拓展五圆锥曲线的最值问题-2022-2023学年高二数学讲义（人教A版2019选择性）（原卷版）

拓展五圆锥曲线的最值（范围）问题解析几何中的最值（范围）问题，主要是结合直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系的进行命题，要求证明、探索、计算线段长度（距离）或图形面积或参数等有关最值问题.从高考命题看，此类问题以主观题形式考查，多步设问，逐步深入考查分析问题解决问题的能力.圆锥曲线中的最值（范围）问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、均值不等式方法等进行求解.而解答题部分主要使用代数法。知识点1圆锥曲线中的最值（范围）问题解题策略一利用定义法和几何关系求最值1、根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等；2、利用两点间线段最短，或垂线段最短，或三角形的三边性质等找到取得最值的临界条件，进而求出最值.二切线法适用范围：当所求的最值是圆锥曲线上点到某条直线的距离的最值时1、设出与这条直线平行的圆锥曲线的切线，2、切线方程与曲线方程联立，消元得到一个一元二次方程，且，求出的值，即可求出切线方程；3、两平行线间的距离就是所求的最值，切点就是曲线上去的最值时的点.三参数法1、根据曲线方程的特点，用适当的参数表示曲线上点的坐标；2、将目标函数表示成关于参数的函数；3、把所求的最值归结为求解关于这个参数的函数的最值的方法.四利用基本不等式和函数求最值1、基本不等式法（1）将所求最值的量用变量表示出来，（2）用基本不等式求这个表达式的最值，并且使用基本不等式求出最值.注：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2、函数法（1）把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数；（2）通过研究这个函数求最值，是求各类最值最为普遍的方法.知识点2解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．类型一与距离有关的最值（范围）问题1．（2022·山东·青岛二中高二期中）已知是椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为椭圆外一点，则的最大值为（

）A． B． C． D．2．（2022·青海西宁·二模（文））设双曲线的左焦点为，点为双曲线右支上的一点，且与圆相切于点，为线段的中点，为坐标原点，则（

）A． B．1 C． D．23．（2022·重庆市江津中学校高二阶段练习）设F是椭圆上的右焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（

）A． B．5 C． D．44．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二阶段练习）已知F是双曲线C：的左焦点，点H的坐标为．若点P为C右支上的动点，则的最小值为______．5．（2022·全国·高二课时练习）过双曲线的右支上一点P，分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为______；此时P点坐标为______．6．（2022·四川·石室中学高二阶段练习（理））已知抛物线：的焦点为，圆：，过点的直线与抛物线交于，两点，与圆交于，两点，且点，在同一象限，则的最小值为（

）A．8 B．12 C．16 D．20类型二与线段有关的最值（范围）问题7．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆C的离心率，左右焦点分别为，P为椭圆C上一动点，则的取值范围为___________.8．（2022·天津·南开中学高二期中）已知椭圆的离心率为，直线被椭圆C截得的线段长为.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l是圆的任意一条不垂直于坐标轴的切线，l与椭圆C交于A，B两点，若以AB为直径的圆恒过原点，求：（i）圆O的方程；（ii）的最大值.9．（2022·全国·高二专题练习）已知为坐标原点，椭圆过点，记线段的中点为．(1)若直线的斜率为3，求直线的斜率;(2)若四边形为平行四边形，求的取值范围．10．（2022·全国·高二专题练习）已知抛物线方程为，为其焦点，过点的直线与抛物线交于、两点，且抛物线在、两点处的切线分别交轴于、两点，则的取值范围为_____．11．（2022·北京·清华附中朝阳学校高二期中）已知椭圆过点，且的离心率为，、为椭圆的左、右顶点．(1)求椭圆的方程；(2)若为椭圆上一点（不同于、）．求证：直线和的斜率之积为定值；(3)过点的直线交椭圆于、两点，求的取值范围．12．（2022·重庆一中高二阶段练习）如图，已知椭圆内切于矩形，对角线的斜率之积为，左焦点.(1)求椭圆的标准方程；(2)过的直线与椭圆交于两点，与交于两点，求的取值范围.类型三与面积有关的最值（范围）问题13．（2022·山西·太原五中高二阶段练习）已知椭圆C：的右焦点为F，离心率，长轴长为4，过点F的直线l与椭圆交于M，N两点（非长轴端点）.(1)求椭圆C的方程；(2)已知点Q（0，2），求线段MQ长度的取值范围：(3)延长MO交椭圆C于P点，求△PMN面积的最大值.14．（2023·全国·高二专题练习）椭圆上有两点和，．点A关于椭圆中心的对称点为点，点在椭圆内部，是椭圆的左焦点，是椭圆的右焦点．(1)若点在直线上，求点坐标；(2)是否存在一个点，满足，若满足求出点坐标，若不存在请说明理由；(3)设的面积为，的面积为，求的取值范围．15．（2022·全国·高二专题练习）分别是椭圆于的左、右焦点.(1)若Р是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；(2)设是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.求四边形AEBF面积的最大值.类型四与斜率有关的最值（范围）问题16．（2022·全国·高二专题练习）椭圆的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，，那么直线斜率的取值范围是（

）A．， B．， C．， D．，17．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆，过点作椭圆的两条切线，且两切线垂直.(1)求；(2)已知点，若存在过点的直线与椭圆交于，且以为直径的圆过点（不与重合），求直线斜率的取值范围.18．（2022·黑龙江·富锦市第一中学高二阶段练习）已知双曲线的浙近线方程为，且虚轴长为.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线相交于不同的两点，且满足，求的取值范围.19．（2022·江苏·金陵中学高二阶段练习）平面直角坐标系中，双曲线过点，且该双曲线虚轴长为．(1)求双曲线E的方程；(2)设过点的直线l与E的左支交于点M，N，直线DM，DN与y轴相交于P，Q两点．①求直线l的斜率k的取值范围；②求|TP|＋|TQ|的取值范围．类型五与向量有关的最值（范围）问题20．（2022·江苏·高二期中）给定椭圆，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点F的距离为．(1)求椭圆C和其“准圆”的方程；(2)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B、D是椭圆C上的两相异点，且轴，求的取值范围，21．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆过点离心率，左、右焦点分别为，P，Q是椭圆C上位于x轴上方的两点．(1)若，求直线的方程；(2)延长分别交椭圆C于点M，N，设，求的最小值．22．（2022·全国·高二专题练习）已知、分别是椭圆的左右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上．过点，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两个不同的点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若点落在以线段为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值范围；(3)当直线的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点、，记，，求的取值范围．23．（2022·全国·高二专题练习）已知P是平面上的动点，且点P与的距离之差的绝对值为．设点P的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程；(2)设不与y轴垂直的直线l过点且交曲线E于M，N两点，曲线E与x轴的交点为A，B，当时，求的取值范围．类型六与角度有关的最值（范围）问题24．（2022·全国·高二课时练习）已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点，若在轴负半轴上存在一点，使得为锐角，则的取值范围为（

）A． B． C． D．25．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆C的方程为离心率，，分别为左焦点和右顶点，点在椭圆上，若为锐角，则实数的取值范围是______．26．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆：，为椭圆上的一个动点，以为圆心，为半径作圆，为圆的两条切线，为切点，求的取值范围．27．（2022·江苏·南京外国语学校高二阶段练习）设A，B为双曲线C：的左、右顶点，直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，为等腰直角三角形．(1)求双曲线C的离心率；(2)已知，若直线AM，AN分别交直线于P，Q两点，若为x轴上一动点，当直线l的倾斜角变化时，若为锐角，求t的取值范围．类型七与点的坐标有关的最值（范围）问题28．（2022·北京市十一学校高二阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，于点.若是钝角三角形，则点的横坐标的取值范围是（

）A． B． C． D．29．（2023·全国·高二专题练习）已知两个定点、的坐标分别为和，动点满足（为坐标原点）．(1)求动点的轨迹的方程；(2)设点为轴上一定点，求点与轨迹上点之间距离的最小值；(3)过点的直线与轨迹在轴上方部分交于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围．30．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线上一点，抛物线的焦点在以为直径的圆上（为坐标原点）.(1)求抛物线的方程；(2)过点引圆的两条切线、，切线、与抛物线的另一交点分别为、，线段中点的横坐标记为，求实数的取值范围.31．（2022·全国·高二专题练习）已知平面上一动点P到定点的距离与它到定直线的距离相等，设动点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的轨迹方程(2)已知点，过点B引圆的两条切线BP；BQ，切线BP、BQ与曲线C的另一交点分别为P、Q，线段PQ中点N的纵坐标记为，求的取值范围．类型八与参数有关的最值（范围）问题32．（2022·全国·高二专题练习）已知点在椭圆C：上，过点作直线交椭圆C于点的垂心为，若垂心在y轴上．则实数的取值范围是________________．33．（2022·重庆巴蜀中学高二阶段练习）已知点在椭圆上，直线的斜率之积是，且.(1)求椭圆的方程；(2)若过点的直线与椭圆交于点，且，求的取值范围.34．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知椭圆的长轴长为4，过的焦点且垂直长轴的弦长为1，是椭圆的右顶点，直线过点交椭圆于、两点，交轴于点，，，记，，的面积分别为，，．(1)求证：为定