2020-2024五年高考数学真题分类汇编专题15计数原理、排列组合、二项式定理（真题5个考点精准练+模拟练）解析版

2020-2024年五年高考真题分类汇编PAGEPAGE1专题15计数原理、排列组合、二项式定理（真题5个考点精准练+精选模拟练）5年考情考题示例考点分析2024年秋考6、10题2024年春考4题二项式系数和及通项公式；排列、组合及简单的计数问题二项式的展开式2023秋考10题2023春考8题二项式定理的应用二项式定理及组合数公式的应用2022秋考7题2022春考4、9题二项式定理的应用二项式定理的应用、排列组合的应用2021年秋考6题2021年春考7题二项展开式的通项公式二项式定理、二项式系数的性质2020年秋考9题2020年春考8题组合数公式二项式定理求特定系数一．分类加法计数原理（共1小题）1．（2020•上海）已知，，，0，1，2，，、，则的情况有18种．〖祥解〗先讨论的取值，得到对应的值，再整体求和即可．【解答】解：当，0种，当，2种，当，4种；当，6种，当，4种；当，2种，当，0种，故共有：．故答案为：18．【点评】本题主要考查分类讨论思想在概率中的应用，属于基础题目．二．数字问题（共1小题）2．（2022•上海）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为17（用数字作答）〖祥解〗根据题意，按四位数的千位数字分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，当其千位数字为3或4时，有种情况，即有12个符合题意的四位数，当其千位数字为2时，有6种情况，其中最小的为2134，则有个比2134大的四位数，故有个比2134大的四位数，故答案为：17．【点评】本题考查排列组合的应用，注意分类计数原理的应用，属于基础题．三．排列组合的综合应用（共2小题）3．（2024•上海）设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值329．〖祥解〗根据已知条件，结合组合数、排列数公式，并分类讨论，即可求解．【解答】解：由题可知，集合中每个元素都互异，且元素中最多有一个奇数，剩余全是偶数，先研究集合中无重复数字的三位偶数：（1）若个位为0，这样的偶数有种；（2）若个位不为0，这样的偶数有种；所以集合元素个数最大值为种．故答案为：329．【点评】本题主要考查排列、组合及简单计数问题，属于中档题．4．（2020•上海）从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有180种安排情况．〖祥解〗根据题意，由组合公式得共有排法，计算即可得出答案．【解答】解：根据题意，可得排法共有种．故答案为：180．【点评】本题考查组合数公式，解题关键是正确理解题意并熟悉组合数公式，属于基础题．四．二项式定理（共8小题）5．（2024•上海）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为10．〖祥解〗根据二项式系数和求得值，再结合二项式的通项公式即可求得．【解答】解：由题意，展开式中各项系数的和是，所以，则该二项式的通项公式是，令，解得，故项的系数为．故答案为：10．【点评】本题考查二项式系数和及通项公式，属基础题．6．（2024•上海）展开式中的系数为15．〖祥解〗直接利用二项式的展开式求出结果．【解答】解：根据二项式展开．故答案为：15．【点评】本题考查的知识要点：二项式的展开式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．7．（2023•上海）设，则17．〖祥解〗根据二项式定理及组合数公式，即可求解．【解答】解：根据题意及二项式定理可得：．故答案为：17．【点评】本题考查二项式定理及组合数公式的应用，属基础题．8．（2023•上海）已知，若存在，1，2，，使得，则的最大值为49．〖祥解〗由二项展开式的通项可得，若，则为奇数，所以，即，从而求出的取值范围，得到的最大值．【解答】解：二项式的通项为，，1，2，，，二项式的通项为，，1，2，，，，，1，2，，，若，则为奇数，此时，，，，又为奇数，的最大值为49．故答案为：49．【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，属于中档题．9．（2022•上海）在的展开式中，则含项的系数为66．〖祥解〗求出展开式的通项公式，令的次数为，求出的值即可．【解答】解：展开式的通项公式为，由，得，得，即，即含项的系数为66，故答案为：66．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，根据条件求出通项公式，利用的次数建立方程是解决本题的关键，是基础题．10．（2021•上海）已知二项式展开式中，的系数为80，则2．〖祥解〗由二项展开式的通项公式可得的系数，再根据的系数为80，求出的值．【解答】解：的展开式的通项公式为，所以的系数为，解得．故答案为：2．【点评】本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题．11．（2021•上海）已知的展开式中，唯有的系数最大，则的系数和为64．〖祥解〗由已知可得，令，即可求得系数和．【解答】解：由题意，，且，所以，所以令，的系数和为．故答案为：64．【点评】本题主要考查二项式定理．考查二项式系数的性质，属于基础题．12．（2020•上海）已知二项式，则展开式中的系数为10．〖祥解〗由，可得到答案．【解答】解：，所以展开式中的系数为10．故答案为：10．【点评】本题考查利用二项式定理求特定项的系数，属于基础题．五．二项展开式的通项与项的系数（共1小题）13．（2022•上海）二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则10．〖祥解〗由题意，利用二项式展开式的通项公式，求得的值．【解答】解：二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，即，即，，故答案为：10．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．一．选择题（共2小题）1．（2024•浦东新区校级模拟）如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有2个元素，那么符合条件的点有A．4个 B．6个 C．10个 D．14个〖祥解〗根据分类计数加法原理可得，由题意符合条件的点只有两类，一在棱的中点，二在面的中心，问题得以解决．【解答】解：符合条件的点有两类：（1）6条棱的中点；（2）4个面的中心．共10个点．故集合中有且只有2个元素，那么符合条件的点有．故选：．【点评】本题主要考查了分类计数原理，关键是理解几何图形，属于基础题．2．（2024•黄浦区二模）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取40名学生，已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生，则不同的抽样结果的种数为A． B． C． D．〖祥解〗先确定初中部和高中部各抽取的人数，再利用组合数即可得．【解答】解：由题意，初中部和高中部总共有人，按照分层随机抽样的原理，应从初中部抽取人，从高中部抽取．从初中部抽取25人，有种方法，从高中部抽取15人，有种方法，根据分步乘法计数原理，一共有种抽样结果．故选：．【点评】本题考查分层抽样，考查组合数的应用，属于基础题．二．填空题（共47小题）3．（2024•闵行区校级三模）两本相同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有15种．〖祥解〗根据题意，需要先将4本书分为3组，再分配给3个小朋友，按4本书分为3组的不同情况讨论，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，不妨记两本相同的图书为元素1，1，两本不同的音乐书为元素3，4，需要先将4本书分为3组，再分配给3个小朋友，分3种情况讨论：若分为、1、的三组时，分配给三个小朋友的方法有种情况；若分为、1、的三组时，分配给三个小朋友的方法有种情况；若分为、1、的三组时，分配给三个小朋友的方法有种情况；综上，不同的分法共有种．故答案为：15．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．4．（2024•闵行区校级二模）如图，设点为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有2个元素，那么符合条件的点有10个．〖祥解〗根据分类计数原理求解即可．【解答】解：符合条件的点有两类：一，六条棱的中点；二，四个面的中心；集合中有且只有2个元素，符合条件的点有个．故答案为：10．【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属基础题．5．（2024•松江区校级模拟）把1、2、3、4、5这五个数随机地排成一个数列，要求该数列恰好先递增后递减，则这样的数列共有14个．〖祥解〗根据已知条件，分从1，2，3，4中选出一个数排在5的右侧，其余排在5的左侧，从1，2，3，4中选出两个数排在5的右侧，其余排在5的左侧，从1，2，3，4中选出三个数排在5的右侧，其余排在5的左侧三种情况讨论，并对所求的结果求和，即可求解．【解答】解：从1，2，3，4中选出一个数排在5的右侧，其余排在5的左侧，得到先增后减的数列有，从1，2，3，4中选出两个数排在5的右侧，其余排在5的左侧，得到先增后减的数列有，从1，2，3，4中选出三个数排在5的右侧，其余排在5的左侧，得到先增后减的数列有，故满足条件的数量总个数为个．故答案为：14．【点评】本题主要考查组合及简单计数问题，考查分类讨论的思想，属于基础题．6．（2024•虹口区模拟）中国古典数学的代表作有《算数书》《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》等．学校图书馆计划将这四本书借给3名学生阅读，要求每人至少读一本，则不同的借阅方式有36种（用数字作答）．〖祥解〗根据题意，分2步进行分析：①在四本书中选出2本，分配给三人中的1人，②剩下的2本安排给其余2人，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①在四本书中选出2本，分配给三人中的1人，有种分法，②剩下的2本安排给其余2人，有种分法，则有种借阅方式，故答案为：36．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．7．（2024•浦东新区校级四模）在展开式中，项的系数是60．〖祥解〗求出展开式的通项公式，令的指数为2，进而可以求解．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为，，1，，6，令，解得，所以的系数为，故答案为：60．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．8．（2024•闵行区三模）二项式展开式中的系数为5．〖祥解〗将化为，利用二项式系数结合组合数的计算，求得答案．【解答】解：因为，故展开式中的系数为．故答案为：5．【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．9．（2024•黄浦区二模）若的展开式中的系数是，则实数．〖祥解〗根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．【解答】解：若的展开式的通项公式为：，令，解得，的展开式中的系数是，则，解得．故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．10．（2024•浦东新区校级模拟）在的展开式中，项的系数为45．（结果用数值表示）〖祥解〗根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．【解答】解：，项只能在展开式中，即为，系数为．故答案为：45．【点评】本题主要考查二项式定理的应，属于基础题．11．（2024•闵行区二模）五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有96．〖祥解〗依题意，优先分析甲甲工程队，除1号子项目外有4种方法，其他4个工程队分别对应4个子项目，由排列公式可得其情况数目，根据乘法原理，分析可得答案．【解答】解：根据题意，甲工程队不能承建1号子项目，则有4种方法，其他4个工程队分别对应4个子项目，有种情况，根据乘法原理，分析可得有种情况；故答案为：96．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意优先分析受到限制的元素．12．（2024•杨浦区校级三模）若排列数，则3．〖祥解〗由排列数的运算公式计算即可得解．【解答】解：由得：因，则，解得，故答案为：3．【点评】本题考查了排列数的运算，属基础题．13．（2024•闵行区校级模拟）已知，关于的方程有且仅有一个解，则实数252．〖祥解〗由题意可知，由组合数公式计算即可得的值．【解答】解：因为关于的方程有且仅有一个解，所以，所以．故答案为：252．【点评】本题主要考查了组合数的计算，属于基础题．14．（2024•浦东新区校级模拟）若，则正整数的值为5或7．〖祥解〗由组合数的性质得到，列出方程，求出答案．【解答】解：由组合数性质：，可得，则，所以或，解得或．故答案为：5或7．【点评】本题主要考查组合数公式，属于基础题．15．（2024•闵行区二模）已知空间中有2个相异的点，现每增加一个点使得其与原有的点连接成尽可能多的等边三角形．例如，空间中3个点最多可连接成1个等边三角形，空间中4个点最多可连接成4个等边三角形．当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成20个等边三角形．〖祥解〗利用已知条件，判断求解空间中这8个点最多可连接成等边三角形的个数．【解答】解：正四面体的每一个面向外作一个正四面体，此时是增加一个点，增加正三角形3个，新增加的4个点，又是1个正四面体，所以当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成．故答案为：20．【点评】本题考查空间想象能力，发现问题解决问题的能力，是基础题．16．（2024•浦东新区校级模拟）已知，且，则2．〖祥解〗利用二项展开式的通项公式，分析含项的构成，求出．【解答】解：由题意，为中的系数．因为的二项展开式的通项公式为，所以的展开式中含项的系数为：，解得：．故答案为：2．【点评】本题考查二项式定理，属于基础题．17．（2024•浦东新区三模）若，则的值为．〖祥解〗直接利用赋值法求出结果．【解答】解：令，故，令，故，故．故答案为：．【点评】本题考查的知识点：赋值法，主要考查学生的运算能力，属于基础题．18．（2024•青浦区校级模拟）已知的展开式中项的系数为，则．〖祥解〗直接利用二项展开式的通项公式求解．【解答】解：由题意得，解得，故答案为：．【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，主要考查学生的运算能力，属于基础题．19．（2024•闵行区校级模拟）的展开式中的系数是8．〖祥解〗写出二项式展开式的通项公式，令的指数为1，解出，可得展开式中的系数．【解答】解：的通项公式为，，1，2，3，4，令，解得，即二项式展开式中的系数是．故答案为：8．【点评】本题考查二项式展开式的应用，属于基础题．20．（2024•杨浦区二模）已知二项式，其展开式中含项的系数为45．〖祥解〗利用二项式定理求出含的项，由此即可求解．【解答】解：展开式中含的项为，所以的系数为45．故答案为：45．【点评】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．21．（2024•松江区二模）已知，则21．〖祥解〗直接利用二项式的展开式和组合数求出结果．【解答】解：根据，根据二项式的展开式，，1，2，3，4，5，6，；令，故．故答案为：21．【点评】本题考查的知识要点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．22．（2024•崇明区二模）若的二项式展开式中的系数为10，则．〖祥解〗直接利用二项式的展开式以及组合数的运算求出结果．【解答】解：根据的二项式展开式，1，2，3，4，；当时，的系数为，解得．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：二项式的展开式，组合数的运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题．23．（2024•长宁区二模）在的二项展开式中，的系数是4（结果用数字作答）．〖祥解〗由其二项展开式的通项公式即可求得的系数．【解答】解：的二项展开式的通项公式，令得．的系数为：．故答案为：4．【点评】本题考查二项式定理，熟练应用其通项公式是关键，属于基础题．24．（2024•嘉定区校级模拟）已知，则．〖祥解〗采用赋值法求解即可．【解答】解：令，则，令，则，故．故答案为：．【点评】本题考查二项式定理的应用，属于基础题．25．（2024•浦东新区校级四模）在的展开式中，系数为有理数的项共有6项．〖祥解〗利用二项展开式的通项公式求出展开式的第项，系数为有理数，必为4的倍数．【解答】解：二项式展开式的通项公式为要使系数为有理数，则必为4的倍数，所以可为0，4，8，12，16，20共6种，故系数为有理数的项共有6项．故答案为6【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．26．（2024•青浦区二模）的二项展开式中的常数项为160．〖祥解〗直接利用二项式的展开式和组合数求出结果．【解答】解：根据二项式的展开式：，1，2，3，4，5，，当时，常数项为．故答案为：160．【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．27．（2024•徐汇区校级模拟）的二项展开式的各项系数之和为256，则该二项展开式中的常数项为54．〖祥解〗先利用赋值法求出的值，然后利用展开式通项求常数项．【解答】解：令，则，解得，所以展开式通项为：，且，令得，，故常数项为：．故答案为：54．【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，考查了赋值法的应用，属于基础题．28．（2024•浦东新区校级三模）的展开式的第四项为．〖祥解〗利用二项式的通项公式可求得答案．【解答】解：的展开式的第四项为．故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式及特定项的求法，属于基础题．29．（2024•闵行区三模）4名志愿者全部分到3所学校支教，要求每所学校至少有1名志愿者，则不同的分法共有36种．〖祥解〗先把4名志愿者分成3组，再将三组分到三所学校即可．【解答】解：根据题意，4名志愿者分为1，1，2三组有种分法，再将三组分到三个学校有种方法，故不同的分法有种．故答案为：36．【点评】本题考查接排列组合问题，属于中档题．30．（2024•闵行区校级三模）某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有4050种．〖祥解〗先考虑两对混双的组合的方法，余下4名男选手和4名女选手各有3种不同的配对方法组成两对男双组合，两对女双组合，推出结果．【解答】解：先考虑两对混双的组合有种不同的方法，余下4名男选手和4名女选手各有3种不同的配对方法组成两对男双组合，两对女双组合，故共有．故答案为：4050．【点评】本题考查计数原理，以及排列、组合的简单应用，是中档题．31．（2024•杨浦区二模）有5名志愿者报名参加周六、周日的公益活动，若每天从这5人中安排2人参加，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有60种．〖祥解〗先选出1人在这两天都参加的分法，然后安排其它志愿者即可．【解答】解：有5名志愿者报名参加周六、周日的公益活动，若每天从这5人中安排2人参加，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有：（种．故答案为：60．【点评】本题考查了排列组合的综合应用，计数原理的应用，属于中档题．32．（2024•杨浦区校级三模）在的展开式中，项的系数是10．〖祥解〗利用二项展开式的通项公式可求得答案．【解答】解：在的展开式中，通项，1，2，，，令，得，故项的系数为．故答案为：10．【点评】本题考查二项式定理的应用，属于基础题．33．（2024•黄浦区校级三模）用这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇数共有840个．〖祥解〗由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理及分类加法计数原理求解．【解答】解：用这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇数可分为2类：①当数位上数字为奇数且个数为2时，则有个；②当数位上数字为奇数且个数为4时，则有个，则各个数位上数字和为偶数的奇数共有个．故答案为：840．【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理及分类加法计数原理，属中档题．34．（2024•徐汇区模拟）将四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有四种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为72．〖祥解〗首先给顶点选色，有4种结果，再给选色有3种结果，再给选色有2种结果，最后分两种情况即与同色与与不同色来讨论，根据分步计数原理和分类计数原理得到结果．【解答】解：设四棱锥为．下面分两种情况即与同色与与不同色来讨论，（1）的着色方法种数为，的着色方法种数为，的着色方法种数为，与同色时的着色方法种数为1，的着色方法种数为，（2）的着色方法种数为，的着色方法种数为，的着色方法种数为，与不同色时的着色方法种数为，的着色方法种数为．综上两类共有种结果．故答案为：72．【点评】本题主要排列与组合及两个基本原理，总体需分类，每类再分步，综合利用两个原理解决，属中档题．35．（2024•虹口区二模）3个男孩和3个女孩站成一排做游戏，3个女孩不相邻的站法种数为144．〖祥解〗由排列、组合及简单计数问题，结合插空法求解．【解答】解：3个男孩和3个女孩站成一排做游戏，3个女孩不相邻，先将3个男孩全排，然后在男孩之间的4个空中选3个空排3个女孩即可，即不同的站法种数为．故答案为：144．【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了插空法，属中档题．36．（2024•浦东新区校级三模）2024年重庆市高考数学科目采用新试卷结构，我校高三年级将对来自三个班级的9名学生（每个班级3名学生）做一项围绕适应新试卷结构的调研，并再抽选其中的若干名学生做访谈，要求每个班级至少有一名学生被抽中，且任意两个班级被抽中的学生人数之和至多为3，则不同的抽选方法数为108．〖祥解〗由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法及分步乘法计数原理求解．【解答】解：当三个班级的人数为”1，1，1“时，则不同的抽选方法数为；当三个班级的人数为”1，2，1“时，则不同的抽选方法数为，即不同的抽选方法数共有．故答案为：108．【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法及分步乘法计数原理，属中档题．37．（2024•松江区二模）某校高一数学兴趣小组一共有30名学生，学号分别为1，2，3，，30，老师要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有1540种不同的选择方法．〖祥解〗设挑选出的三名学生的学号分别为，，，不妨设，根据任意两人的学号之差绝对值大于等于5列方程，运用隔板法求解．【解答】解：设挑选出的三名学生的学号分别为，，，不妨设，则有恒等式，其中，，，，即，，，，故式为，上式四个正整数的和为23，相当于23个1分成四组，运用隔板法，在22个空中放3块板，故有种方法．故答案为：1540．【点评】本题考查隔板法的应用，属于中档题．38．（2024•普陀区校级模拟）若，则．〖祥解〗由组合数以及分类加法和分步乘法计数原理即可得解．【解答】解：表示5个因数的乘积．而为展开式中的系数，设这5个因数中分别取、、2这三项分别取，，个，所以，若要得到含的项，则由计数原理知，，的取值情况如下表：2个个个050131212由上表可知．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：二项式的展开式，组合数的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．39．（2024•闵行区校级三模）若的二项展开式中第3项与第5项的系数相等，则该展开式中的系数为6．〖祥解〗直接利用二项式的展开式以及组合数的应用求出结果．【解答】解：根据二项式的展开式该题的展开式的系数和二项式的系数相等；即，故；所以的二项式的展开式为，1，2，3，4，5，，当时，该展开式中的系数为．故答案为：6．【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．40．（2024•普陀区模拟）设，若，且，则1023．〖祥解〗根据，且，以及二项式定理的性质可得，再令可解．【解答】解：因为，若，且，则，令时，，又，当时，．故答案为：1023．【点评】本题考查二项式定理相关知识，属于中档题．41．（2024•嘉定区校级模拟）设，则4096．〖祥解〗采用赋值法，令即可求出结果．【解答】解：令，则，即，故答案为：4096．【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，赋值法，主要考查学生的运算能力，属于中档题．42．（2024•闵行区校级三模）已知，则的值为10．〖祥解〗直接利用二项展开式和组合数求出结果．【解答】解：已知，根据二项展开式，当时，．故答案为：10．【点评】本题考查的知识要点：二项展开式，组合数，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．43．（2024•松江区校级模拟）若、为正整数）的二项展开式中关于的一次项系数之和