《拣选15份合集》天一联考数学海南2021届高三第五次模拟考试数学卷含解析

天一联考数学海南2021届高三第五次模拟考试数学卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹

清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答

题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.下列函数中，既是偶函数又在区间（0,+?）上单调递增的是（）

A.y=GB./（x）=xsinxC./（x）=f+WD.y=

【答案】C

【解析】

【分析】

结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.

【详解】

A：y=«为非奇非偶函数，不符合题意；

B：/（同=心由为在（（）,+8）上不单调，不符合题意；

c：y=为偶函数，且在（0,+向上单调递增，符合题意；

D：y=|x+l|为非奇非偶函数，不符合题意.

故选：C.

【点睛】

本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.

2.“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中.“〃阶幻方（〃23,〃€^}*,是由前〃2

个正整数组成的一个〃阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的〃个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶

幻方”的幻和为15（如图所示）.则“5阶幻方”的幻和为（）

A.75B.65C.55D.45

【答案】B

【解析】

【分析】

计算1+2++25的和，然后除以5,得到“5阶幻方”的幻和.

【详解】

1+25

依题意“5阶幻方”的幻和为1+2++25心会，故选B.

-----------------------=-------------------=OJ

【点睛】

本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查等差数列前〃项和公式，属于基础题.

3.已知角2的顶点为坐标原点，始边与X轴的非负半轴重合，终边上有一点R-3,4),贝IJsin2a=().

【答案】B

【解析】

【分析】

根据角终边上的点坐标，求得sina,cosa,代入二倍角公式即可求得sin2a的值.

【详解】

324

/.sinla=2sinccosa=2x—x

25

故选：B

【点睛】

此题考查二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于简单题目.

4.复数4在复平面内对应的点为(2,3)*2=-2+7,则五=()

18.18.

—+—1----z

5555

【答案】B

【解析】

【分析】

Z.

求得复数4,结合复数除法运算，求得」的值.

【详解】

z._2+3,_(2+3/)(-2-/)_(2+30(-2-0-l-8z18.

易知4=2+3"则——:~~；~—=---------------------------------------1

z,—2+i(-2+«)(-2—z)5555

故选：B

【点睛】

本小题主要考查复数及其坐标的对应，考查复数的除法运算，属于基础题.

5.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（)

A,"2513

C.—D.—

342

【答案】A

【解析】

【分析】

19

模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的的值，当x=3,M=—>4,退出循环，输出结果.

【详解】

程序运行过程如下:

22

x=3M=0；X——,M--\x=,M=—

93326

一,吟上M百

636

1in1Q70

x=~9；x=3,M=y>4,退出循环，输出结果为三,

故选：A.

【点睛】

该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有判断程序框图输出结果，属于基础题目.

6.正三棱锥底面边长为3,侧棱与底面成60。角，则正三棱锥的外接球的体积为（）

16万32%

A.47rB.167rC.------D.——

33

【答案】D

【解析】

【分析】

由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积.

【详解】

如图，正三棱锥A-5CO中，”是底面ABC。的中心，则AM是正棱锥的高，是侧棱与底面所

成的角，即NABV=60。，由底面边长为3得8〃=2x述=6，

32

二AM=BMtan60°=GxG=3.

正三棱锥A-BCD外接球球心。必在AM上，设球半径为R,

则由BO?=0加2+3加2得火2=(3-《)2+(6)2,解得R=2,

,,4八34万32万

V=-7rR3=——x2=——.

333

故选：D.

【点睛】

本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系.掌握正棱锥性质是解题关键.

7.AABC中，AB=3,BC=屈，AC=4,则△ABC的面积是()

R3百

A.班D.---------C.3

2

【答案】A

【解析】

【分析】

由余弦定理求出角A,再由三角形面积公式计算即可.

【详解】

AB24-AC2-BC2

由余弦定理得:cosA=

2-AB-AC2

又4«0,万)，所以得A=?,

故AABC的面积SAC-sinA=36.

2

故选：A

【点睛】

本题主要考查了余弦定理的应用，三角形的面积公式，考查了学生的运算求解能力.

8.一个空间几何体的正视图是长为4,宽为6的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图

所示，则该几何体的体积为（）

俯视图

A.迪B.4A/3C.型D.2#）

33

【答案】B

【解析】

【分析】

由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积.

【详解】

由题意原几何体是正三棱柱，V=ix2xV3x4=4x/3.

2

故选：B.

【点睛】

本题考查三视图，考查棱柱的体积.解题关键是由三视图不愿出原几何体.

9.如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额》（单位：亿元）的折线图.则下列结论中表述

不正确的是（）

A.从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；

B.2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；

C.2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番；

D.为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次

为1，2,…，7）建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型3=99+170,根据该模型预测该地区2019

的环境基础设施投资额为256.5亿元.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项.

【详解】

对于A选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于3选项，2000-2004投资总额为

11+19+25+35+37=127亿元，小于2012年的148亿元，故描述正确.2004年的投资额为37亿，翻

两翻得到37x4=148,故描述正确.对于。选项，令f=10代入回归直线方程得99+17.5x10=274亿元,

故D选项描述不正确.所以本题选D.

【点睛】

本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于基础题.

10.在A4BC中，点D是线段BC上任意一点，2AM=AO，BM^AAB+^iAC，贝!|义+〃=（）

11

A.——B.-2C.-D.2

22

【答案】A

【解析】

【分析】

设BD=kBC，用AB,AC表示出8M，求出的值即可得出答案.

【详解】

设BD=kBC=kAC-kAB

1%

2-

〃

-一=

2-2-2-

1

A-

+〃=

_2■

故选：A

【点睛】

本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于

基础题.

I'x，+1x>0

11.已知函数/(x)=,c是奇函数，则g(/(—D)的值为()

［g(x),x<0

A.-10B.-9C.—7D.1

【答案】B

【解析】

【分析】

根据分段函数表达式，先求得了(-1)的值，然后结合了(X)的奇偶性，求得g(7(-1))的值.

【详解】

尤3+X无〉()

因为函数，(无)='一是奇函数，所以/(—1)=-/(l)=-2,

g(x),x<0

g(/(-l))=g(-2)=/(-2)=-/(2)=-10.

故选：B

【点睛】

本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值,考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力，分

析问题、解决问题的能力.

12.函数y=亍怎二在［-6,6］的图像大致为

A.JLBX

c.JL

|^4xnr

【答案】B

【解析】

【分析】

由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由/(4)的近似值即可得出结果.

【详解】

设丁=f(x)=_^_,则/(r)=..2(Z£)3__一_"二=_/(为，所以/(x)是奇函数，图象关于原点

2'+2T2r+2A2X+2r

33

成中心对称，排除选项C.又/(4)=2X4>°，排除选项D；/(6)=音9X，6。7,排除选项A,故

选B.

【点睛】

本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择.本题较易，注重了基

础知识、基本计算能力的考查.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2()分。

13.记等差数列｛4｝和也｝的前〃项和分别为S,和T“，若广=1与，则小=.

【答案】y

【解析】

【分析】

13sl+q)

结合等差数列的前〃项和公式，可得了=—1=詈，求解即可•

U13413佃+%)%

2

【详解】

由题意，兀/3(4+劭3)=13%,\=地匈=13%

22

S.3〃+5、%_13%_%_3x13+5_11

因为n+7，所以百一而一亢一]3+7一]

故答案为:弓.

【点睛】

本题考查了等差数列的前"项和公式及等差中项的应用，考查了学生的计算求解能力,属于基础题.

14.已知｛可｝是等比数歹!J,若。=(4,2),人=(仆,3),且〃〃/,,则竟/=,

a3+〃5

【答案】I

【解析】

若。=(/,2),/?=(%,3),且a〃八则3%=2%,由｛4｝是等比数列，可知公比为4=：=9.

%+。4_1_2

%+%q3*

2

故答案为

15.在区间[-6,2]内任意取一个数%,则.%恰好为非负数的概率是.

【答案】7

4

【解析】

【分析】

先分析非负数对应的区间长度，然后根据几何概型中的长度模型，即可求解出“％恰好为非负数”的概率.

【详解】

当凝是非负数时，/€[0,2],区间长度是2-0=2,

又因为[-6,2]对应的区间长度是2-(-6)=8,

所以“X。恰好为非负数”的概率是p\=；.

故答案为：—.

4

【点睛】

本题考查几何概型中的长度模型，难度较易.解答问题的关键是能判断出目标事件对应的区间长度.

16.若奇函数“X)满足/(x+2)=-/(%),g(x)为R上的单调函数，对任意实数xeR都有

g[g(x)-2*+2]=1,当%且0,1]时，/(x)=g(x),则〃电12)=,

【答案】—

【解析】

【分析】

根据/(x+2)=-可得，函数/(%)是以4为周期的函数，令g(x)—2*+2=3可求g(x)=2'-l,

从而可得/(X)=g(%)=2'-1,/(log212)=-/(2-log23)代入解析式即可求解.

【详解】

令g(x)-2、+2=后，贝！]g(x)=A+2'-2,

由g[g(x)-2，+2]=1,则g(A)=l,

所以g(@=Z+2*—2=l,解得&=1,

所以g(x)=2'—l,

由xe［O,l］时，〃x)=g(x),

所以xw［O,l］时，〃力=2'-1；

由/(%+2)=-/(力，所以/(x+4)=—/(x+2)=/(x),

所以函数/(x)是以4为周期的函数，

/(log212)=/(log23+log24)=/(log23+2)=/(log23-2),

又函数/(x)为奇函数，

所以〃1。历12)=—"2—1嗝3)=-p-M_1]=.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了换元法求函数解析式、函数的奇偶性、周期性的应用，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知圆。的极坐标方程是〃=4cos9,以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半

V2

x=—t+m

2

轴，建立平面直角坐标系，直线/的参数方程是一(7是参数)，若直线/与圆。相切，求实数相

y=与

2

的值.

【答案】m=2±2A/2

【解析】

【分析】

将圆。的极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程化为普通方程，再根据直线/与圆。相切，利用

圆心到直线的距离等于半径，即可求实数机的值.

【详解】

由。=4cos6,得夕2.40cos6,

..x:-r=4x,即圆C的方程为［x-29-j；=4,

|X=W涧，

又由匚消r,得x-j-刑=0,

直线，与圆。相切，，匕M=2

m=2-2>j2•

点

【点睛】

本题重点考查方程的互化，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离等于半径，研

究直线与圆相切.

18.(12分)在三棱柱ABC—4月£中，48=2,BC=BB1=4,AC==26，且NBCg=60°.

(1)求证：平面4?G，平面Bee4；

(2)设二面角C—AG-B的大小为。，求sin。的值.

【答案】(1)证明见解析；(2)叵,

4

【解析】

【分析】

(1)要证明平面，平面3CC4,只需证明43,平面BCG4即可;

(2)取CG的中点D,连接BD,以B为原点，以8。，BB、,84的方向分别为x,y，z轴的正方向，

建立空间直角坐标系，分别计算平面ACG4的法向量为〃与平面A8G的法向量为4。，利用夹角公式

cos(",B©=有绦计算即可.

【详解】

(1)在ABC中，AB2+BC2^20=AC2，

所以/ABC=90,即AB，8c.

因为BC=BB],AC=ABt,AB=AB,

所以

ABC^ABBt.

所以NA8B1=ZABC=90,即

又BC84=8,所以平面BCC圈.

又A6i平面ABC；,所以平面A^G_L平面BCG4.

（2）由题意知，四边形8CG4为菱形，且N8CG=60,

则BC&为正三角形,

取CG的中点D,连接BD,则

以B为原点，以80，BBX,BA的方向分别为x,y,z轴的正方向，

建立空间直角坐标系B-孙z,则

8（0,0,0）,4（0,4,0）,A（0,0,2）,C（2后-2,0）,£（26,2,01

设平面ACCI4的法向量为n=（尤,y,Z）,

且AC=（26,—2,—2）,CC,=（0,4,0）.

由产.…得[23一2y-2z=0,取〃=仅回

CC,«=0,=0,1

由四边形BCC｝B,为菱形，得BC｝±B。；

又AB_L平面3CG4,所以AB_LB|C；

又ABcBC^B,所以耳C,平面ABC；,

所以平面ABG的法向量为耳C=（26，-6,0）.

/正\n-BC2\/31

所以cosd4。=眄]=际=不

故sin6="^.

4

【点睛】

本题考查面面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角正弦值的问题，在利用向量法时，关键是点的坐标

要写准确，本题是一道中档题.

19.（12分）已知数列｛/｝满足‘工+&=2（"22）,且%=』，4,%，%成等比数列.

%+i"“-I5

1）

（1）求证：数列｛（一｝是等差数列，并求数列｛q｝的通项公式；

(2)记数列｛'｝的前n项和为S„,bn=«„«„+1S„-l,求数列他,｝的前n项和T„.

册4

/H

【答案】(1)见解析；(2)T=-~-

n8〃+4

【解析】

【分析】

【详解】

(1)因为‘工+&=2(〃*2),所以所以——+——=—,

a,，man+｝an_｝an

所以数列｛'｝是等差数列,

,1.

设数歹U｛一｝的公差为d，由可得dxo,

因为知阳，4成等比数列，所以4|。5=域，所以;;=3，所以(；24)(；+24)=(；-</『,

a\"5%”3”3”3

因为的=g，所以(5-%)(5+24)=(5-4)2,

解得d=O(舍去)或d=2,所以，=,+(〃-3)4=2〃-1,所以.=丁二.

a„为2/7-1

,.1,(1+2〃-1)2

(2)由(1x)知凡---S〃=c---------------------n,

2n-l2

〜…"2111,11、

所以2「二=~——=-(----T--7),

4(2〃—1)(2〃+1)44(2〃-1)(2〃+1)82n—\2〃+1

7

所以>3吟+d+H-----------)=-x(1------)=----

2n-\2/7+182n+\8/1+4

20.(12分)已知数列｛q｝满足4=5,a,+]+2=2a”.

(1)求数列｛凡｝的通项公式;

(2)若包=n(2为一4),求数列也｝的前“项和S”.

【答案】(1)a,=2+3x2”\(2)S„=3(n-l)x2n+,+6

【解析】

【分析】

(1)根据递推公式，用配凑法构造等比数列｛%-2｝,求其通项公式，进而求出｛对｝的通项公式;

(2)求出数列也』的通项公式，利用错位相减法求数列｛4｝的前〃项和Sn.

【详解】

解：(1)a“+2=2a,i，

.■.4-2=2(4_]-2),4—2=3

.・.{4-2}是首项为3,公比为2的等比数歹!).

所以4-2=3x2"T,二a”=2+3x2'-'.

(2)仇=(4+3x2"-4)〃=3"x2"

S„=3X(1X2'+2X22+3X23++〃X2")

25„=3X(1X22+2X23+3X24++nx2"+'

-S„=3X(2'+22+23++2"-〃X2"M一3〃X2"M

.•.S„=3(n-l)x2n+1+6.

【点睛】

本题考查了由数列的递推公式求通项公式，错位相减法求数列的前n项和的问题，属于中档题.

21.(12分)为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的

数据得到如图所示的频率分布直方图，若尺寸落在区间(亍-2sR+2s)之外，则认为该零件属“不合格”

.v«15(同一组中的数据用该组区间的中点

(1)求样本平均数的大小;

(2)若一个零件的尺寸是100cm,试判断该零件是否属于“不合格”的零件.

【答案】(1)66.5(2)属于

【解析】

【分析】

(1)利用频率分布直方图的平均数公式求解；(2)求出叵-2s,5+2$),即可判断得解.

【详解】

(1)x=35x10x0.005+45x10x0.010+55x10x0.015+65x10x0.030

+75x1Ox0.020+85x0.015+95x10x0.005=66.5

(2)元+2s=66.5+30=96.5,x—2s=66.5—30=36.5,100>96.5

所以该零件属于“不合格”的零件

【点睛】

本题主要考查频率分布图中平均数的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

22.(10分)古人云：“腹有诗书气自华.”为响应全民阅读，建设书香中国，校园读书活动的热潮正在兴起.

某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取〃名学生进行问卷调查，统计了他们一周课

外读书时间(单位：h)的数据如下：

一周课外

合

读书时间(。，2](24](46](6,8](8,10](10,12](12,14](14,16](16,18]

计

/h

频数4610121424a4634n

频率0.020.030.050.060.070.120.25P0.171

(1)根据表格中提供的数据，求P,，的值并估算一周课外读书时间的中位数.

(2)如果读书时间按(0,6],(6,12],(12,18]分组，用分层抽样的方法从〃名学生中抽取20人.

①求每层应抽取的人数；

②若从(0,6],(6,12]中抽出的学生中再随机选取2人，求这2人不在同一层的概率.

【答案】(1)”=20(),a=50,。=0.23,中位数13.2h；(2)①三层中抽取的人数分别为2,5,13；

^10

②一

21

【解析】

【分析】

4

(D根据频率分布直方表的性质，即可求得〃=万方=200,得到。=50,p=0.23,再结合中位数的

计算方法，即可求解.

(2)①由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，根据抽样比，求得在三层中抽取的人数；

②由①知，设(0,6]内被抽取的学生分别为乱孔(6,12]内被抽取的学生分别为。力,。,4。利用列举法

得到基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.

【详解】

446

(1)由题意，可得〃=——=200,所以a=0.25x200=50,p=——=0.23.

0.02200

设一周课外读书时间的中位数为x小时，

则0.17+0.23+(14-幻*0.125=0.5,解得x=13.2,

即一周课外读书时间的中位数约为13.2小时.

（2）①由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，抽样比为白，

又因为（0,6］,（6,12］,（12,18］的频数分别为20,50,130,

所以从（0,6］,（6,12］,（12,18］三层中抽取的人数分别为2,5,13.

②由①知，在（0,可，（6,12］两层中共抽取7人，设（0,6］内被抽取的学生分别为羽九（6/2］内被抽取

的学生分别为a,》,c,d,e,

若从这7人中随机抽取2人，则所有情况为盯，xa,xb,xc,xd,xe,ya,yh,

yc,yd,ye,ab,ac,ad,讹，be,bd,be,cd,ce,de,共有21种，

其中2人不在同一层的情况为xb,xc,xd,xe,ya,yb,yc,yd,ye,共有io种.

设事件M为“这2人不在同一层”，

由古典概型的概率计算公式，可得概率为P（M）=£.

【点睛】

本题主要考查了频率分布直方表的性质，中位数的求解，以及古典概型的概率计算等知识的综合应用，着

重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

天一联考数学海南2021届高三第五次模拟考试数学卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二

部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.若+的二项式展开式中二项式系数的和为32,则正整数〃的值为（）

2.已知集合A={x|/og2X<l},集合B={y|y=，则AB

A.(-oo,2)C.(0,2)

3.已知角a的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若点尸（2,-1）在角a的终边上，则

4

5

4.正三棱锥底面边长为3,侧棱与底面成60。角，则正三棱锥的外接球的体积为（）

16乃32万

A.4万B.16万C.------D.-----

33

5.已知抛物线），2=2px（〃>0）,F为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦，若|OE|=1,|MN|=8,则

OMN的面积为（）

A.2痣B.3亚C.472D.逑

2

6.已知平面向量a/满足|〃目"，旦（叵a-b）工b,则。力所夹的锐角为（）

717t7T

A.-B.—C.—D.0

643

_3

7.已知a,b,c分别为AABC内角A,B,。的对边，a=l,4csinA=3cosC,A4BC的面积为一,

2

则c=（）

A.2A/2B.4C.5D.3亚

V

8.已知正四面体的内切球体积为v,外接球的体积为V,则一=（）

A.4B.8C.9D.27

9.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果

近似看成球体）的直径（单位：，的）服从正态分布N（80,5?）,则直径在（75,90］内的概率为（）

附：若X〜,则尸（〃一b〈X,,〃+b）=0.6826,「（以一坊vX,,〃+2b）=0.9544.

A.0.6826B.0.8413C.0.8185D.0.9544

x2

10.已知双曲线工+y2=l的一条渐近线倾斜角为T，则。=（）

a6

A.3B.-V3

11.已知正项数列｛《,｝,｛々｝满足：<：_J，设c.=k，当。3+。4最小时，G的值为（）

14今

A.2B.—C.3D.4

5

12.双曲线eV—2）2=1的渐近线方程为（）

A.%±a>=0B.x±2y=0

C.\f2x±y-0D.2x±y=0

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

22

13.已知椭圆C：王•+二=1的左、右焦点分别为月，鸟，如图A8是过耳且垂直于长轴的弦，则AA8K

62

的内切圆方程是.

14.将函数f（x）=sin2x的图像向右平移;个单位，得到函数g（x）的图像，则函数y=/（x）-g（x）在

O

n

区间0,y上的值域为

15.已知数列｛a“｝满足％+2a2+3a3+...+nan=2",则an=.

16.某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、

44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知(x+1)"=%+。］(x—l)+4(x—1)~+q(x—I)3++a“(x—1)",(其中〃eN*)

Sn—£Z|+£Z->+++a“.

⑴求Sn；

2

（2）求证：当〃24时,Sn>（n-2）2"+2n.

18.（12分）如图，三棱锥P—ABC中，点。，E分别为A8,BC的中点，且平面POE_L平面ABC.

（1）求证：AC//平面POE；

⑵若PD=AC=2,PE=也,求证：平面PBC_L平面ABC.

19.（12分）己知。>0,Z?>0,c>0.

（1）求证：.一皆+应.叫4+"）；

a2+b2

（2）若abc=1,求证：a3+Z?3+c3..ah-vhc+ac.

x=2+2coscc

20.（12分）在直角坐标系xQy中，曲线G的参数方程为,°为参数），以坐标原点为

y=4+2sin«

极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为夕=4sin。.

（1）把（；的参数方程化为极坐标方程：

⑵求G与C2交点的极坐标（220,0W9<2万）.

21.（12分）下表是某公司2018年5~12月份研发费用（百万元）和产品销量（万台）的具体数据:

月份56789101112

研发费用（百万元）2361021131518

产品销量（万台）1122.563.53.54.5

（I）根据数据可知）'与x之间存在线性相关关系，求出）'与x的线性回归方程（系数精确到（）.01）；

(II)该公司制定了如下奖励制度：以Z(单位：万台)表示日销售，当Ze[0,0.13)时，不设奖；当

Ze[0.13,0.15)时，每位员工每日奖励200元；当Ze[0.15,0.16)时，每位员工每日奖励30()元；当

Ze[0.16,”)时，每位员工每日奖励400元.现已知该公司某月份日销售Z(万台)服从正态分布

N(.0.0001)(其中〃是2018年5-12月产品销售平均数的二十分之一)，请你估计每位员工该月(按

30天计算)获得奖励金额总数大约多少元.

参考数据：£苍凹=347,力片=1308,才y=93,参]40々84.50,

/=]i=li=l

__n

X_nxyt-nxy

参考公式：相关系数.二八7、,,,,其回归直线，=去+g中的人=三-------.

Vki=t八，=i)<='

若随机变量工服从正态分布则。("一b<xW〃+cr)=0.6826,

P(/z—2cr<x<4+2(T)=0.9544.

22.(10分)已知函数/(x)=一奴+(4-1)1rL*,g(x)=/?—xlnx的最大值为1.

(1)求实数b的值；

⑵当a>1时，讨论函数/(x)的单调性；

(3)当a=0时,令尸(x)=2f(x)+g(x)+21nx+2,是否存在区间上〃，“仁(1,+℃),使得函数尸(%)

在区间上上的值域为[%(〃?+2)«(〃+2)]?若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1、C

【解析】

【分析】

由二项式系数性质，(。+与”的展开式中所有二项式系数和为2"计算.

【详解】

2x+?J的二项展开式中二项式系数和为2"，2"=32,，〃=5.

故选：C.

【点睛】

本题考查二项式系数的性质，掌握二项式系数性质是解题关键.

2、D

【解析】

【分析】

可求出集合A,B,然后进行并集的运算即可.

【详解】

解：A={x[0<x<2},B={y|j>0）；

故选£>.

【点睛】

考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算.

3、D

【解析】

【分析】

由题知cosa=2y5,又sin（三一2a]=cos2c=2cos,代入计算可得.

5U）

【详解】

Oo213

由题知cosa—,又sin|——2a=cos2a=2cosa-\=-.

5125

故选：D

【点睛】

本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式的应用求值.

4、D

【解析】

【分析】

由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积.

【详解】

如图，正三棱锥A-6C。中，M是底面ABC。的中心，则AM是正棱锥的高，N