

4.(2013•北京西城一模)某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13

秒与18秒之间.将测试结果分成5组：[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18],

得到如图所示的频率分布直方图.如果从左到右的5个小矩形的面积之比为

1：3：7：6：3,那么成绩在[16,18]的学生人数是

6+3Q

解析成绩在[16,网的学生的人数所占比例为7T煮所以成绩

I+3+/+6+3ZU

9

在[16,18]的学生人数为120X元=54.

答案54

三、解答题(共25分)

5.(12分)汽车行业是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2012年开始,

对C02排放量超过130g/km的MI型新车进行惩罚(视为排放量超标)，某检测

单位对甲、乙两类MI型品牌的新车各抽取了5辆进行CO2排放量检测，记录

如下(单位:g/km)：

甲80110120140150

乙100120Xy160

经测算发现，乙类品牌车CO2排放量的均值为x乙=120g/km.

(1)求甲类品牌汽车的排放量的平均值及方差；

(2)若乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO2的排放量稳定性好，求x的取值范围.

.rz.0八&fij—80+110+120+140+150

解⑴甲m类J品n牌汽车的CO2排放量的平均值Xk----------------5----------------

120(g/km),

甲类品牌汽车的CO2排放量的方差

2(80-120)2+(110-120)2+(120-120)2+(140-120)2+(150-120)2

5甲=]

=600.

100+120+x+y+160

(2)由题意知乙类品牌汽车的CO2排放量的平均值x乙=

5

=120(g/km),得x+y=220,故尸220—x,所以乙类品牌汽车的CO2排放量

的方差

2(100-120)2+(120-120)2+(X-120)2+(220-X-120)2+(160-120)2

5乙=三'

因为乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO2的排放量稳定性好，所以日解得

900yl30.

6.(13分)已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名

81

职工，将全体职工随机按1〜50编号，并按编号顺序

平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行703689

系统抽样.6257

(1)若第5组抽出的号码为22,写出所有被抽出职工59

(2)的号码；

(2)分别统计这10名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图

所示，求该样本的方差；

(3)在(2)的条件下，从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤(273

公斤)的职工，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率.

解(1)由题意，第5组抽出的号码为22.

因为k+5X(5—1)=22,所以第1组抽出的号码应该为2,抽出的10名职

工的号码分别为2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.

(2)因为10名职工的平均体重为

1=-^(81+70+73+76+78+79+62+65+67+59)=71,

所以样本方差为：?=J5(102+l2+22+52+72+82+92+62+42+122)=52.

⑶从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同

的取法：(73,76),(73,78),(73,79),(73,81),(76,78),(76,79),(76,81),(78,79),

(78,81),(79,81).

记“体重为76公斤的职工被抽取”为事件A,它包括的事件有(73,76),

(76,78),(76,79),(76,81)共4个.

42

故所求概率为尸(4)=证=亍

特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设

计•高考总复习》光盘中内容.

第2讲变量间的相关关条与统计案例

【2014年高考会这样考】

1.考查利用散点图判断变量之间的关系.

2.考查线性回归方程的计算或回归分析的思想与方法的应用问题.

3.考查独立性检验的基本思想及应用.

抓住2仝考点必考必记夯基固本

对应学生

~165~

考点梳理

1.相关关系的判断

(1)散点图直观反映了两变量的成对观测值之间存在的某种关系，利用散点图可

以初步判断两个变量之间是否线性相关.如果散点图中点的分布从整体上看大

致在一条直线的附近，我们说变量x和y具有线性相关关系.

Z(X—x)8—y)

i=1

(2)相关系数r=一/,当r>0时，两变量正相关，当

/n_n_

A/Z(x-xyZ(y,—y)2

i=li=l

r<0时、两变量负相关，当IrlWl且H越接近于1,相关程度越高，当且Irl

越接近于0,相关程度越低.

2.最小二乘法求回归直线方程

⑴设线性回归方程为，=©+£,其中，含是回归方程的斜率，二是截距.

n__n__

Z(X-x)(y-y)»i%一〃xy

Ai=li=1

b=

<n_n_

Z(x—x)2》；一〃x2

i=1

A一A——

、a=y—bx.

⑵回归直线一定经过样本的中心点(x,y),据此性质可以解决有关的计算问

题.

3.独立性检验

(1)独立性检验的有关概念

①分类变量

可用变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量.

②2X2列联表

假设有两个分类变量X和匕它们的值域分别为｛制，超｝和｛)“，g｝，其样本频

数列联表(称为2X2列联表)为：

y2总计

X\ah

X2cdc+d

总计a+cb+da+/7+c+d

(2)独立性检验

2

利用随机变量心〒工得册,空：工_大其中〃=。+匕+。+1为样本容量)

来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验.

步骤如下：

“x与丫有关系”.

【助学彳散博】

一个区别

函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关

系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.

三个特征

(1)回归方程y=bx+a中的匕表示x增加■—个单位时，y的变化量约为3.

⑵川越大，残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；川越小，残差平方和

越大，即模型的拟合效果越差.

(3)当Y23.841时，则有95%的把握说事件A与8有关；

当代26.635时，则有99%的把握说事件A与8有关；

当犬W2.706时，则认为事件A与8无关.

考点自测

1.下列两个变量之间的关系是相关关系的是().

A.正方体的棱长与体积

B.单位面积的产量为常数时，土地面积与总产量

C.日照时间与水稻的亩产量

D.电压一定时，电流与电阻

解析A,B,D中两个变量间的关系都是确定的，所以是函数关系；C中的

两个变量间是相关关系，对于日照时间一定的水稻，仍可以有不同的亩产量,

故选C.

答案c

2.对变量x,y有观测数据(为，如。=1,2,…，10),得散点图(1)；对变量〃，

。有观测数据(唐，^,■)(/=1,2,10),得散点图(2).由这两个散点图可以判断

A.变量x与y正相关，“与0正相关

B.变量x与y正相关，〃与。负相关

C.变量x与y负相关，〃与。正相关

D.变量x与y负相关，a与0负相关

解析由图(1)可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关；由图(2)可知，各点

整体呈递增趋势，，，与。正相关.

答案C

3.(2012.湖南)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性

相关关系，根据一组样本数据(x”y)(i=l,2,…，〃)，用最小二乘法建立的回

归方程为£=0.85*一85.71,则下列结论中不正确的是().

A.y与x具有正的线性相关关系

B.回归直线过样本点的中心(T,7)

C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kg

D.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重必为58.79kg

解析根据线性回归方程中各系数的意义求解.由于线性回归方程中x的系数

为0.85,因此y与x具有正的线性相关关系，故A正确.又线性回归方程必过

样本中心点（工，7）,因此B正确.由线性回归方程中系数的意义知，x每增

加1cm,其体重约增加0.85kg,故C正确.当某女生的身高为170cm时，其

体重估计值是58.79kg,而不是具体值，因此D不正确.

答案D

4.为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100

位居民进行调查，经过计算犬心0.99,根据这一数据分析，下列说法正确的是

（）.

A.有99%的人认为该栏目优秀

B.有99%的人认为该栏目是否优秀与改革有关系

C.有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系

D.没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系

解析只有犬＞6.635才能有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关

系，而即使K226.635也只是对“电视栏目是否优秀与改革有关系”这个论断

成立的可能性大小的结论，与是否有99%的人等无关.故D正确.

答案D

5.（2011.辽宁）调查了某地若干户家庭的年收入x（单位:万元）和年饮食支出y（单

位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查

数据得到y对x的线性回归方程：f=0.254x+0.321.由线性回归方程可知，家

庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加万元.

解析由题意，知其回归系数为0.254,故家庭年收入每增加1万元，年饮食

支出平均增加0.254万元.

答案0.254

023突破岂个考向则i案例考向突破

对应学生

~166~

考向一线性相关关系的判断

【例11»下表是某小卖部6天卖出的热茶的杯数与当天气温的对比表.

气温/℃261813104-1

杯数y202434385064

⑴将表中的数据画成散点图；

⑵你能依据散点图指出气温与热茶杯数的关系吗？

(3)如果气温与卖出热茶杯数近似成线性相关关系的话，请画出一条直线来近似

地表示这种线性相关关系.

［审题视点］(1)用x轴表示气温，y轴表示杯数，逐一画点；(2)根据散点图分析

两个变量是否存在相关关系.

解(1)画出的散点图如图.

杯数

70

60

50

40

30

20

105

2030

(2)从图中可以发现气温和热茶杯数具有相关关系，气温和热茶杯数成负相关,

图中的各点大致分布在一条直线的附近，因此气温和杯数近似成线性相关关

系

⑶根据不同的标准，可以画出不同的直线来近似表示这种线性相关关系，如让

画出的直线上方的点和下方的点数目相等.如图.

方法锦囊»利用散点图判断两个变量是否有相关关系是比较简便的方法.在散

点图中如果所有的样本点都落在某一函数的曲线上，就用该函数来描述变量之

间的关系.即变量之间具有函数关系.如果所有的样本点落在某一函数的曲线

附近，变量之间就有相关关系；如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量

之间就有线性相关关系.

【训练1］5个学生的数学和物理成绩如下表:

\学生

学小\ABCDE

数学8075706560

物理7066686462

画出散点图，并判断它们是否有相关关系.

解把数学成绩作为横坐标，把相应的物理成绩作为纵坐标，在直角坐标系中

描点（即，％）（i=l,2,…，5）,作出散点图如图.

丁

70

60

50

40

30

20

10,数学成绩

。1020304050607080x

从图中可以直观地看出数学成绩和物理成绩具有相关关系，且当数学成绩增大

时，物理成绩也在由小变大，即它们正相关.

考向二线性回归方程及其应用

［例2］»（2012.福建）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产

品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价x/元88.28.48.68.89

销量y/件908483807568

AAAAA-----A-----

（1）求回归直线方程^=板+4,其中b=-20,a—y-bx；

（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从⑴中的关系，且该产品的成本

是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销

售收入一成本）

［审题视点］（1）分别计算7，利用线性回归方程过点（1,7）,代入方程

可得解；

（2）将已知条件代入可得关于单价x的二次函数，配方可得最大值.

--1

解（1）由于X=5（8+8.2+8.4+8.6+8.8+9）=8.5,

-1A

y=7(90+84+83+80+75+68)=80,又匕二一20,

A—A一

所以“=y—6x=80+20X8.5=250,

从而回归直线方程为y=-20x+250.

⑵设工厂获得的利润为L元，依题意得

L=x(-20x+250)-4(-20x+250)

=-20?+330x-l000

=-20(X-8.25)2+361.25.

当且仅当x=8.25时，L取得最大值.

故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润.

互迭蝇2求回归直线方程的步骤：

(1)依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；(2)计算出

y,EXM的值；(3)计算回归系数a,b；(4)写出回归直线方程y=嬴+a.

i=1i=1

【训练2】(2013.南昌模拟)以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的

面积x的数据.

房屋面积x/m211511080135105

销售价格w万元24.821.618.429.222

(1)求线性回归方程；

(2)据⑴的结果估计当房屋面积为150m2时的销售价格.

解(1)^=^X(115+110+80+135+105)=109,

-1

y=5X(24.8+21.6+18.4+29.2+22)=23.2.

设所求回归直线方程为£=源+2,则

5__

Z(%,—x)8-y)

Ai=l308

b-=]570心0」962，

2

z(x(—X)

i=\

A-A-308

：.a=y~bx=23.2-109XYyzr^l.8166.

，所求回归直线方程为£=0.1962x+1.8166.

(2)由第(1)问可知，当x=150