《金版教程》数学·选修4-5S

第一章不等关系与基本不等式

1不等式的性质

I.1实数大小的比较

1.2不等式的性质

卜课前自主预习

1.实数大小的比较

(1)实数与数轴上的点是点一一对应的,在数轴上不同的两点中，右边的点表

示的实数比左边的点表示的实数迎大.

(2)两实数大小与运算间的关系

①。>boa-b(Q>0；a=boa-Z?=0；a<Z?<=>04^-b<0.

②当〃>0,力>0时，*>1>b;*=\oa=b;.vv

③当avO,*0时，女必；

*=loa=b;$1=奥2.

2.不等式的性质

性质1对称性a>bob<a

性质2传递性如果力，b>c,那么N>c

可加性如果。>力，那么〃+c>b+c

性质3

推论如果c>d,那么IQa+c>b+d

如果。>力，c>0,那么口次>反;

可乘性

如果c<0,那么Uacvbc

推论2如果那么，>从

性质4

推论3如果。>6>0,那么〃“如>〃(/?£N.)

推论4如果那么缶鱼抽5&N+)

El自诊小测

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)在一个不等式的两边同乘一个非零实数，不等式仍然成立.()

(2)同向不等式具有可加性和可乘性.()

(3)若两个数的比值大于1,则分子上的数一定大于分母上的数.()

(4)若。>c且。+b+0,则〃>0,c<0.()

答案(1)X

(2)X

(3)X

(4)V因为〃>b,所以2Q>/?+C,即34>〃+6+。=().所以。>0.又因

为cv〃，c<b,所以3cv〃+b+c=0,即cvO.

2.做一做

(1)若。>乩则下列结论一定成立的是()

A.~<1B.7<0

ab

C.2-a>\-bD.(a-b)c4b

答案D

解析因为。所以〃-b>o.又/>(),所以

(2)比较大小：f+33x(其中XWR).

答案>

9333

---2-O即+3

解析(x2+3)-3x=-3x+3=Lx-+3-4=-244X2

(3)已知-2v〃v-1,-2<b<4,则的取值范围是

答案(-6,1)

解析因为—2v〃v—1,—2<Z?<4,所以—4<—/?<2,所以—6v〃—Z?v1.

卜课堂互动探究

探究1利用求差法比较大小

114

例1已知占）均为正数，igw=-+-,〃=彳7试比较"7和〃的大小.

14_x+y4_G+y）2_4xy_（x-y）2

mn+

解~~xy~x+y~xy~x+y~xy（x+y）~xy（x+y），

-,x,丁均为正数，「.QO,y>0,xy>0,x+y>0,（x-y）2>0.

:.m-n^Q,即m2〃（当工=y时,等号成立）.

拓展提升

求差比较法的四个步骤

把所要比较的一致（式）作一）

遹过因式分解、提公因式、配方等方法，将,

“差”转化为“积”.

［定号）—［判断所得差的符号）

［结1）~~〔根据差的符号，一断两数（式）的大小］

【跟踪训练1】已知a,beR,x=/b,y=crba,试比较x与y的大小.

解x-y=a>-b-足b+a=辟伍一。）+。一力=（。一人）（苏+1）•

当。>6时，x-y>0,所以x>y；

当〃二8时，x-y=O,所以x=y；

当avZ?时，x-y<0,所以xvy.

探究2利用求商法比较大小

例2已知。>6>c>0,比较/啥它，与〃"+%c+。•T+力的大小.

解由a>b>c>0,得谈於y>0,小时

合啮喈'_邛对甘"_”-b

ab+cbc+a(f+b~"铲〃"'一"

=旷

'.'a>b>0,「.£>1,a-b>0,即>1.

同理份、,份；

/a2b心c

・・•.+c,+S>1，即通冽y>

拓展提升利用求商法比较两个式子的大小时，作商之后的变形要向着

有利于判断商与1的大小关系的方向变形，这是最重要的一步.

【跟踪训练2】设a,b£R+1且试比较〃阴与i〃的大小.

cflbh_dl-b(d\~b

解/=正=⑸-

,.'a,8€R.,且a乎b,

a-b

©>1.

Z、。-b

当〃vb时，0<^<1,a-b<0,.,寓>1.

综上可知〃俨,海".

探究3利用不等式的性质判断命题的真假

例3下列命题为真命题的是_______(填序号).

①若。>力，贝3；②若4>匕>0，C>d>0,则/一夜>从一江；

③若且a,“R,则(9v(3;④若［W-7T,y,则l-siM>0.

答案②③

解析因为IgavO,所以①不正确；因为。>b>0,c>d>0,所以/>/,

y[c>y[d>0,所以-夜>-4，故/一夜>庐一正，所以②正确；因为函数y

二(0是减函数，a>b,所以(J)d，故③正确;当a=fRt,l-sina=O,故

④不正确.

拓展提升

判断与不等式有关的命题真假的基本方法

(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，

找到与命题相近的性质，然后进行推理判断.

(2)利用指数函数、对数函数、羯函数的单调性：当直接利用不等式性质不能

比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幕函数的单调性等进行判断.

(3)取特殊值：即给要比较的几个式子中涉及的变量取一些特殊值进行比较、

判断.但要注意，说明一个命题为假时，可以用特殊值法，而说明一个命题为真

时，只能用所学知识进行严格证明，不能用特殊值法.

【跟踪训练3】(1)已知％"c满足cvbv凡且〃cvO,则下列选项不一

定成立的是()

c.叁《

(2)已知a,b,c,d为实数，且。>乩则是aa-c>b-d,f的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案(1)C(2)B

cbb-ci

解析（1）因为cvbva,且acvO,所以cvO,a>0,于是~^>0,

ci—c__b2a2

—<0,但从与片的关系不确定，故"V"不一定成立.

（2）因为c>乩所以一1>一。所以当。>力时能够推出。一d>b-c,但不一定

有。一c>b-d,例如：a=3,b=2,c=4,4=1.但当0乩且。一c>人一d时，

必有。>乩所以是必要不充分条件.

探究4利用不等式的性质求取值范围

例4已知一5《。<夕在子求丁，寸的取值范围.

&.兀兀71a71it6〜R

解・一产0〈好，-产〈不-4<2^4'

两式相加得-

一71。/71B7171a.-P兀

又一1<2可•,•一尸-2<不~2<~r<2'

a-Pna-p

又a〈B、•二2v6•,一]&-

a+3（7i7i\a-B「兀、

即言的取值范围为卜松斜号的取值范围为卜子0）

拓展提升利用不等式的性质求代数式的取值范围时，应严格依据不等式的

性质和运算法则进行运算，若是由两个变量的取值范围求其差的取值范围，则一

定不能直接作差，而要转化为同向不等式后求和.此外，还要注意取值范围中等

号能否取到.

【跟踪训练4]已知1—+辰5,-1Wa-弋3,则3。-2b的取值范围

是（）

A.r-6,14]B.f-2,14]

C.[-6,10]D.[-2,10]

答案D

1

-2一

[m+n=3,

解析令3。一2Z;=m(a+b)+n(a-b),贝1乂5

m-n=-2,-一

才

因为+—lW〃-bW3,

5

-

2a

故一2W3〃—2hW10.

探究5利用不等式的性质证明简单不等式

例5已知a>Z?>0,c<d<0,求证：<,

a-cb-a

证明因为cV/vO,所以一0-冷0,又a>Z?>0,所以。-。>/?一〃>0,

所以0<1~;<廿二，再由0<*出所以

a-cb-aa-cb-a

拓展提升

利用不等式性质证明简单不等式的实质与技巧

(1)实质：就是根据性质把不等式进行变形，要注意不等式性质成立的条件.

(2)技巧：若不能直接由不等式性质得到，可先分析需要证明的不等式的结

构.利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件.

【跟踪训练5]⑴已知c>公0.求证：牛>号；

-ic十

dcCl+Cc

(2)已知AO,b>0,c>0,t/>0,且直2求证：

证明⑴因为〃》>0,所以0<《吊,

因为所以。<若：所以>［一%。，

所以％W所以%悬十!,

a+cb+d

即吃7y又出c，b,d均大于0,

a+cb+dacbd

所以RO,M>o,所以丁7m

(2)因为。>0,b>0,c>0,上0且齐吃，所以。力be,所以ad+cd>bc+cd,即

a+cc

d(a+c)>c(b+d)t所以齐了［

晦即

i.求差法比较大小的一般步骤3.不等式的性质是不等式变形的依据,每一步变形都要

(D作差:有的可直接作差•有的需转化后才可作差；严格依照性质进行,千万不可想当然.

(2)变形：目的是判断度的符号,通常进行通分、分解因4.求代数式的取值危围是不等式性质应用的一个雨要方

式、配方、分子(分母)有理化等变形,有时还要根据字面,严格依据不等式的性质和运算法则进行运算是解

母的取值柩围进行讨论以判断差的符号；

答此类问题的保证.

(3)定号：就是确定差是大于0,等于0•还是小于0(不

5.利用不等式的性质证明不等式的注意点

确定的要分情况讨论》；

(D注意观察欲证结论与已知条件之间的联系，选择相

(4)得结论.

应的不等式性质进行证明；

概括为“三步一结轮”•这里的“定号”是目的「变形”是

注意不等式性质的成立条件.在进行变形时•要做

关键.(2)

到等价变形.

2.求商法比较大小

当用求差法不易变形时，可以考虑用求商法比较大小.

卜随堂达标自测

1.若加=/-1,«=2(x+1)2-4(X+1)+1,则相与〃的大小关系是()

A.m<nB.m>n

C.m>nD.m<n

答案D

解析〃一"2=f>0,

2.若1<〃<4,lvb<2,贝联的取值范围为()

A.(1,2)B.&2)

c.(2,4)D.G，4J

答案D

解析•・・l<bv2,4}

3.对于实数〃，b,c,给出下列命题：

①若a>b,则a(r>b(r;②若a<b<0,则a2>ab>b1;

③若公人则决炉；④若4a<0,贝哈

其中正确命题的序号是________.

答案②④

解析对于①，当才=0时，讹2二儿2,①错误；由〃<反0,得一心—b>o,

2222

.'.a>ab>bt②正确；对于③，当。=2,b=-3W,a<^,③错误；对于④，!

ba2-b2

一片工亡仇④正确•

4.已知一2v〃v-1,-3<b<-2,则的取值范围是______,a2+

庐的取值范围是________.

答案(0,2)(5,13)

解析因为-3<b<-2,所以2v-b<3,所以0<〃-b<2.

因为1<«2<4,4</?2<9,所以5</+b2Vl3.

a。+1

5.已知。>b>0,比较石与二Jj■的大小.

aa+1a(/?+1)-h(4+1)a-h

解

b~b+\~b(/?+1)-b(Z?+1)

'.'a>b>0,.,.a-b>0,b(b+1)>0.

a-beaci4-1

%(b+1)>°,•立〉KTT

搂后课时精练

A级：基础巩固练

一、选择题

1.已知数轴上两点4,6对应的实数分别为x,y,若xovO,贝帆与lyl对

应的点P,。的位置关系是（）

A.P在。的左边B.。在。的右边

C.P,。两点重合D.不能确定

答案B

解析・・“〈尸0,.■小|>|），|>0.故尸在。的右边.

2.若凡〃为实数，贝IJ"（）<"<「'是或加卜的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析对于0<必<1,如果〃>0,贝〃耳成立，如果〃<0,贝1"<0,人成

立，因此"0<岫<1”是“舄或尾”的充分条件；反之，若。=-1,b=2,结论

“舄或尾”成立，但条件0<〃*1不成立，因此不是“痣或吗”

的必要条件.即“0<他<1"是“。<|或冷卜的充分而不必要条件.

3.若-1VQV夕V1,则下列各式恒成立的是（）

A.-2<a-^<0B.-2<a-P<-1

C.-l<a-^<0D.-\<a-p<1

答案A

解析因为一Ivav夕vl,所以一Ivavl,一1<一.又a<0,所以一2

va-0Vo.

4.设曲4,且/M=loga(d+1),鹿=loga(a-1),p=log«(2^),5JIJtn,明〃的

大小关系为()

A.n>m>pB.m>p>n

C.m>n>pD.p>m>n

答案B

解析因为。>1,所以。2+1一2。二(〃-l)2>0,即，+1>2々，又2a>。一1,

所以由对数函数的单调性可知I。劭(/+l)>k)眼(2a)>k)g，4-1),

即心故选B.

5.已知凡b,c€(0,+oo),若寻<竟〈£，则()

A.c<a<bB.b<c<a

C.a<b<cD.c<b<a

答案A

cabcabu+b+c

解析由一-<T—<——,可得--+1<7—+1<——+1,即-----<

a+bb+cc+a1a+bb+cc+。a+b

a+b+ca+b+c

--<,又a,bc€(0,+8),所以a+Z?>Z?+c>c+a.

D+c--c+at

由4+方>/?+€>可得々>0；由。+c>c+a可得b>a,

于是有c<a<b.

二、填空题

6.有以下四个条件：

①">0>〃；®0>a>h;®a>0>b',®a>b>0.

其中能使卜/成立的有.

答案①②④

解析①因为。>0>凡所以5°弓；

②因为0>”>乩所以另<°；

③因为a>O>b,所以!>。m；

④因为a>b>0,所以"*>0.

7.设汇二。2/+5,y=2ab-a2-4a,若x>y,则实数力应满足的条件为

答案或

解析•・”>»

.\x-y=crb2+5-2ab+G2+4a=(ab-1)2+(a+2)2>0,

..ab—1WO或Q+2W0,即ab#1或〃W—2.

Xx

8.已知lWlg(%y)W4,-1W2,贝Ulgy的取值范围是______.

答案[-1,5]

x

解析由iWlg(xy)这4,-iWlg得

14lgx+lgy<4,-1Wlgx-lgy42,

13f

而1g^-=21gx-1gy=^(Igx+1gy)+^(lgx-1gy),所以-iWlg—<5.

三、解答题

9.已知。>0且证明：""〃+1>。巾+/(用，〃WN)

证明""〃+1-1)+1-〃〃=(〃"-1)(4J1),

*.*w,〃€N*,

当时，当>1,0n>1,所以”一1)("-1)>0,

当o<d<l时，03”<1,

所以"-1)(/-1)>0,

综上，(^-1)(^-1)>0,即心+"+

10.设兀0=加+以，且1(A-1)W2,24犬1)<4,求犬-2)的取值范围.

解设1-2)=袱-1)+确1),则44-2。="(。-历+〃3+。)，

即4。-2b=(川+n)a-(tn-n)b.

加+〃=4,=3,

于是°解得,•・次-2)=浜-1)+次1).

tn-n=2,[〃=1.

而F-DW2,291)W4,「.54顼-l)+y(DW10.

故5(/(—2)W10.

故4-2)的取值范围是[5,10].

B级：能力提升练

1.已知6£(0,2且a=2sii?e+sin2/Z?=sinO+cosJ,试比较a与人的大

小.

解因为夕£(0,H所以a=2sin2g+sin2G0,b=sin。+cos<9>0,

a2sin2^+sin2^2sin。(sinJ+cosO)

所以万二sin"cos。"sin"cos。"2sinZ?,

因为9£(0,fy所以sine40,*2sin6>e(0,1),即0<表1,故必有

2.已知奇函数兀v)在(-8,+8)内是减少的，a,B,>£R,且a+QO,£+

y>0,y+a>0,试讨论加)+欢)+用)的值与0的关系.

解,•*a+,e,•oO—p.

又函数«r)在(-8,+8)内是减少的，.・小Q)勺(一份.

・•・函数段)在(-8,+8)内是奇函数，.,次一汽)=一购,

・•次x）v一购.①

同理，由4+户0,得购＜-人）②

由y+a＞0,得贝）0＜-刎.③

由①@③，得加）+期）+的）＜-伏。）+加）+乃川,

・•・加）+财+四）＜0.

第一章不等关系与基本不等式

2含有绝对值的不等式

2.1绝对值不等式

卜课前自主预习

1.绝对值的几何意义

设。是任意一个实数,在数轴上⑷表示口实数a对应的点与G2原点O的距离,

卜-〃|的几何意义是因实数x对应的点与由实数。对应的点之间的距离,以+。|的

几何意义是退实数工对应的点与通实数二上对应的点之间的距离.

2.定理

对任意实数。和乩有|。+加皿生土囱,当且仅当酗浊时，等号成立.

(1)定理揭示了任意两个实数和的绝对值与绝对值和之间的关系.

(2)定理中出匕是任意的实数，以-8代替乩得|。-勿力。|+步以。-匕代

替实数明得⑷-网-批因此可得同-网士加W间+IH

(3)定理在向量中也适用,即⑷-制W|〃±8|W|a|+\b\.

□自诊小测

1.判一判(正确的打“「'，错误的打“X”)

(1)|“+加＜|〃|+|例中，等号成立的条件是凡b同号.()

(2)|〃-b\=⑷+|可成立的条件是HWO.()

(3)若a,—R,则|a+b|-2|a|W|a—纵()

(4)若则同＜步|+1.()

⑸若因＜2,|y|＞3,贝IJ；＜|.()

答案(DX

Q”

(3)V\a十b\=\(b-a)+2a|W步-a\+2\a\=\a-b\+2\a\

.\\a+b\-2\a\^\a-b\.

(4)V\>\a-b\^\a\-\b\,.•.⑷<网+1.

(5)J的3,.,.1<g,又・・,因<2,.喟<1.

2.做一做

⑴设必>0,下面四个不等式：

®\a+b\>\a\；®\a+b\<\b\;®\a+b\<\a-b\；@\a+b\>\a\-\b\.

其中正确的是()

A.①②B.①③

C.①④D.②④

答案C

解析・・・的>0,「.％6同号・・・・|〃+加=⑷+步|>闷一|夙.••①④正确.

(2)函数7U)=|3-x|+卜-71的最小值等于()

A.10B.3

C.7D.4

答案D

解析|3-X|+|X-7|&|(3-X)+(X-7)|=4,所以函数的最小值为4.

\a+b\

(3)不等式由向<1成立的充要条件是()

A.a,人都不为零B.ab<0

C.必为非负数D.出方中至少有一个不为零

答案B

解析\a\+\b\+"〈⑷+依〜，+从+2ab<cr+tr+

2\ab\^ab<\ab\^ab<0.

卜课堂互动探究

探究1利用绝对值不等式求函数的最值

例1⑴求函数於)二叱1|+比+1|的最小值;

(2)求函数火x)=|x-11-仅+11的值域.

解解法一：(1)因为|%->+仅+1|=|1-%|+枕+1]》|1-/+%+1|=2,

当且仅当(l-x)(l+x)20,即-IWxWl时取等号,

所以当-IWXWI时，函数/U)=|x-l|+|x+l|取得最小值2.

(2)因为||x-1|-仅+1)-(x+1)|=2,

当且仅当(x—l)(x+l)2O.

即或1《一1时取等号，即一2《四一1|一|%+1|於2,

当X21时函数取得最小值-2,当xW-l时，函数取得最大值2,

当-14Vl时，一2<k-1|-以+1|<2,故函数段)的值域为[-2,2].

-2x(x<—1),

解法二：(1)函数yu)=12(,其图像如下：

231),

由图像可知，当-1«1时，段)min=2.

(2)因为/)=J-2x(-14W1),其图像如下:

[-2(x>1),

由图像可知，/)的值域为[-2,2].

拓展提升求危)=以+。|+W+例和段)=|x+〃|-|二+"的最值的三种方

法：

(1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解.

(2)利用绝对值三角不等式进行“放缩”求解，但要注意两数的“差”还是

“和”的绝对值为定值.

(3)利用绝对值的几何意义.

【跟踪训练1]⑴若危)="川+|57|的最小值为3,则实数t的值是

(2)求函数y=\x-3\-\x+1|的最大值和最小值.

答案(1)2或8(2)见解析

解析(1)由凡r)二年一力+|5-川2|。一。+(5-外|=|5-4=3,所以，二2或，

(2)解法一：氏_3|一b+1|《a_3)_。+1)|=4,「._4W仅-31-仅+1IW4.

「.ymax=4,'min=—4.

解法二：把函数看作分段函数.

[4,x<-l,

y=\x-3\-\x+11=>2-,-1Wx<3,-4WyW4.

[-4,x>3.

■.ymax=4,ymin=­4.

探究2利用绝对值不等式证明不等式

EC+、T1，一/1\a\\b\

例2求证：2|fl|

证明①若同

、\a+b\\a-b\\a+b\\a-b\\a+b\\a-b\1

2|o|~\a+b+a-b\^\a+b\+\a-b\~1]

\a+b\+\a-b\

••----1---V1-----1-------1---V一-----1--------1---।----1---V--2-------

'|a+^||a|-|Zi|,\a-bC\a\-\b\1"\a+b\\a-bC\a\-\b[

••・左边中

右边.

②若⑷〈网，左边>0,右边<0,•.•原不等式显然成立.

③若⑷二1臼，原不等式显然成立.

综上可知原不等式成立.

拓展提升含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等

式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝

对值不等式I⑷-同阵⑷+网，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性

较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也

成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明.

1-ab

【跟踪训练2】(1)已知：⑷<1,步|<1,且。#乩求证:—T>1；

ci—u

££

(2)设机，£>0,\y-b\<^,⑷<相，求证：|x)?-ab\<mc.

证明-ab^-\a-Z?|2=1+crb1-a2-b2=(a2-l)(b2-1).

又・・,|a|vl,<|vl,.,.a2-l<0,b1-l<0.

.,.(a2-\)Qr-l)>0,BP:11-ab^-\a-b^>0.

\\-Gb\

.,.|1-ab\>\a-b\,：.----rr>l

1。-。1

(2)|xy-ab\=\xy-ay+ay-ab\^\x)j-ay\+\ay-ab\--a)\+\a(y-b)\-|y||x

£g

-a\+\a\\y-Z?|<wx-+m喧=me.

\xy-ab\<me.

探究3绝对值不等式的综合应用

例3设函数/)=彳+十+\x-a\(a>0).

⑴证明：段)22;

(2)若<3)<5,求。的取值范围.

解⑴证明：由。>0,有段)=x+：+以一32x+十一[x-a)=：+a22,

当且仅当。=1时等号成立.所以«r)22.

1

(2次3)=3+-+|3-4

1_5+旧

当。>3时，43)=a+-,由/3)<5,得33；.

11+小

当0«<3时，加)=6-〃+7由13)<5,得宣

综上，"的取值范围是(上乎，话叼.

拓展提升

绝对值不等式综合应用的解题策略

含绝对值的综合问题，综合性强，所用到的知识多，在解题时，要注意应用

绝对值不等式的性质、推论及已知条件，还要注意配方等等价变形，同时在应用

绝对值不等式放缩性质求最值时，还要注意等号成立的条件.

【跟踪训练3]设段)=加+儿+c,当WW1时，恒有|/(刈<1,求证:|A2)|W7.

证明因为RWl时，有心）|W1,所以火0）|=同41,l/Ugl,火-DIWl,

又/O)=a+b+c,j[-1)=a-h+c

所以|/(2)|=|4〃+2b+c\=|3(。+/?+(?)+(«-/?+c)-3c|

=|3AD+A-D-Wl<3|/(1)|+IA-DI+3的)|W3+1+3=7.所以胆)|<7.

।闻辘卿

1.求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强,直接求值,其主要方法有：

1。1+|6|的最大值比较困难，可采用|。+川，以一6|的（D借助绝对值的定义，即零点分段;

最值，及ab》O时，|a|+|6|=a+6|,a6Vo时，|a|+（2）利用绝对值的几何意义；

网=1。一6|,达到目的.（3）利用绝对值不等式定理.

2.求y=|N+m|+|i+”|和y=|z+m|-|z+n|的最

卜随堂达标自测

1.对于⑷-|b|W|〃+b|W|a|+0],下列结论正确的是（）

A.当mb异号时，左边等号成立

B.当。，b同号时，右边等号成立

C.当。+6=0时，两边等号均成立

D.当。+6>0时，右边等号成立；当a+bvO时，左边等号成立

答案B

解析当出b异号且⑷>1勿时左边等号才成立，A不正确；显然B正确；当

〃+b=0时，右边等号不成立，C不正确；D显然不正确.

2.函数段）=卜+2（）19|-”2018|的最大值为（）

A.-IB.1

C.4037D.-4037

答案C

解析V/x)=|A+20191-lr-2018|^|x+2019-X+2018|=4037,二.函数人幻

=仅+20191-a-20181的最大值为4037,故选C.

3.若仅-。|<儿则下列不等式一定成立的是（）

A.\x-y\<2hB.\x-y\<2k

C.\x-y\<h+kD.|x->?|<\h-k\

答案c

解析\x-y\=\（x-a）+（a-y）\^\x-a\+\a-y\<h+k.

4.对于实数x,y,若"1|W1,|），-2区1,则仇-2），+1］的最大值为.

答案5

解析,**\x-2y+11=|（x-1）-2（y—l）|^|x—1|+2\（y—2）+l|<|x—1|+2|y—2|

+2,再由仅伊-2|V1,故k-2y+l|的最大值为5.

5.已知函数凡r）二行，，实数。，b满足^,从，

求证：的）-型）|〈|。-夙

证明（/（。）一式份|=M+片一71+扶1

_斤一序||属_研斤一店|

+々2+3+J2〈亚+业―⑷+1。「

|〃2-加||。2_研

因为同+\b\^\a+b\,所以1/S）-八〃）|<方丽〈而疝二I。一切，

即演）一型）|v|"b|.

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一、选择题

1.若两实数占y满足外<0,那么总有（）

A.\x+y\<\x-y\B.\x+y\>\x-y\

c.”）忖川一lylD.|x+j|<|y|-|x|

答案A

解析当孙<0时，lr+yl=IW-|yll,k-jl=W+|yL因为园+>>1仅1一例1,所

以W+y|v|x-y|.

2.若不等式仅+1|+仅-3|2|加-1|恒成立，则〃2的取值范围为（）

A.[-3,5]B.[3,5]

C.[-5,3]D.[-5,-3]

答案A

解析卜+1|+k-3|表示数轴上的x对应点到-1和3对应点的距离之和，它

的最小值等于4,由不等式卜+1|+k-3|2|〃.1|恒成立知，|加-1|W4,所以加W

[-3,5].故选A.

3.已知。为实数，贝IJ“同21”是“关于x的绝对值不等式以|+|%-1|<〃有

解”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析由⑷21得aW-1或

因为关于x的不等式因+卜-1|三。有解，

ffn|x|+|x-l|=|x|+|l-x|>|x+1-x|=1,

所以。21.故“同21”是“关于X的绝对值不等式仇1+以-1|=。有解”的必

要不充分条件.

4.设同<1,\b\<\,则|。+例+|。-"与2的大小关系是（）

A.\a+b\+\a-b\>2B.\a+b\+\a-b\<2

C.\a+b\+\a-b\=2D.不可能比较大小

答案B

解析当(〃+b)(a-b)NO时，|〃+例+\ci-b\=|(。+b)+(〃-b)\=2\a\<2.

当(a+b)(a-b)<0时，\a-vb\+\a-b\-\(a+b)-(a-b)\=2\b\<2.

5.已知a,b,c£R,且a>0>c,则有()

A.⑷>|0|>|c|B.\ab\>\bc\

C.\a+b\>\b+c\D.\a-c\>\a-b\

答案D

解析Vtz,b,c6R,且〃>b>c,令a=2,b=1,c=-6.

/.|a|=2,|Z>|=1,|c|=6,\b\<\a\<\c\f故排除A;

又国=2,又|=6,\ab\<\bc\t故排除B;

X\a+b\=3t\b+c\=5t\a+b\<\b+c\,排除C;

而|a-c|和|a-。|分别表示实数a对应的点到实数b,c对应点的距离，

**.\a-c、|>|a一例.

二、填空题

6.已知x,y,aWR,且x-y|va,则lyl与仇|+〃的关系是______.

答案

解析*：a>\x-y\=1(-y)+川2|-y\-\x\=\y\-W,/.|y|<\x\+a.

7.若函数7U)=/+2x+2〃与g(x)=|x-l|+|x+a|有相同的最小值，则

答案2

解析解法一：《/W=(x+l)2+(2a-l)最小值为2〃-l.

g(x)N|(x-l)-(x+〃)|=|〃+1|,由题意得|。+\\=2a-\,

a+120,\a+1<0,

所以11c[或SC]

。+1=2。-1-(。+1)=2a-1,

解得。=2.

解法二：由题意得I。+1|=2。-1

两边平方得/+2。+1=4a2-4tz+1

.".3a2-6a=0

解得：。=2或。=0(不符合题意，舍去).

\a\-\b\\a\+\b\

8.已知|a|#步I,m=,n=,则in,n之间的大小关系是

\Cl—u\\Cl+u\

答案mWn

\a\-\b\

解析因为⑷-晔丘况且小闻所以由初即ZL

同+以

又|。+勿WM+瓦所以三大21,即〃21.故加

I。十1)\

三、解答题

9.设机等于⑷，I臼和1中最大的一个，当Wl>机时，求证：7+4<2.

证明・・・〃z等于⑷，网和1中最大的一个，\x\>m,

\x\>m^\a\,

M>M,

\x\>m^\b\,

_回回四比

-M+kl2WM22.

故原不等式成立.

10.设不等式仅-2|<a(a£N*)的解集为A,且|&A,也.

(1)求a的值;

(2)求函数./U)=仅+3+|x-2|的最小值.

13

-22。，解得

又因为〃WN*,所以4=1.

(2)因为|x+1|+|x-2|N|(x+1)-(x-2)|=3,

当且仅当(x+l)a-2)W0,即一时取到等号.

所以共幻的最小值为3.

B级：能力提升练

i

1.i&fix)=x-x+bi\x-a\<\,求证：|/(x)-/(a)|<2(|a|+1).

证明,.•/(X)一氏。)=x1-x-(22+a=(x-a)(x+a-1),

\f(x)-J(d)\=\(x-a)(x+a-\)\=\x-a\\x+a-l\<\x+a-1|

=|(x-a)+2a-l|^|x-6r|+\2a-11<|x-6z|+2\a\+\<2\a\+2=2(\a\+1).

(砌v2(|a|+l).

2.已知a,b,c•是实数，函数式外二加+公+仁g(x)=ax+b,当一iWxWl

时，I/WIW1,求证：

(DIcIWl;

(2)当一IWXWI时，|g(x)|W2.

证明(I；•当-1&W1时，1/U)|W1,.•.［/(())%1,即|c|〈L

(2)当。>0时，g(x)=ar+力在［-1,1］上是增加的，

.,.g(-l)Wg(x)Wg⑴.

...当一lWxWl时，-1,且|c|Wl,

・・・g(l)=a+b=/U)—cWyU)|+|c|W2,

g(-］)=-a+b=-/(-1)+-(|A-1)|+|c|)-2,/.I^(x)|^2.

当〃vO时，g(x)=ar+b在［-1,1］上是减少的，.”(一口芸⑴芸⑴.

•.•当-10W1时，I/WIW1,且|c|Wl,

・••g(-l)=-a+b=-X-l)+c^|A-l)|