第二章一元二次函数方程和不等式专题05含参一元二次不等式的解法-2021-2022学年“高人一筹”之高一数学“痛点”大揭秘（人教A版2019）

第二章一元二次函数、方程和不等式专题05含参数一元二次不等式的解法解含参一元二次不等式，常常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参一元二次不等式问题的一个难点。解含参一元二次不等式时对参数的分类主要依据有三个因素：①比较根的大小；②判别式的符号；③二次项系数的符号。以下举例分析，加以归纳。解决此类问题对提升自己函数与方程思想、数形结合思想及分类与整合思想有很大裨益。【题型导图】类型一比较根的大小例1.(2021·福建屏东中学高一期末)若，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，得，因，所以或，因此不等式的解集为.故选：D.【变式1】（2021·六安市裕安区新安中学高一期末）已知，关于x的不等式的解集为（）A．或 B． C．或 D．【答案】A【详解】不等式化为，，，故不等式的解集为或.故选：A.【变式2】关于x的不等式63x22mxm2<0的解集为（）A．B．C．D．以上答案都不对【答案】D【详解】原不等式可化为，对应方程的二根为，需对m分三种情况讨论：当时，，不等式解集为；当时，，不等式解集为；时，，不等式解集为.故不等式的解集与m有关，ABC均不正确，故选：D.【变式3】解关于的不等式（为常数且）.【分析】,先讨论时不等式的解集；当时，讨论与的大小，即分，，分别写出不等式的解集即可.【解析】原不等式可化为（1）时，不等式的解集为；（2）时，若，，不等式的解集为；若，不等式的解集为；若，，不等式的解集为；综上时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为.【痛点直击】运算需熟练，思路要明确。具体步骤为；1.将所给的一元二次不等式进行因式分解；2.比较两根的大小关系并根据其大小进行分类讨论；3.得出结论.类型二判别式的符号例2.（2021·山东泰安实验中学高一期末）解不等式：【解答】见解析【解析】，∴当，即时，解集为R，当时，即时，解集为；当或，即时，此时两根分别为，，此时，∴不等式的解集为.【变式1】（2021·江西九江一中高一期末）设集合A={x|x2＋3k2≥2k(2x－1)}，B={x|x2－(2x－1)k＋k2≥0}，且AB，则k的取值范围为．【答案】【解析】B中的不等式对于方程为x2－(2x－1)k＋k2=0，，(1)当k=0时，.(2)当k＞0时，△＜0，x.(3)当k＜0时，.故：当时，由B=R，显然有A，当k＜0时，为使A，需要k，于是k时，.，比较因为(1)当k＞1时，3k－1＞k＋1，A={x|x≥3k－1或x}.(2)当k=1时，x.(3)当k＜1时，3k－1＜k＋1，A=.综上所述，k的取值范围是：【变式2】（2021·邵东创新实验学校高一期中）已知关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是________(写出任何一个满足条件的值即可）.【答案】13，14，15(写出任何一个值即可）【详解】因为关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，所以，即，由，解得，故关于x的一元二次不等式的解集为，因关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，所以，即，又因，所以，或都满足.故答案为：13，14，15(写出任何一个值即可）.【变式3】（2021·江苏南通高一期末）若不等式有且只有两个整数解，则这两个整数解之和为______，实数的取值范围为______.【答案】3；【详解】令可得由，所以所以不等式的解集为依题可知：不等式有且只有两个整数解所以这两个整数解为：1，2所以这两个整数解之和为3满足，又，所以.【痛点直击】由于一元二次不等式对应的方程不易因式分解，需要对进行分类，具体步骤为；1.求出不等式所对应方程的判别式；2.讨论判别式大于0、小于0或等于0所对应的不等式的解集。类型三二次项系数的符号例3.（2021·山西师大附中高一期末）解不等式：【解答】见解析【解析】由题；（1）当时，不等式，解集为；（2）当时，，解方程得，，∴当时，解集为；当时，解集为.综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.【变式1】已知关于x的不等式ax2﹣ax+2＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是．【解答】0≤a＜8【解析】①若a＝0，则原不等式等价为2＞0，此时不等式恒成立，所以a＝0．②若a≠0，则要使不等式ax2﹣ax+2＞0恒成立，则有，即，所以，解得0＜a＜8．综上满足不等式ax2﹣ax+2＞0在R上恒成立的实数a的取值范围0≤a＜8．【变式2】（2021·广东深圳高级中学高一月考）对于任意的实数，关于的不等式的解集不可能是（）A． B．R C． D．【答案】B【详解】当时，不等式可化为，解得或；当时，不等式可化为，无解；当时，不等式可化为，解得；当时，不等式可化为，无解；当时，不等式可化为，解得；故ACD都有可能，B不可能.故选：B.【变式3】（2021·河北石家庄二中高一期中）关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是__．【答案】．【详解】不等式可化为，①当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；②当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；③当时，原不等式等价于，其解集为，其解集中恰有2个整数，，解得：；④当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；⑤当时，原不等式等价于，其解集为，其解集中恰有2个整数，，解得：，综合以上，可得：.故答案为：．【痛点直击】对于二次项系数含有参数，需对参数的符号分类讨论，具体步骤为；1.直接讨论参数大于0、小于0或者等于0；2.分别求出其对应的不等式的解集；3.得出结论.【限时训练】1．（2021·江苏苏州大学附中高一期末）已知函数的图象与x轴交于、两点，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】D【详解】由条件可知的两个根分别为或，则，，得，，，整理为：，解得：或，所以不等式的解集是.故选：D2.（2021·山东聊城市高一期末）若关于的不等式(的解集为，则关于的不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：因为关于的不等式(的解集为，所以，则，故，，则不等式可化为，即，因为，所以不等式的解为：或，所以关于的不等式的解集为.故选：D.3．（2021·重庆一中高一月考）已知集合，集合若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可知，又，①当时，，若，则；②当时，，此时不成立；③当时，，不成立.综上所述：.故选：A.4．（2021·江西九江一中高一期末）记不等式､解集分别为、，中有且只有两个正整数解，则a的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】由可得：或，所以或，因为中有且只有两个正整数解，所以，对于方程，判别式，所以方程的两根分别为：，，所以，若中有且只有两个正整数解，则即，可得，所以，当时，解得，此时，不符合题意，综上所述：a的取值范围为，故选：B.5.（多选题）（2021·浙江大学附中高一期中）对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式的解集可能为（）A． B． C． D．【答案】ABC【详解】解：对于，当时，开口向上，与轴的交点为，，故不等式的解集为，，；当时，开口向下，若，不等式解集为；若，不等式的解集为，若，不等式的解集为，综上，都成立，故选：．6.（多选题）（2021·山西省长治市二中高一期中）已知关于的不等式，下列结论正确的是（）A．当时，不等式的解集为B．当时，不等式的解集为C．不等式的解集恰好为，那么D．不等式的解集恰好为，那么【答案】ABD【详解】解：由得，又，所以，从而不等式的解集为，所以A正确；当时，不等式就是，解集为，当时，就是，解集为，所以B正确；当的解集为，，即，因此时函数值都是，由当时，函数值为，得，解得或，当时，由，解得或，不满足，不符合题意，所以C错误；当时，由，解得或，满足，所以，此时，所以D正确，故选：ABD7.（2021·福建三明一中高一期中）关于的不等式的解集为，则的最小值是.【答案】4【详解】不等式的解集为，所以，所以（当且仅当时取“=”）.8.（2021·山西大同高一期中）已知表示不超过的最大整数，例如：，，方程的解集为，集合且，则的取值范围是____________.【答案】【详解】因为表示不超过的最大整数，由可得，即，即，解得或，即或，又，若，则，此时满足；若，则或，为使，只需，解得；若，则或，为使，只需，解得，所以，综上，或，即的取值范围是.9.（2021·北京大兴区高一期中）设，不等式的解集记为集合.（1）若，求的值；（2）当时，求集合.【答案】（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）由题意可知，关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理列等式可求得实数的值；（2）解方程可得或，对与的大小进行分类讨论，结合二次不等式的解法可求得集合.【详解】（1）由题意可知，关于的方程的两根分别为、，所以，，由韦达定理可得，解得；（2）当时，由可得，解方程，可得或.①当时，即当时，或；②当时，即当时，原不等式为，则；③当时，即当时，或.综上所述，当时，或；当时，则；当时，或.10.（2021·广东华南师大附中南海实验高中高一期中）已如命题："恒成立"是真命题，（1）求