第3讲组合及组合数5种题型总结（原卷版）

第3讲组合及组合数5种题型总结【考点分析】考点一：组合及组合数的概念①组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．②组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示．考点二：组合数公式及其性质公式：性质：性质1：性质2：规定：【题型目录】题型一：组合的概念题型二：组合数的计算题型三：解组合数方程和不等式题型四：组合数的性质及恒等式题型五：组合的简单应用【典型例题】题型一：组合的概念【例1】（多选题）下面问题中，是组合问题的是（

）A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数B．从40人中选5人组成篮球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1，2，3，4，5中选5个数组成集合【例2】下列问题中，组合问题的个数是（

）①从全班50人中选出5人组成班委会；②从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员；③从1，2，3，…，9中任取出两个数求积；④从1，2，3，…，9中任取出两个数求差或商.A．1 B．2 C．3 D．4【例3】（多选题）给出下列问题，属于组合问题的有（

）A．从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法B．有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法C．某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种D．从2，3，5，7，11中任选两个数相乘，可以得到多少个不同的积【题型专练】1．以下四个问题，属于组合问题的是（

）A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地2．（多选题）下列问题中，属于组合问题的是（

）A．10支战队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少次比赛B．10支战队以单循环进行比赛，这次比赛的冠、亚军获得者有多少种可能C．从10名员工中选出3名参加同一种的娱乐活动，有多少种选派方法D．从10名员工中选出3名分别参加不同的娱乐活动，有多少种选派方法3．（多选题）下列问题中是组合问题的有（

）.A．某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票B．从7本不同的书中取出5本给某同学C．3个人去做5种不同的工作，每人做一种，有多少种分工方法D．把3本相同的书分给5个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法4．（多选题）给出下列问题，其中是组合问题的是（

）A．由1，2，3，4构成的含3个元素的集合B．从7名班委中选2人担任班长和团支书C．从数学组的10名教师中选3人去参加市里新课程研讨会D．由1，2，3，4组成无重复数字的两位数题型二：组合数的计算【例1】（

）A． B． C． D．【例2】已知n，m为正整数，且，则在下列各式中错误的是（

）A．； B．； C．； D．【例3】________．【例4】设n为正整数，则关于，下列说法正确的是（

）A．该代数式的值唯一确定 B．该代数式的值有两种情况C．该代数式的值有三种情况 D．该代数式的值有无数种情况【题型专练】1．求值：_______．2.___．（用数字作答）3．（

）A． B． C． D．题型三：解组合数方程和不等式【例1】已知，则_______．【例2】若，则x的值为_______【例3】若，则正整数___________.【例4】已知则x＝______.【题型专练】1．已知，，成等差数列，则＝________.2．已知，则的值是（

）A．9 B．7 C．9或 D．83．（1）若，则的取值集合是___________.（2）___________.题型四：组合数的性质及恒等式【例1】已知，则方程的解是___________．【例2】已知，则________．【例3】下列等式不正确的是（

）A． B．C． D．【例4】（多选题）对于，，，关于下列排列组合数，结论正确的是（

）A． B．C． D．【例5】（多选）（

）A． B． C． D．【例6】计算：______．【题型专练】1.已知，则的值为（

）A．3 B．3或4 C．4 D．4或52．已知，则__________________.3．（多选题）下列四个关系式中，一定成立的是（

）A． B．C．D．4．（多选题）下列有关排列数､组合数计算正确的有（

）A．B．从中任取两个数相乘可得个积C．D．5．（多选题）对且，下列等式一定恒成立的是（

）.A． B．C． D．6．（多选题）下列有关排列数､组合数的计算，正确的是（

）A． B．C． D．是一个常数7．计算：________．题型五：组合的简单应用【例1】如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（

）A．20条 B．21条 C．22条 D．23条【例2】绿水青山就是金山银山，浙江省对“五水共治”工作落实很到位，效果非常好．现从含有甲的5位志愿者中选出4位到江西，湖北和安徽三个省市宣传，每个省市至少一个志愿者．若甲不去安徽，其余志愿者没有条件限制，共有多少种不同的安排方法（

）A．228 B．132 C．180 D．96【例3】新课程改革后，普通高校招生方案规定：每位考生从物理、化学、生物、地理、政治、历史六门学科中随机选三门参加考试，某省份规定物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有（

）A．14种 B．15种 C．16种 D．17种【例4】8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名医生，其中医生a不能去甲医院，则不同的选派方式共有（

）A．280种 B．350种 C．70种 D．80种【例5】平面上，四条平行直线与另外五条平行直线互相垂直，则它的矩形共有_____个（结果用数值表示）．【例6】将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架（如图），小红欲从A处行走至B处，则小红行走路程最近的路线共有_________．（结果用数字作答）【例7】我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦.如果某重卦中恰有3个阴爻，则该重卦可以有___________种.(用数字作答)【例8】2022年4月，新型冠状病毒疫情牵动着全国人民的心，某市根据上级要求，在本市某人民医院要选出护理外科、心理治疗方面的专家4人与省专家组一起赶赴上海参加救助工作，该医院现有3名护理专家，，，5名外科专家，，，，，2名心理治疗专家，.(1)求4人中有1位外科专家，1位心理治疗师的选法有多少种?(2)求至少含有2位外科专家，且外科专家和护理专家不能同时被选的选法有多少种?【题型专练】1．教育部于2022年开展全国高校书记校长访企拓岗促就业专项行动，某市4所高校的校长计划拜访当地的甲、乙两家企业，若每名校长拜访1家企业，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有（

）A．8种 B．10种 C．14种 D．20种2．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（

）A．8 B．10 C．12 D．143．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装不同的吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（

）A．8 B．10 C．12 D．144．（多选题）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（

）A．若任意选择三门课程，则选法种数为35B．若物理和化学至少选一门，则选法种数为30C．若物理和历史不能同时选，则选法种数为30D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，则选法种数为205．从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有______种取法（用数字作答）．6．8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第三、四名，则该大师赛共有_________场比赛．7．某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有_______8．从4男2女共6名学生中选出1人吃原味薯片，2人吃黄瓜味薯片，剩下3人吃番茄味薯片，共有__________种选法；如果男生不吃原味薯片，共有________