83简单几何体的表面积和体积（第2课时）（教学设计）-2021-2022学年高一数学(人教A版2019)

《8.3简单几何体的表面积和体积》第2课时圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积教学设计本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第八章《立体几何初步》的第三节《简单几何体的表面积和体积》。以下是本节的课时安排：8.3简单几何体的表面积和体积课时内容第1课时棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积第2课时圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征所在位置教材第114页教材第116页新教材内容分析本节内容是棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积求法，由之前学过的正方体、长方体的表面积与体积导入，引出本节要学的内容。本节内容是圆柱、圆锥、圆台与球的表面积与体积求法，由上一节的多面体表面积与体积导入，引出本节要学的内容。核心素养培养借助棱柱、棱锥、棱台的表面积、体积的计算，培养数学运算素养；通过对棱柱、棱锥、棱台的体积的探究，提升逻辑推理的素养.借助圆柱、圆锥、圆台、球的表面积、体积的计算，培养数学运算素养；通过对圆柱、圆锥、圆台、球的体积的探究，提升逻辑推理的素养.教学主线圆柱、圆锥、圆台、球的结构前面我们明确研究对象：棱柱、棱锥、棱台的结构特征，为本节学习圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积做好知识准备.1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式,培养数学抽象的核心素养；2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积，提升数学运算的核心素养。1.重点：通过对圆柱、圆锥、圆台的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积的求法。2.难点：会求与圆柱、圆锥、圆台、球有关的组合体的表面积与体积。（一）新知导入1.创设情境，生成问题如图是工厂生产的各种金属零件，被广泛应用于工业领域的各个方面.【问题】(1)如果已知制作零件的金属的密度，如何求出这些零件的质量？(2)如图所示的零件都是旋转体，其侧面都是曲面，如何求其表面积？【提示】(1)先求出金属零件的体积，再求其质量.(2)求其侧面展开图的面积，再加上底面面积就是其表面积.（二）圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积知识点一圆柱、圆锥、圆台的表面积旋转体侧面展开图底面积、侧面积、表面积圆柱底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πr2＋2πrl圆锥底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πr2＋πrl圆台上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝π(r＋r′)l表面积：S＝πr2＋πr′2＋π(r＋r′)l【做一做1】如图，圆锥的底面半径为1，高为eq\r(3)，则圆锥的侧面积为________．答案：2π【做一做2】一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是()A.eq\f(1＋2π,2π)B.eq\f(1＋2π,4π)C.eq\f(1＋2π,π) D.eq\f(1＋4π,2π)解析：设底面圆半径为r，母线长为h，∴h＝2πr，则eq\f(S表,S侧)＝eq\f(2πr2＋2πrh,2πrh)＝eq\f(r＋h,h)＝eq\f(r＋2πr,2πr)＝eq\f(1＋2π,2π).答案：A【做一做3】若一个圆台如图所示，则其侧面积等于()A.6 B.6πC.3eq\r(5)π D.6eq\r(5)π解析：∵圆台的母线长为eq\r(（2－1）2＋22)＝eq\r(5)，∴S圆台侧＝π(1＋2)·eq\r(5)＝3eq\r(5)π.答案：C知识点二圆柱、圆锥、圆台的体积旋转体体积公式圆柱V＝Sh＝πr2h圆锥V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圆台V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h【做一做1】若圆锥的底面半径为eq\r(3)，高为1，则圆锥的体积为()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,2) C.π D.2π解析：V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×π×3×1＝π.答案：C【做一做2】.圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为()A.3 B.4 C.5 D.6解析：由题意知V＝eq\f(1,3)(π＋2π＋4π)h＝7π，故h＝3.答案：A【探究1】圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系?你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗?[提示]【探究2】圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、锥体、台体的体积公式之间又有什么关系？[提示]知识点三球的表面积与体积球的半径为R，则球的体积为eq\f(4πR3,3)，表面积为4πR2.【辩一辩】1.两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4.(×)2.球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面.(√)3.球的表面积等于它的大圆面积的2倍.(×)【做一做1】直径为1的球的体积是()A.1 B.eq\f(π,6) C.eq\f(π,3) D.π解析：R＝eq\f(1,2)，故V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)×π×eq\f(1,8)＝eq\f(π,6).答案：B【做一做2】若一个球的体积为4eq\r(3)π，则它的表面积为()A.3π B.12 C.12π D.36π解析：设球的半径为R，依题意有eq\f(4π,3)R3＝4eq\r(3)π，所以R＝eq\r(3)，S＝4πR2＝12π.答案：C（三）典型例题1.圆柱、圆锥、圆台的表面积例1.圆台的上、下底面半径分别为10cm和20cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是多少？(结果中保留π)解析：如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20，同理可得SB＝40，所以AB＝SB－SA＝20，所以S表面积＝S侧＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋πreq\o\al(2,1)＋πreq\o\al(2,2)＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．故圆台的表面积为1100πcm2.【类题通法】求旋转体表面积的要点(1)因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素，因此处理好轴截面中边角关系是解题的关键；(2)对于圆台问题，要重视“还台为锥”的思想方法；(3)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长，而求解这些未知量常常需要列方程.【巩固练习1】圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等.求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比.解析：如图所示，设圆柱和圆锥的底面半径分别为r，R，则有eq\f(r,R)＝eq\f(R－r,R)，即eq\f(r,R)＝eq\f(1,2)，∴R＝2r，圆锥的母线长l＝eq\r(2)R，∴eq\f(S圆柱表,S圆锥表)＝eq\f(2πr2＋2πr2,πR·\r(2)R＋πR2)＝eq\f(4πr2,（\r(2)＋1）πR2)＝eq\f(4r2,（\r(2)＋1）4r2)＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1.2.圆柱、圆锥、圆台的体积例2.圆锥的过高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是()A．1∶1B．1∶6C．1∶7 D．1∶8解析：如图，设圆锥底半径OB＝R，高PO＝h，∵O′为PO中点，∴PO′＝eq\f(h,2)，∵eq\f(O′A,OB)＝eq\f(PO′,PO)＝eq\f(1,2)，∴O′A＝eq\f(R,2)，∴V圆锥PO′＝eq\f(1,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq\s\up20(2)·eq\f(h,2)＝eq\f(1,24)πR2h.V圆台O′O＝eq\f(π,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq\s\up20(2)＋R2＋\f(R,2)·R))·eq\f(h,2)＝eq\f(7,24)πR2h.∴eq\f(V圆锥PO′,V圆台O′O)＝eq\f(1,7).答案：C【类题通法】求几何体体积的常用方法【巩固练习2】圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是()A.eq\f(2\r(3),3)πB．2eq\r(3)C.eq\f(7\r(3),6)πD.eq\f(7\r(3),3)π解析：S1＝π，S2＝4π，∴r＝1，R＝2，S侧＝6π＝π(r＋R)l，∴l＝2，∴h＝eq\r(3).∴V＝eq\f(1,3)π(1＋4＋2)×eq\r(3)＝eq\f(7,3)eq\r(3)π.答案：Ｄ3.球的表面积与体积（1）球的截面问题例3.一个球内有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积．解析：(1)当截面在球心的同侧时，如图①所示为球的轴截面，由截面性质知AO1∥BO2，O1，O2为两截面圆的圆心，且OO1⊥AO1，OO2⊥BO2，设球的半径为R，∵πO2B2＝49π，∴O2B＝7cm，同理得：O1A＝20cm.设OO1＝x，则OO2＝(x＋9)cm，在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202，①在Rt△OO2B中，R2＝72＋(x＋9)2，②联立①②可得x＝15，R＝25.∴S球＝4πR2＝2500πcm2，故球的表面积为2500πcm2.(2)当截面在球心的两侧时，如图②所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O1A∥O2B，O1，O2分别为两截面圆的圆心，且OO1⊥O1A，OO2⊥O2B.设球的半径为R，∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7cm.∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20cm.设O1O＝xcm，则OO2＝(9－x)cm.在Rt△OO1A中，R2＝x2＋400.在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋49.∴x2＋400＝(9－x)2＋49，解得x＝－15，不合题意，舍去．综上所述，球的表面积为2500πcm2.【类题通法】球的截面问题的方法归纳：设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面进行求解.【巩固练习3】在半径为R的球面上有A，B，C三点，且AB＝BC＝CA＝3，球心到△ABC所在截面的距离为球半径的一半，求球的表面积.解析：依题意知，△ABC是正三角形，△ABC的外接圆半径r＝eq\f(\r(3),3)×3＝eq\r(3).由R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq\s\up12(2)＋(eq\r(3))2，得R＝2.所以球的表面积S＝4πR2＝16π.（2）球的切、接问题例4.（1）在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比.解析：作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为R，正方体的棱长为a，那么CC′＝a，OC＝eq\f(\r(2)a,2).在Rt△C′CO中，由勾股定理，得CC′2＋OC2＝OC′2，即a2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)a,2)))eq\s\up12(2)＝R2，∴R＝eq\f(\r(6),2)a.从而V半球＝eq\f(2,3)πR3＝eq\f(2,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)a))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(6),2)πa3，V正方体＝a3.因此V半球∶V正方体＝eq\f(\r(6),2)πa3∶a3＝eq\r(6)π∶2.（2）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则eq\f(V1,V2)的值是________.解析：设球O的半径为r，则圆柱的底面半径为r，高为2r，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr2·2r,\f(4,3)πr3)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)【类题通法】常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：①处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊位置，比如中心、对角线的中点等.②解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算.【巩固练习4】若棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球面上，求此球的体积．解析：正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图，所以正方体的外接球直径等于正方体的体对角线长，即2R＝eq\r(22＋2\r(2)2)，所以R＝eq\r(3)，所以V球＝eq\f(4,3)·π·(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.4.简单组合体的表面积与体积【例5】如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，C到AB与AD的距离分别为1和2，若将ABCD绕y轴旋转一周，求所得旋转体的体积．解析：旋转得到一个圆锥和圆台的组合体，V圆锥＝eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(8,3)π，V圆台＝eq\f(1,3)π×1×(22＋12＋2×1)＝eq\f(7,3)π，所以V＝V圆锥＋V圆台＝5π.【类题通法】组合体体积与表面积的求解策略：(1)首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求其面积，然后把这些面的面积相加或相减；求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减.(2)在求组合体的表面积、体积时要注意“表面(和外界直接接触的面)”与“体积(几何体所占空间的大小)”的定义，以确保不重复、不遗漏.【巩固练习5】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．解析：如题图，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，∴CD＝eq\f(BC－AD,cos60°)＝2a，AB＝CDsin60°＝eq\r(3)a，∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，∴DO＝eq\f(1,2)DD′＝a.由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．由上述计算知，圆柱母线长eq\r(3)a，底面半径2a，圆锥的母线长2a，底面半径a.∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·eq\r(3)a＝4eq\r(3)πa2，圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积S4＝πa2，∴组合体上底面积S5＝S3－S4＝3πa2，∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4eq\r(3)＋9)πa2.又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积．V柱＝Sh＝π·(2a)2·eq\r(3)a＝4eq\r(3)πa3，V锥＝eq\f(1,3)S′h＝eq\f(1,3)·π·a2·eq\r(3)a＝eq\f(\r(3),3)πa3，∴V＝V柱－V锥＝4eq\r(3)πa3－eq\f(\r(3),3)πa3＝eq\f(11\r(3),3)πa3.（四）操作演练素养提升1.在△ABC中，AC＝2，BC＝2，∠ACB＝120°，若△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的表面积是()A．(6＋2eq\r(3))πB．6πC．(9＋2eq\r(3))π D．2eq\r(3)π2、已知圆台上、下两底面与侧面都与球相切，它的侧面积为16π，则该圆台上、下两个底面圆的周长之和为()A．4πB．6πC．8π D．10π3、用与球心距离为2的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为()A.eq\f(20π,3)B.eq\f(20\r(5)π,3)C.20eq\r(5)π D.eq\f(100π,3)4、体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是()A.54 B.54π C.58 D.58π答案：1.A2.C3.B4.A【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。（五）课堂小结，反思感悟1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？