《中国高考评价体系》下的新高考备考

《中国高考评价体系》下的新高考备考

一、高考评价体系的内涵

中国高考评价体系主要由“一核”“四层”"四翼’’三部分内容组成.其中，“一核”为高考的核心功能，

即“立德树人、服务选才、引导教学”，是对素质教育中高考核心功能的概括，回答“为什么考”的

问题;“四层”为考查内容，即“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”，是素质教育目标在高

考中的提炼，回答“考什么”的问题广四翼”为考查要求，即“基础性、综合性、应用性、创新性”，是

素质教育的评价维度在高考中的体现，回答"怎么考''的问题.

二、高考评价体系的重大意义

高考评价体系创造性地将立德树人根本任务融入考试评价全过程,以实现高考评价目标与素质

教育目标的内在统一，切实将高考打造成为立德树人的重要载体和素质教育的关键环节,使之成

为德智体美劳全面培养教育体系的有机组成部分，从而实现“招一考一教一学”全流程各个环节

无缝衔接.

三、高考评价体系对高考命题的指导

为实现高考评价体系的“核心价值引领”，即以立德树人统领服务选才和引导教学,促进学生德智

体美劳全面发展.近几年无论是新课标全国卷，还是高考综合改革省、市的试卷，都遵循了高考评

价体系的精神，在命题理念上逐步实现了从“知识立意”“能力立意”向“价值引领、素养导向、能

力为重、知识为基”的转变，高考评价体系的“一核四层四翼”的内涵已在近年的高考内容改革及

命题当中逐步体现.

四、高考评价体系的要求在高考试题中的体现

认真研读近几年的高考试题，特别是今年的新高考数学山东卷试题，从中能够清晰地感觉到“核心

价值引领”下的高考数学试题，发生了较为深刻的变化.试题落实立德树人根本任务，贯彻德智体

美劳全面发展方针,重视数学本质，突出理性思维、数学应用、数学探究、数学文化的引领作用.

1.以试题情境体现“核心价值引领”“核心素养立意”

高考评价体系的理念“核心价值引领”“核心素养立意”，是通过问题情境与情境活动两类载体来实

现的，即通过选取适宜的素材，再现学科理论产生的场景或是呈现现实中的问题情境，让学生在真

实的背景下发挥核心价值引领作用，运用必备知识和关键能力去解决实际问题，全面综合展现学

科素养水平.

真题再现

【例1】（2020山东,4）日皆是中国古代用来测定时间的仪器,利用与唇面垂直的唇针投射到唇面

的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为O）,地球上一点A的纬度是指04与地球赤道所

在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日唇,若唇面

与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°,则唇针与点A处的水平面所成的角为（）

A.20°B.40°C.50°D.90°

试题解读此题以中国古代用来测定时间的仪器日骞和地球为问题情境，考查立体几何中直线与

平面所成角的概念及计算，此题既能够引导学生关注天文、地理等自然学科，又能引导学生了解

中国古代文明，激发学生爱国情怀.

【例2】(2020山东,6)基本再生数吊)与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数

指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初

始阶段，可以用指数模型：/(f)=e"描述累计感染病例数/⑺随时间(单位:天)的变化规律，指数增长

率r与岛,7近似满足Ro=l+"有学者基于已有数据估计出Ro=3.28,T=6.据此，在新冠肺炎疫情

初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(In2«0.69)()

A.L2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

试题解读此题以当前世界各国正在防控的重大疫情新冠肺炎的传染为问题情境，用数学模型揭

示病毒传播规律，贴近生活.让学生感受到数学源于生活，高于生活，服务于生活.在考查相关的数

学知识和从资料中提取信息的能力，突出数学知识和数学模型的应用的同时，通过计算累计感染

病例数增加1倍仅需要1.8天的结果，进一步引起学生重视自身的防护，感受中国在抗击疫情中

取得的重大成就，关注世界各国疫情防控的情况，从而坚定特色社会主义制度的优越性，树立起正

确的人生观、价值观.

【例3】(2020山东,7)已知P是边长为2的正六边形ABCOEF内的一点，则万•荏的取值范围

是()

A.(-2,6)B,(-6,2)

C.(-2,4)D.(-4,6)

试题解读此题给考生以较大的想象空间，以及多样的选择性，虽然题干不长，条件不多，但考查了

“直观想象''"数学抽象”"数学运算”三大核心素养，以及数形结合的数学思想和建系求解的数学方

法.

【例4】(2020山东,12)信息燧是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为

nn

1,2,…办且P(X=i)=p>0(i=l,2,…片1,定义X的信息嫡W(X)=-Sp/log2p/.()

i=li=l

A.若则//(X)=0

B.若〃=2,则"(X)随着pi的增大而增大

C.若2=#=1,2,…⑼，则”(X)随着n的增大而增大

D.若〃=2m,随机变量丫所有可能的取值为1,2,…，肛且P(y=/)=〃7+p2m+W=l,2,…，加)，则

H(X)WH(Y)

试题解读此题以信息论中的重要概念信息嫡为问题情境，结合中学所学的对数，分布列等知识编

制题目，考查学生获取新知识的能力和对新问题的理解探究能力，引导学生关注前沿科学.

【例5】(2020山东,15)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.0为圆孔

及轮廓圆弧所在圆的圆心,A是圆弧与直线AG的切点,8是圆弧AB与直线BC的切点，四

边形OEFG为矩形,BCLOG,垂足为C,tanZODC=^BH//DG,EF=12cm,DE=2cm,A到直线DE

和EF的距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴影部分的面积为cm2.

试题解读此题以某中学开展劳动实习，学生加工制作零件为问题情境，给出了一个较为复杂的几

何图形，以及多个已知条件，考查学生处理复杂问题的逻辑思维的严密性,有序性，灵活性及解决实

际问题的能力，此题除对“逻辑推理”“数学运算”两大核心素养考查得比较深刻外，还充分体现了

高考命题对中学德智体美劳五育并举的引导.

【例6】(2020山东,19)为加强环境保护，治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,

随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位:ng/n?),得下表:

(50,150](150,475]

so2[0,50]

PM2.5

10,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150”的概率;

(2)根据所给数据，完成下面的2x2列联表：

[0,150](150,4751

SO2

PM2.5

[0,75|

(75,115]

(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO?浓度有关?

试题解读此题以加强环境保护，治理空气污染为问题情境，在重点考查学生概率统计知识,阅读理

解能力，“数据分析数学运算”两大核心素养的同时，还对引导学生增强环境保护的意识,提升科

学发展经济理念，对树立正确的人生观、价值观有积极的促进作用.

2.评价体系中的“四翼”考查要求在高考试题中的体现

(1)基础性要求的考查:创设基本层面的问题情境,要求学生调动单一的知识或技能解决问题.这种

考查方式与传统的考查方式基本上没有什么质的变化.

真题再现

【例1】(2020山东,1)设集合A={x|lWxW3},B={x|2<xv4},则4UJ=()

A.{x|2<xW3}B.{x|2WxW3}

C.{x|lWx<4}D.{x|l<x<4}

【例2】(2020山东,2)磊=()

A.lB.-lC.iD.-i

(2)综合性要求的考查:创设综合层面的问题情境，要求学生在正确思想方法引导下，综合运用多种

知识或技能解决问题.这种考查方式要求学生在学科内要横向、纵向贯通所学知识，还需要有跨

学科的综合能力.

真题再现

【例3】(2020山东,8)若定义在R的奇函数/(x)在(-8,0)单调递减，且<2)=0,则满足动>-1)20的

x的取值范围是()

A.[-l,ljU[3,+oo)B.[-3,-l]U[0,l]

C.[-l,0]Un,+8)D.[-l,0]U[l,3]

(3)应用性要求的考查:创设生活实践问题情境或学习探索问题情境,要求学生在正确思想观念引

领下,综合运用多种知识或技能解决生活实践中的应用性问题.例如2020年新高考数学山东卷第

3,4,5,6,12,15,19^.

(4)创新性要求的考查:创设开放性生活实践问题情境或学习探索问题情境,要求学生在开放性的

或综合情境中创造性地解决问题,解决问题的方法应该是探究性的、多样的、创造性的.例

n

如:2020年新高考数学山东卷中的第12题探究信息端H(X)=-£p,log2p的单调性及函数值的大

i=l

小;第16题探究球面与侧面BCGS的交线所在的位置、形状、长度等;第18题中的第2问，探

究儿的通项公式及前100项和;第22题中的第2问探究直线经过定点以及AP上存在的定

点。，使得|。。|为定值.

五、高考评价体系引导下的题型和试卷结构的改革

1.引入多选题

在高考评价体系指导下,2020年新高考数学山东卷引入了多选题，多选题从第9题到第12题共

四个小题，题目要求如下:每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错

的得0分,部分选对的得3分.多选题的引入为不同层次的学生提供了发挥的空间,考查学生选择

取舍的能力.

2.增加了结构不良试题

真题再现

【例】(2020山东,17)在0°=百,②bsinA=3,③。这三个条件中任选一个，补充在下面问题

中，若问题中的三角形存在，求c的值;若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为“c,且sinA=gsinB,C=W?

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

此题十分新颖，增强了试题条件的开放性，引导学生更加注重思维灵活性及策略选择，对数学理解

能力,数学探究能力的考查起到了积极的作用.

3.取消了选考内容，主观题还是6道，全卷总题量还是22个题，这样“三角”和“数歹『，两部分内容成

为六道解答题的必选内容.

第1讲选择题、填空题的解法

方法思路概述

高考选择题、填空题注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，体现利用基础知识

深度考基础、考能力的导向;使作为中低档题的选择题、填空题成为具备较佳区分度的基本题

型.因此能否在选择题、填空题上获取高分，对高考数学成绩影响重大.解答选择题、填空题的基

本策略是准确、迅速.

（1）解题策略:小题巧解，不需“小题大做''，在准确、迅速、合理、简洁的原则下，充分利用题设和

选择支这两方面提供的信息作出判断先定性后定量,先特殊后一般，先间接后直接,多种思路选最

简.对于选择题可先排除后求解，既熟悉通法又结合选项支中的暗示及知识能力，运用特例法、筛

选法、图解法等技巧求解.

（2）解决方法:主要分直接法和间接法两大类，具体方法为直接法，特值、特例法，筛选法，数形结合

法，等价转化法，构造法，代入法等.

解法分类指导

方法二—直接法…一

直接法，就是直接从题设的条件出发，运用有关的概念、性质、公理、定理、法则和公式等，通过

严密的推理和准确的计算，然后对照题目所给出的选择支“对号入座”作出相应的选择.多用于涉

及概念、性质的辨析或运算较简单的定性题目.

【例1】（1）（2020山东泰安一模,2）已知复数一=1-尤其中a,b6R,i是虚数单位，则|a+bi|=（）

A.-l+2iB.lC.5D.V5

（2）（多选）（2020山东济宁模拟,11）已知函数＜x）=cos（2x-*2sin（x+^cos（x+；）（xGR）,现给出

下列四个命题，其中正确的是（）

A.函数/（X）的最小正周期为2兀

B.函数7U）的最大值为1

C.函数於）在［艮］上单调递增

D.将函数於）的图象向左平移2个单位长度,得到的函数解析式为g（x）=sin2x

【对点训练1】（1）（2020福建福州模拟，理6）已知数列｛”“｝为等差数歹U,若即恁为函数式x）=/-

9x+14的两个零点，则a3a4=（）

A.-14B.9C.14D.20

（2）（2020浙江,17）已知平面单位向量e应满足|2e「e2|WVX设a=©+e2,b=3ei+e2,向量a,b的夹角

为。，则cos?。的最小值是.

方法二—特值葭特例法…

特值、特例法是在题设普遍条件都成立的情况下，用特殊值（取得越简单越好）进行探求,从而清

晰、快捷地得到正确的答案,即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，从而“小题小做”或“小题

巧做

当题目已知条件中含有某些不确定的量时，可将题目中变化的不定量选取一些符合条件的特殊

值（或特殊函数，特殊角，特殊数列，特殊图形，图形特殊位置,特殊点，特殊方程,特殊模型等）进行处

理,从而得出探求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.

【例2】（1）（2020山东模考卷,8）若a>b>c>],S.ac<b12M）

A.log„/»log/,c>log（-aB.log（/?>log/>a>log«c

C.logcZ>>loga&>logcaD.logi>a>logc&>logac

BDC

⑵如图，在“8C中，。是8c的中点，区尸是A。上的两个三等分点，瓦？-CA=W-~CF=-\,^\BE-

CE=.

【对点训练2】（1）（2020浙江高考压轴卷,8）已知MGR,且。>"则（）

A.-<7B.sina>sinb

ab

c窃<G）b…

（2）在平面直角坐标系中，设A,B,C是曲线上三个不同的点，且£>,瓦尸分别为8C,CA,A8的中

X-1

点，则过£）,E,F三点的圆一定经过定点.

方法三…等价转化法.…

在应用等价转化法解决问题时,没有一个统一的模式去进行.可以在数与数、形与形之间进行转

换;可以在宏观上进行等价转换;也可以在函数、方程、不等式之间进行等价转化.但都需要保持

命题的真假不变.等价转化法的转化原则是将陌生的问题转化为熟悉的问题，将复杂的问题转化

为简单的问题，将抽象的问题转化为直观的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式，从

分式到整式.

【例3】⑴函数段）=[%2y>0,有且只有一个零点的充分不必要条件是（）

十CL,XS：U,

1

A.Q<0B.0<a<±

2

C.*lD.aWO或a>l

（2）已知/U）与函数y=-asinx关于点C，。）对称,g（x）与函数y=e*关于直线y=x对称，若对任意X\£

（0,1],存在及七[Q]液g（M）-xW/U2）成立,则实数〃的取值范围是（）

【对点训练3】⑴在四面体P-ABC中,△A8C为等边三角形，边长为3,PA=3,P8=4,PC=5,则四面

体P-ABC的体积为()

A.3B.2A/3

C.V11D.V10

,,3_____

⑵(2020福建福州模拟,16)已知函数«r)=ax-lnx-l,g(x)=r^，用max{〃?,〃}表不m,n中的最大值，设

p(x)=max{/(x),g(x)}.若夕(x)》g在(0,+oo)上恒成立,则实数a的取值范围为.

方法四….数形结合法—

数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意

义，使数量关系和儿何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路,使问题

得以解决的思考方法.每个几何图形中蕴含着一定的数量关系，而数量关系常常又通过图形的直

观性作出反映和描述，数与形之间可以相互转化，将问题化难为易,化抽象为具体.数形结合的思想

方法通过借数解形、以形助数，能使某些较复杂的数学问题迎刃而解.

【例4】(1)(2020山东模考卷,6)已知点A为曲线y=x+：(x>0)上的动点,8为圆。々产+丁勺上的动

点，则|AB|的最小值是()

A.3B.4C.3V2D.4V2

(2)(2020山东,5)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学

生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的

比例是()

A.62%B.56%C.46%D.42%

(2)(2020山东,5)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学

生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的

比例是()

A.62%B.56%C.46%D.42%

【对点训练4】⑴已知函数<，若存在实数风立,满足加)=M)守⑷,其中

c>b>”,则3+份/(c)的取值范围是()

A.(24,36)B.(48,54)

C.(24,27)D.(48,+oo)

(2)(多选X2020山东济南一模,12)已知函数氏O=(sinx+cosx)|sinx-cosx|,下列说法正确的是()

A.7(x)是周期函数

B.7(x)在区间屋身上是增函数

C.若曲D|+1/3）I=2,则XI+X2=郛GZ）

D.函数g（x）寸力+1在区间［0,2汨上有且仅有1个零点

方法五…构造法一…

利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学

问题得到简捷的解决.构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的,从曾经遇到过的类似

问题中寻找灵感,构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题得到快速解决.

【例5】（1）（2020全国〃，理11）若2,-2%3三3-，,则（）

A.ln（j-x+1）>0B.ln（^-x+1）<0

C.ln|x-y|>0D.ln|x-y|<0

（2）（2020山东烟台模拟,16）设定义域为R的函数7U）满足八则不等式3一力>）勺（2r1）的解

集为.

【对点训练5】（1）（2020天津和平区一模,7）函数负处是定义在R上的奇函数，对任意两个正数

xi,X2（X!<乃）,都有图12>—32。=25的密）力=八1）,c=-log53（logi5）,则a,b,c大小关系为（）

Xx

123

K.c>b>aB.b>c>a

C.a>b>cD.a>c>b

（2）（2020浙江,9）已知。力£R且必M,对于任意x20均有（x-a）（x-份（六2〃包）20,则（）

A.〃v0B.67>0C.b<0D.b>0

方法六…排除法（针对选择题工…

数学选择题的解题本质就是去伪存真,舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论.排

除法（又叫筛选法）就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例，对于错误的选项逐

一剔除，从而获得正确的结论.

［例6］（1）（2020全国〃，文5）已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中，与b垂直的是

（）

A.a+2bB.2a+b

C.a-2bD.2a-b

（2）（2020浙江高考压轴卷,7）函数於尸咛*（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）

【对点训练6】（1）（多选X2020山东联考,9）在下列函数中，最小值是2的是（）

1

A.y=x+-

B.尸2'+2/

C.y=sinx+-^―（0,；）

sinx\2/

口.产f-21'+3

（2）（2020浙江,4）函数y=xcosx+sinx在区间［-兀，兀］上的图象可能是（）

方法上…他算法…

选择题提供了正确的选择支，解答又无需过程.因此，有些题目,不必进行准确的计算，只需对其数

值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断,这就是估算法.估算法往往可以减少运

算量，但是加强了思维的层次.

［例7］（2019全国/,文4,理4）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足

底的长度之比是亨（与幺0.618,称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美

人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是合.若某人满足上述两个黄金分割比例,

且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是（）

A.165cmB.175cm

C.185cmD.190cm

【对点训练7】已知正数满足2x+y<4厕空的取值范围是（）

C.(-8j)U(5,+8)

D.(-a),i]uf5,+«))

专题方法归纳

L解选择题、填空题的基本方法比较多，但大部分选择题、填空题的解法是直接法，在解题时要

根据题意灵活运用上述一种或几种方法“巧解”，在“小题小做”“小题巧做”上做文章，切忌盲目地

采用直接法.

2.由于选择题供选选项多、信息量大、正误混杂、迷惑性强，稍不留心就会误入“陷阱”，应该从

正反两个方向肯定、否定、筛选、验证，既谨慎选择，又大胆跳跃.

3.解填空题不要求求解过程，从而结论是判断正确的唯一标准，因此解填空题时要注意以下几个

方面：

⑴要认真审题，明确要求，思维严谨、周密,计算要准确；

(2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论；

(3)要重视对所求结果的检验.

4.作为平时训练,解完一道题后，还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”，并注意及时总结，这

样才能有效地提高解题能力.

第2讲函数与方程思想、数形结合思想

一、函数与方程思想

函数与方程思想,渗透到中学数学的各个领域，是历年高考考查的重点和热点.一般通过函数与导

数、三角函数、数列及解析几何等知识运用的交汇处,思想方法和相关能力的结合处进行考查.

思想方法诠释

1.函数的思想:是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,

建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.

2.方程的思想:就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程,通过解

方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.方程思想是动中求静，研

究运动中的等量关系.

3.函数思想与方程思想的联系：

函数思想与方程思想密切相关，对于函数)，=<刈,当y=0时,转化为方程式x)=0,也可以把函数

y=/(x)看作二元方程y：/(x)=O.

函数与方程的问题可相互转化.求方程/x)=0的解就是求函数/式x)的零点•求方程7U)=g(x)的

解的问题，可以转化为求函数y=/(x)-g(x)与X轴的交点问题.

思想分类应用

应用二―函数思想与方程思想的转换…

【例1】设函数/(幻=：，8(犬)=0«2+公(4/6艮存0),若y=/(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个

不同的公共点&汨幼),伏/2,丁2),则下列判断正确的是()

A.当a<0时用+工2〈0田+丁2>0

B.当a<0时可+x2>0,)，i+y2<0

C.当a>0时,xi+x2<0,yi+y2<0

D.当a>0时㈤+x2>0,yi+”>0

思维升华求两个函数./(x),g(x)图象的交点问题通常转化为求函数&x)=/(x)-g(x)的零点问题.而函

数尸(X)的零点问题也可以转化为两个函数图象的交点问题.

【对点训练1】已知函数段)的定义域为R,且有贺幻+凡己1)=1,则小鱼尸.

应用二.…函数与方程思想在解三角形中的应用.…

【例2】为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求NACB=60°,BC的长度大于1m,且

AC比AB长3m,为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为()

A.(l+})mB.2m

C.(l+V3)mD.(2+V3)m

思维升华函数思想的实质是使用函数方法解决数学问题(不一定只是函数问题)，构造函数解题是

函数思想的一种主要体现.方程思想的本质是根据已知得出方程(组)，通过解方程(组)解决问题.

【对点训练2］已知a,"c分别为AABC的内角A.B,C的对边,S为4ABC的面积,sin(8+0=T^.

a'-c"

(1)证明:A=2C;

(2)若〃=2,且为锐角三角形，求S的取值范围.

应用三…函数与方程思想在比较大小或丕等式中的应用…一

【例3】(1)(2020全国/,理12)若2"+1082。=43210g也则()

A.a>2bB.a<2b

C.a>b2D.a<b2

⑵（2020安徽合肥一中模拟，理12）已知关于x的不等式afei-Zdnx-lW0恒成立，则实数a的取

值范围是（）

A.[0,l]B.（-oo,0]

D.（-8曰

思维升华1.在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象

和性质解决问题.

2.函数1》）>0或兀¥）<0恒成立，一般可转化为人X）min>0或1AX）max<0.已知恒成立求参数取值范围

可先分离参数，再利用函数最值求解.

【对点训练3】⑴（2020全国以文10）设a=log32,/?=log53,c=|,KiJ（）

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

（2）若（0,+8）,｝2x-lnx+a恒成立，则a的最大值为（）

1

A.lB.-C.OD.-e

e

应用四.…函数与方程思想在数列史的应用….

[例4]（2020湖南长郡中学四模，文4）设等差数列｛小｝的前〃项和为S“，若S13-JIIJ

COS2«5+COS2«7+COS2«9=（）

35

A.lB.-C.-D.2

22

思维升华在解决数列问题时，应充分利用函数的有关知识，解题往往以函数的概念、图象、性质

为纽带，建立起函数与数列间的桥梁,揭示它们内在的联系，从而有效快速解决数列问题.

【对点训练4】已知在数列｛而中，前〃项和为，，且S,尸小曲则区的最大值为（）

3an-l

A.-3B.-lC.3D.l

应用五—函数与方程思想在概率史的应用—

[例5]（2020河北沧州一模，理12）2019年末,武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID-19）疫情，并快

速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所

以目前没有特异治疗方法，防控难度很大.武汉市出现疫情最早，感染人员最多,防控压力最大，武

汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法

明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落

一户、不漏一人.在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医

护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.

设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为P(O<P<1)且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能

确定为“感染高危户''的概率为/(p),当p=po时1Ap)最大，则po=()

A.1-—B.—C.-D.1--

3323

思维升华关于概率的应用题，首先应用概率的相关知识得到两个量的等量关系，然后利用函数模

型研究函数的最值、极值问题，重在考查考生的“数学建模”的核心素养和知识的迁移能力等.

【对点训练5】(2018全国1,理20)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付

用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20

件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都

为p(0<p<l),且各件产品是否为不合格品相互独立.

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为%)，求加)的最大值点po；

(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品似⑴中确定的外作为p的值.已知每件产

品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费

用.

①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求£(X);

②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

应用方法归纳

函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：

(1)借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等

问题；

(2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数,把研究的问题化为讨论函数的有关性质,

达到化难为易、化繁为简的目的.

二、数形结合思想

数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，在高考试题中,数形结合思想主要用

于解选择题和填空题，有直观、简单、快捷等特点;而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，图形

只是辅助手段，最终要用"数'’写出完整的解答过程.

思想方法诠释

以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)

借助形的生动性和直观性来阐述数形之间借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形

的联系，即以形作为手段，数作为目的的某些属性，即以数作为手段，形作为目的

数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维

为形象思维,有助于把握数学问题的本质

思想分类应用

应用二…利用数形结合求函数的变点—

［例1］(2020天津⑼已知函数.於)=卮晨：喏函数8(》)=/)-|依-2川依对恰有4个零点，则

女的取值范围是()

A.(-a>,-|)U(2V2,+a))

B(*)U(O,2物

C.(-OO,0)U(0,2A/2)

D.(-oo,0)U(2V2,+oo)

思维升华讨论方程的解(或函数的零点)的个数一般可构造两个函数，转化为讨论两曲线(或曲线

与直线等)的交点个数，其基本步骤是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟

悉时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，再在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象,

图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数.

【对点训练1］(2020安徽安庆二模，理12)函数/(x)=|ln让以恰有两个零点为死,且制〃2,则Xi

所在区间为()

A(0《)

CG,JD.al)

应用二…利用数形结合思想求参数的范围或解丕笠式…

【例2】(2020湖南永州二模，理9)已知函数加:)是定义在R上的奇函数，当x<0时段)=2-|x+2|.

若对任意的［-1,2］人"4)习沁成立,则实数a的取值范围是()

A.(0,2)B.(0,2)U(-oo,-6)

C.(-2,0)D.(-2,0)U(6,+oo)

思维升华在解含有参数的不等式时，由于涉及参数,往往需要讨论，导致演算过程烦琐冗长.如果题

设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会简练地得到解决.

【对点训练2】(2020北京,6)已知函数於)=2**1,则不等式兀v)>0的解集是()

A.(-l,l)B.(-<»,-l)U(l,+oo)

C.(0,l)D.(-oo,0)U(l,+oo)

应用三―数形结合思想在解析几何中的应用…一

【例31(2020山东枣庄二模,8)已知点是函数y=S尤2_2%图象上的动点，则|4加+3〃-21|的

最小值是()

A.25B.21C.20D.4

思维升华1.如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，那么就要考虑用数形结合的思想

方法来解题，即用几何法求解，比较常见的有：

(1)处•表示两点(。力),(加,〃)连线的斜率；

a-m

(2)J(a-m)2+(b-n)2表示两点(°力),(〃2,〃)[或(匕,初(”,加)]之间的距离.

2.解析几何中的一些范围及最值问题，常结合几何图形的性质，使问题得到简便快捷地解决.

【对点训练3]已知抛物线C：V=4x的焦点为F,过点F且斜率为I的直线与抛物线C交于A,B

两点，若在以线段A8为直径的圆上存在两点MN,在直线/:x+y+“=O上存在一点。，使得N

MQV=90°,则实数a的取值范围为()

A.[-13,3]BJ-3,1]

C.[-3,13]D,[-13,13]

应用方法归纳

方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：

(1)解方程或解不等式；

(2)含参数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、

区间上恒成立等知识的应用；

(3)需要转化为方程的讨论，如Illi线的位置关系等；

(4)构造方程或不等式求解问题.

第3讲分类讨论思想、转化与化归思想

一、分类讨论思想

分类讨论思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一,

尤其在解决含参数问题中发挥着重要作用，大大提高了学生的解题能力与速度.运用这种方法的

关键是将题设条件研究透，并快速找准突破点.充分利用分类讨论思想将复杂问题分解成若干题

目涉及的知识角度进行求解.解题时要注意,按主元分类的结果应求并集，按参数分类的结果要分

类给出.

思想方法诠释

1.分类讨论的思想含义

分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分类，然后

对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的结果.实质上，分类讨论

是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.

2.分类讨论的原则

(1)不重不漏;(2)标准要统一,层次要分明;(3)能不分类的要尽量避免,决不无原则地讨论.

3.分类讨论的常见类型

(1)由数学概念而引起的分类讨论;(2)由数学运算要求而引起的分类讨论;(3)由性质、定理、公

式的限制而引起的分类讨论;(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论;(5)由参数的变化而引起的

分类讨论;(6)由实际意义引起的讨论.

思想分类应用

应用工.…由数学的概念*定理,…公式引起的分类述论…

【例1】(1)(2020安徽合肥二模，文10)记ME为椭圆C;^+y2=l的两个焦点，若C上存在点M

满足研•丽=0,则实数，"的取值范围是()

A.(O,|]U[2,+^)B.[|,l)U[2,+«))

C.(0,i]u(l,2]D.[1,1)U(1,2]

(2)设等比数列｛4,｝的公比为公前"项和S“>0(”=l,2,3,…)，则q的取值范围是.

思维升华1.在中学数学中，一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，基本不等式，等

比数列的求和公式等在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的限制条件下才成立，应根据题

目条件确定是否进行分类讨论.

2.有些分类讨论的问题是由运算的需要引发的.比如除以一个数时，这个数能否为零的讨论;解方

程及不等式时，两边同乘一个数,这个数是零、是正数还是负数的讨论;二次方程运算中对两根大

小的讨论;差值比较中的差的正负的讨论;有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等.

【对点训练1](1)“后0”是“函数./(x)=|(ax-l)x|在区间(0,+8)上单调递增”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

(2)(2020广东茂名一模，理12)已知函数人工户无1[：；；['：-l'(aWR),若函数/x)有四个零点，则

a的取值范围是()

A.(-oo,0)B.(e,+oo)

C.(4,+oo)D.(4,e2)

应用二―由参数引起的分一类讨论—

[例2]设函数/)=13+4)+炉.若1x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于1号

思维升华含有参数的分类讨论问题主要包括：(1)含有参数的不等式的求解;(2)含有参数的方程的

求解;(3)函数解析式中含参数的最值与单调性问题;(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等.

【对点训练2】(2020山东潍坊临胸模拟一,22)已知函数於)=Mnx-x+^^eR).

(1)讨论_Ax)的单调性；

⑵略

应用三…曲图形位置或形状引起的分类讨论―

【例3］设长出为椭圆1+1=1的两个焦点，点P为椭圆上一点.已知产,BE是一个直角三角

94

形的三个顶点，且|所|>|「川，则蜀的值为.

思维升华圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论,求圆锥曲线的方程时，常按焦点

的位置不同来分类讨论.

【对点训练31设圆锥曲线C的两个焦点分别为若曲线C上存在点尸满足|PFi|；

|PF2|=4：3；2,则曲线C的离心率等于.

应用方法归纳

1.简化分类讨论的策略：(1)消去参数;(2)整体换元;(3)变更主元;(4)考虑反面;(5)整体变形;(6)数形

结合;(7)缩小范围等.

2.分类讨论遵循的原则:不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次,不越级讨论.

二、转化化归思想

转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转

化，进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题

通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.

思想方法诠释

1.转化与化归思想的含义

转化与化归的思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段将问题通过变换使之

转化，进而得到解决的一种思想方法.

2.转化与化归的原则

⑴熟悉化原则;(2)简单化原则;(3)直观化原则;(4)正难则反原则;(5)等价性原则.

3.常见的转化与化归的方法

(1)直接转化法;(2)换元法;(3)数形结合法;(4)构造法;(5)坐标法;(6)类比法;(7)特殊化方法;(8)等价

问题法;(9)补集法;(10)参数法.

思想分类应用

应用工…特殊与二般化…

【例1】⑴白总当其中e为自然常数)的大小关系是()

loZbJo

e4e5e6

A.——<--<——

162536

e，e，

晦＜3短

⑵(2020河北武邑中学三模,16)已知实数”,"c,d满足啜=3=1,其中e是自然对数的底数，那

Dd-k

么(a-c)2+(b-(/)2的最小值为.

思维升华1.当问题难以入手时，应先对特殊情形进行观察、分析，发现问题中特殊的数量或关系,

再推广到一般情形，以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡，这就是特殊化的化归策

略.

2.数学题目有的具有一般性，有的具有特殊性,解题时，有时需要把一般问题化归为特殊问题，有时

需要把特殊问题化归为一般问题.

【对点训练1】(2020湖南长郡中学四模,11)若0令＜1,则誓,手，昼的大小关系是()

2

Ax+l、ln3+l、x+1

A.-5->---->--

ex3ex

口x2+lx+1ln3+l

「ln3+lx+1x2+l

C-k>F>h

In3+1xz+lx+1

*3＞五＞『

应用二.…命题等价转化…

[例2](2020上海考前压轴卷,11)已知a,b,2c是平面内三个单位向量，若a_Lb,则

|a+4c|+213a+2b-c|的最小值是.

思维升华本例题充分体现了命题等价转化的重要性，首先将条件”三个向量都是单位向量及a_L

b”,等价转化为“2c=e及a=(l,0),b=(0』)”,这样就达到了变陌生为熟悉的目的;其次将“|a+2e|”等

价转化为“|2a+e|”,为求最值创造了有利条件同时也简化了运算;然后将“两向量模的和的最值”等

价转化为“两根式和的最值''，最后根据两根式和的几何意义，将问题等价转化为两点的距离.

[对点训练2】⑴已知在(-8,1]上单调递减的函数段)=/2x+1，且对任意的心,也G6+1],总有

依为)力也)|W2,则实数t的取值范围为()

A.[-V2,V2]B，L1,V2]

C.[2,31D.[l,2]

(2)(2020河北武邑中学三模,5)若数列｛小｝的前〃项和为S“,且ai=1,a2=2,(S„+1)(S„+2+1)=(Sn+1+

1产,则S“=()

C.2n-1D.2,H+1

应用三.…常量与变量的转化.…

【例3】已知函数/(x)=2+3"l,g(x)=/3-ar-5淇中八x)是/U)的导函数.对满足-1WaWl的一

切a的值，都有g(x)<0,则实数x的取值范围为.

思维升华在处理多变量的数学问题中,在常量(或参数)在某一范围取值的前提下求变量x的范围

时，经常进行常量与变量之间的转化，即可以选取其中的参数，将其看做是变量，而把变量看做是常

量,从而达到简化运算的目的.

【对点训练3]设火x)是定义在R上的增函数，若川-6-/)0(2-4)对任意“e[-11]恒成立，则x

的取值范围为.

应用四.…函.数、…方程,…丕等式之间的转化.…

【例4】已知不等式对于xG[l,2],yG[2,3]恒成立，则a的取值范围是()

A.[l,+oo)B.[-l,4)

C.[-l,+oo)D.[-l,6]

思维升华函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系，解决方程、不等式的问题需要

函数帮助,解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式之间的转

化可以将问题化繁为简，常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题;将不等式证明问题转

化为函数的单调性与最值问题;将方程的求解问题转化为函数的零点问题、两个函数图象的交

点问题等.

【对点训练4】(1)(2020山东荷泽一模,8)已知大于1的三个实数“力,c满足(lga)2-21g〃lgb+lg

bigc=0,则a,h,c的大小关系不可能是()

A.a=b=cB.a>b>c

C.b>c>aD.b>a>c

(2)己知函数府)=3网若存在实数y[-1,+8),使得对任意的工引1切,加©工且心1,都有

/x+f)W3ex,求m的最大值.

应用五…一正难则反的转化.…

【例5]若对于任意店[1,2],函数g(x)=/+0+2)/办在区间”,3)上总不为单调函数,则实数m

的取值范围是.

思维升华否定性命题，常要利用正反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案的补集即可.一般地,

题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单.因此，间接法多用于含

有“至多，，“至少，，及否定性命题情形的问题中.

【对点训练5】安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目,每人只参加一个项目，每个项目都

有人参加.若甲、乙2人不能参加同一个项目,则不同的安排方案的种数为.(用数字

作答)

应用方法归纳

1.在应用化归与转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式，它可以在数与数、形

与形、数与形之间进行转换.

2.转化与化归思想在解题中的应用

(1)在三角函数和解三角形中,主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)，角度的转化，函

数的转化，通过正弦、余弦定理实现边角关系的相互转化.

(2)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言

与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化.

(3)在解决数列问题时,常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解.

（4）在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值（最值）、切线问题，转化为由其导函数

八x）构成的方程、不等式问题求解.

第4讲从审题中寻找解题思路

审题亦即提取有效信息，挖掘隐含信息,提炼关键信息.条件是题目的“泉眼为考核学生的观察、

理解、分析、推理等能力,高考试题往往变换概念的表述形式，精简试题从条件到结论的中间环

节,透析试题的条件之间的联系，隐去问题涉及的数学思想及背景.如何科学地审题是同学们最需

要掌握的基本技能.事实上，审题能力的培养并未引起应有的重视，很多同学热衷于题型的总结与

解题方法和技巧的训练,把数学学习等同于解题训练，一味地机械模仿导致应变能力不强,遇到陌

生的问题往往束手无策,致使解题失误或陷入误区.

审题与解题的关系

审题和解题是解答数学试题的重要两步，其中，审题是解题的前提，详细全面地审题为顺利解题扫

除大部分障碍，正确把握数学试题中的已知条件和所求，从题目关键词语中挖掘隐含条件、启发

解题思路,最短时间内理解条件和结论所包含的详细信息是保障解题效率与解题质量的必需条

件.解题作为审题活动的升华，是全面解答数学试题的核心.

怎样算是审清题意

怎样才算审清题意了呢?主要是弄清题目已经告诉了什么信息，需要我们去做什么，从题目本身获

取“如何解这道题”的逻辑起点、推理目标以及沟通起点与目标之间联系的更多信息.试题的条

件和结论是两个信息源，为了从中获取尽可能多的信息，我们要字斟句酌地分析条件、分析结论、

分析条件与结论之间的关系，常常还要辅以图形或记号，以求手段与目标的统一.

审题典例示范

一'审清条件信息

审视条件一般包括“挖掘隐含信息、洞察结构特征、洞悉图形趋势、研读图表数据”等几方面.

审题时要避开过去熟悉的同类题目的影响，看似相同，就按过去同类型题目进行求解，要审出同还

是不同，不能似是而非.

【例1】（1）（2019广