专题01数列求通项（数列前n项和Sn法数列前n项积Tn法）(典型题型归类训练)

专题01数列求通项（法、法）(典型题型归类训练)目录TOC\o"12"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：法：角度1：用，得到 2题型二：法：角度2：将题意中的用替换 4题型三：法：角度3：已知等式中左侧含有： 5题型四：法：角度1：已知和的关系 7题型五：法：角度2：已知和的关系 8三、数列求通项（法、法）专项训练 9一、必备秘籍1对于数列，前项和记为；①；②②：法归类角度1：已知与的关系；或与的关系用，得到例子：已知，求角度2：已知与的关系；或与的关系替换题目中的例子：已知；已知角度3：已知等式中左侧含有：作差法（类似）例子：已知求2对于数列，前项积记为；①；②①②：法归类角度1：已知和的关系角度1：用，得到例子：的前项之积.角度2：已知和的关系角度1：用替换题目中例子：已知数列的前n项积为，且.二、典型题型题型一：法：角度1：用，得到例题1．（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）记是数列的前项和，已知，且.(1)记，求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）因为，①所以，②②①得，，因为，所以，所以数列的奇数项和偶数项分别是以4为公差的等差数列，令代入，得，由，得，所以，所以数列是公差为4，首项为5的等差数列，其通项公式为例题2．（2023春·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）①，当时，②，两式①②得：，当时，，不符合上式，所以；例题3．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知等比数列的前n项和为，且.(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）因为，所以时，，所以，所以，因为，又因为为等比数列，所以，所以，则等比数列首项为2，公比为3，所以例题4．（2023秋·江苏无锡·高二江苏省南菁高级中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，，，．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）因为，所以当时，，两式相减，得到，整理得，又因为，所以，所以数列是公差为的等差数列．当时，，解得或，因为，所以，由（1）可知，即公差，所以；题型二：法：角度2：将题意中的用替换例题1．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列的前项和为.(1)求；【答案】(1)【详解】（1），可得，可得，即数列为首项为2，公差为2的等差数列，可得，由，可得；例题2．（2023秋·河北唐山·高二校考期末）已知数列中，，，前项和为，若．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）若，由，可得，则数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以，即，当时，，则例题3．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知各项均为正数的数列的首项，其前n项和为，且（）．(1)求；【答案】(1)【详解】（1），又，又，数列是首项为1，公差为1的等差数列，，故例题4．（2023秋·安徽滁州·高三校考期末）记首项为的数列的前项和为，且当时，(1)证明：数列是等差数列；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）当时，，即，则，可得，所以，且，所以数列是首项为，公差为的等差数列．题型三：法：角度3：已知等式中左侧含有：例题1．（2023春·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习）已知数列{}满足：．(1)求的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）因为，①所以时，，②①②得：，所以，又，不符合上式，故例题2．（2023秋·广东珠海·高三校考开学考试）已知数列满足.(1)求的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）由，得当时，即，当时，，则，即，当时，也满足上式，综上所述，；例题3．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考阶段练习）在数列中，.(1)求数列的通项；【答案】(1)；【详解】（1）由，，得当时，，两式相减得：，即，而，因此构成以为首项，3为公比的等比数列，则当时，，即，显然不满足上式，所以数列的通项.例题4．（2023春·福建厦门·高二厦门外国语学校校考期末）已知数列为正项等比数列，数列满足，，．(1)求；【答案】(1)【详解】（1）令，当时，，由，则；当时，，由，则.由数列为正项等比数列，设其公比为，则，所以.题型四：法：角度1：已知和的关系例题1．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知数列的前项的积(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1），当时，.当时，，满足上式，.例题2．（2022秋·黑龙江大庆·高三阶段练习）已知数列的前项积.(1)求的通项公式；【答案】(1)(1)解：（1）.当时，；当时，，也符合.故的通项公式为.例题3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三校考阶段练习）已知为数列的前n项的积，且，为数列的前n项的和，若（，）.（1）求证：数列是等差数列；（2）求的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】解：（1）证明：，.，是等差数列.（2）由（1）可得，.时，；时，.而，，，均不满足上式.（）.题型五：法：角度2：已知和的关系例题1．（2023·福建泉州·泉州七中校考模拟预测）已知数列的前项的积记为，且满足(1)证明：数列为等差数列;【答案】(1)证明见解析【详解】（1）当时，，得，当时，，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列.例题2．（2020春·浙江温州·高一校联考期中）设数列的前n项积（）．（1）求数列的通项公式；【答案】（1）；（2）详见解析．【详解】（1）当时，，∴，又∴，∴，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，∴∴.例题3．（2023秋·江苏·高二专题练习）已知数列的前n项之积为，且满足．(1)求证：数列是等差数列；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）由题意知：，∴，∴，∴数列是公差为3的等差数列；三、数列求通项（法、法）专项训练一、单选题1．（2023秋·江西·高三统考开学考试）设为数列的前项积，若，且，当取得最小值时，（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【详解】解：由题意得，又，，所以，所以是公比为的等比数列.因为，所以，解得，所以，则，，，当时，，因为，所以最小.故选：A.2．（2023秋·内蒙古包头·高三统考开学考试）已知为数列的前项积，若，则数列的前项和（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为为数列的前项积，所以可得，因为，所以，即，所以，又，得，所以，故是以3为首项，2为公差的等差数列；，故选：A3．（2023春·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）已知等比数列的前项积为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设等比数列的公比为，当，则，所以，，，若，则，，，不符合题意；若，则单调（或为常数），此时不满足，故不符合题意，所以；当，，此时奇数项为负，偶数项为正，则，，，不符合题意，当，，此时奇数项为正，偶数项为负，则，，，不符合题意，所以，故A错误，又，，又，所以，所以，故对任意的，，则对任意的，，故B错误；又，，所以，，所以，，，所以，故D正确，C错误．故选：D．4．（2023秋·江西宜春·高二校考开学考试）若数列的前项积，则的最大值与最小值的和为（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【详解】∵数列的前项积，当时，，当时，，，时也适合上式，∴，∴当时，数列单调递减，且，当时，数列单调递减，且，故的最大值为，最小值为，∴的最大值与最小值之和为2.故选：C.二、填空题5．（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）已知为数列的前n项积，且，则．【答案】【详解】当时，则；当时，则；注意到也符合上式，所以.故答案为：.三、解答题6．（2023春·湖南湘潭·高二湘潭县一中校联考期末）设数列的前项和为，，且.(1)求的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）因为，故时，，两式相减得，又，，所以，故，满足上式，故，且，所以为等比数列，且首项为2，公比为3，从而.7．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）数列的各项均为正数，前项和为，且满足．(1)求数列的通项公式．【答案】(1)【详解】（1）∵，所以或，∵，∴，……①．……②．①②得是首项为3，公差为2得等差数列，；8．（2023春·山西朔州·高二怀仁市第一中学校校联考期末）已知等比数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，又，所以，即.又数列是等比数列，所以，当时，，解得，所以；9．（2023春·江西九江·高二校考期末）记数列的前n项和为，已知，.(1)求的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）因为，所以，两式相减得，即，又，所以，所以是首项为3，公差为2的等差数列，所以.10．（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知正项数列的前n项和为，满足：.(1)计算并求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）由①，当时，，解得（舍去），当时，②，由①②得，即，又，所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以；11．（2023春·浙江杭州·高二校联考期中）已知等差数列的前项和为，且，，数列满足，．(1)求数列和的通项公式；【答案】(1)，，，【详解】（1）设等差数列公差为，则，整理得，解得，∴，，对于数列：当时，，当时，由，得，两式相减得，当时，也满足上式，∴，．12．（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）已知是数列的前项和，满足，且.(1)求；【答案】(1)【详解】（1）因为，显然，所以，即，所以，所以，又当时，也满足，所以.13．（2023春·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期中）设正项数列的前n项和为，且，当时，．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）由，得，因为，所以，所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，当时，，当时，也满足上式，所以数列的通项公式为．14．（2023春·江西宜春·高二校联考期末）已知数列满足，等差数列的前n项和为，且．(1)求数列和的通项公式；【答案】(1)，；【详解】（1）当时，，，当时，，两式相减，得，即，显然满足上式，因此，设公差为，则，即，解得，因此，所以数列和的通项公式分别为，.15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，.(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）当时，，当时，，，即，，，，是首项为2，公差为1的等差数列，，，，综上，16．（2023春·辽宁大连·高二校联考期中）已知正项数列满足，前项和满足.(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）由可得，即，因为，所以，则，，所以，又因为，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，，当时，，当时，，所以；17．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知数列满足．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)；【详解】（1），当时，，即，当时，，得，即，满足上式，数列的通项公式为；18．（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）在数列中，.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【详解】（1）∵，当时，，当时，，所以，即（），又∵也适合，∴；（2）由（1）知，，∴.19．（2023秋·广东茂名