2020-2024五年高考数学真题分类汇编专题11 直线和圆的方程（真题8个考点精准练+模拟练）（解析版）

2020-2024年五年高考真题分类汇编PAGEPAGE1专题11直线和圆的方程（真题8个考点精准练+精选模拟练）5年考情考题示例考点分析2024年春考2、11题直线的倾斜角、圆的标准方程2023年秋考7题2023年春考4题圆的一般方程圆的一般方程2022春考16题2022春考7题直线与圆的位置关系方程组解的个数与两直线的位置关系2021年秋考3题2021年春考5题圆的一般方程两直线的夹角与到角问题2020年秋考20题2020年春考7题双曲线与圆的定义和方程、性质，考查直线和圆的方程、双曲线的方程的联立，以及向量的数量积的几何意义两条平行直线间的距离一．直线的倾斜角（共1小题）1．（2024•上海）直线的倾斜角大小为．〖祥解〗求出直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系，即可求得倾斜角的大小．【解答】解：由直线变形得：，设直线的倾斜角为，即，因为，，所以．故答案为：．【点评】本题考查了直线的倾斜角的求法，以及特殊角的三角函数值．熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系是解本题的关键，同时注意直线倾斜角的范围，属基础题．二．方程组解的个数与两直线的位置关系（共1小题）2．（2022•上海）若关于，的方程组有无穷多解，则实数的值为4．〖祥解〗根据题意，分析可得直线和平行，由此求出的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，若关于，的方程组有无穷多解，则直线和重合，则有，即，解可得，当时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意，当时，两直线平行，方程组无解，不符合题意，故．故答案为：4【点评】本题考查直线与方程的关系，注意转化为直线与直线的关系，属于基础题．三．两条平行直线间的距离（共1小题）3．（2020•上海）已知直线，，若，则与的距离为．〖祥解〗由求得的值，再根据两平行线间的距离计算即可．【解答】解：直线，，当时，，解得；当时与重合，不满足题意；当时，此时，；则与的距离为．故答案为：．【点评】本题考查了平行线的定义和平行线间的距离计算问题，是基础题．四．两直线的夹角与到角问题（共1小题）4．（2021•上海）直线与直线的夹角为．〖祥解〗先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．【解答】解：直线的斜率不存在，倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为，故直线与直线的夹角为，故答案为：．【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题．五．圆的标准方程（共1小题）5．（2024•上海）正方形草地边长1.2，到，距离为0.2，到，距离为0.4，有个圆形通道经过，，且与只有一个交点，求圆形通道的周长2.73．（精确到〖祥解〗先确定圆的圆心坐标和半径，从而得出结论．【解答】解：以为原点，线段所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，易知，．不妨设中点为直线中垂线所在直线方程为，化简得．所以可设圆心为，半径为，且经过，点，即，化简得，求得．结合题意可得，．故有圆的周长．【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，圆的标准方程，属于中档题．六．圆的一般方程（共3小题）6．（2023•上海）已知圆的面积为，则．〖祥解〗先把圆的一般方程化为标准方程，再结合圆的半径为1求解即可．【解答】解：圆化为标准方程为：，圆的面积为，圆的半径为1，，．故答案为：．【点评】本题主要考查了圆的标准方程，属于基础题．7．（2023•上海）已知圆的一般方程为，则圆的半径为1．〖祥解〗把圆的一般方程化为标准方程，可得圆的圆心和半径．【解答】解：根据圆的一般方程为，可得圆的标准方程为，故圆的圆心为，半径为1，故答案为：1．【点评】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属基础题．8．（2021•上海）若，求圆心坐标为．〖祥解〗将一般方程化为标准方程，然后确定其圆心坐标即可．【解答】解：由，可得圆的标准方程为，所以圆心坐标为．故答案为：．【点评】本题考查了圆的一般方程和标准方程，考查了转化思想，属于基础题．七．其他形式的圆和圆弧的方程（共1小题）9．（2020•上海）已知双曲线与圆交于点，（第一象限），曲线为、上取满足的部分．（1）若，求的值；（2）当，与轴交点记作点、，是曲线上一点，且在第一象限，且，求；（3）过点斜率为的直线与曲线只有两个交点，记为、，用表示，并求的取值范围．〖祥解〗（1）联立曲线与曲线的方程，以及，解方程可得；（2）由双曲线的定义和三角形的余弦定理，计算可得所求角；（3）设直线，求得到直线的距离，判断直线与圆的关系：相切，可设切点为，考虑双曲线的渐近线方程，只有当时，直线才能与曲线有两个交点，解不等式可得的范围，由向量投影的定义求得，进而得到所求范围．【解答】解：（1）由，点为曲线与曲线的交点，联立，解得，；（2）由题意可得，为曲线的两个焦点，由双曲线的定义可得，又，，所以，因为，则，所以，在△中，由余弦定理可得，由，可得；（3）设直线，可得原点到直线的距离，所以直线是圆的切线，设切点为，所以，并设与圆联立，可得，可得，，即，注意直线与双曲线的斜率为负的渐近线平行，所以只有当时，直线才能与曲线有两个交点，由，可得，所以有，解得或（舍去），因为为在上的投影可得，，所以，则，．【点评】本题考查双曲线与圆的定义和方程、性质，考查直线和圆的方程、双曲线的方程的联立，以及向量的数量积的几何意义，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．八．直线与圆的位置关系（共1小题）10．（2022•上海）设集合，，①存在直线，使得集合中不存在点在上，而存在点在两侧；②存在直线，使得集合中存在无数点在上；A．①成立②成立 B．①成立②不成立 C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立〖祥解〗分，，，求出动点的轨迹，即可判定．【解答】解：当时，集合，，，当时，集合，，，表示圆心为，半径为的圆，圆的圆心在直线上，半径单调递增，相邻两个圆的圆心距，相邻两个圆的半径之和为，因为有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离，当时，同的情况，故存在直线，使得集合中不存在点在上，而存在点在两侧，故①正确，若直线斜率不存在，显然不成立，设直线，若考虑直线与圆的焦点个数，，，给定，，当足够大时，均有，故直线只与有限个圆相交，②错误．故选：．【点评】本题考查了动点的轨迹、直线与圆的位置关系，属于中档题．一．选择题（共9小题）1．（2024春•长宁区期末）圆与圆的位置关系是A．相交 B．内切 C．相离 D．外切〖祥解〗把第一个圆的方程化为标准方程，找出圆心的坐标和半径，再由第二个圆的方程找出圆心的坐标和半径，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离，发现，从而判断出两圆位置关系是内切【解答】解：把圆化为标准方程得：，圆心的坐标为，半径，由圆，得到圆心坐标为，半径，两圆心间的距离，，即，则两圆的位置关系是内切．故选：．【点评】此题考查了圆的标准方程，两点间的基本公式，以及圆与圆位置关系的判断，圆与圆位置关系的判断方法为：当时，两圆内含；当时，两圆内切；当时，两圆相交；当时，两圆外切；当时，两圆相离表示两圆心间的距离，及分别表示两圆的半径）．2．（2024•浦东新区二模）“”是“直线与直线平行”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件〖祥解〗由充分条件与必要条件的概念集合两直线平行的判断即可求解．【解答】解：若，则两条直线分别为，，显然两条直线相互平行，充分性成立；若直线与直线平行，则，且，所以，必要性成立．故选：．【点评】本题考查直线平行的应用，属于基础题．3．（2024春•虹口区期末）已知两条直线和，以下说法正确的是A． B．与重合 C． D．与的夹角为〖祥解〗根据题意，将两条直线都化成斜截式，然后比较它们的斜率与截距，可得正确结论．【解答】解：直线，即；直线，即．因为直线与直线的斜率相等，且它们在轴上的截距不相等，所以，项的结论正确．故选：．【点评】本题主要考查直线的方程、两条直线平行与方程的关系等知识，属于基础题．4．（2024•杨浦区校级三模）已知，直线，，则“”是“”的条件．A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要〖祥解〗根据两条直线平行与方程的关系，对两个条件进行正反推理论证，结合充要条件的定义判断出正确结论．【解答】解：当时，直线，直线，两条直线的斜率都等于，且在轴上的截距不相等，所以；当时，可得，且，解得或0．综上所述，“”是“”的充分不必要条件．故选：．【点评】本题主要考查了两条直线平行与方程的关系、充要条件的定义与判断等知识，属于基础题．5．（2024春•嘉定区期末）直线与直线的夹角为A． B． C． D．〖祥解〗先根据直线的斜率求出直线的倾斜角，再利用两条直线的倾斜角的大小求出这两条直线的夹角．【解答】解：因为直线的斜率不存在，故倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为，故两直线的夹角为．故选：．【点评】本题考查直线的斜率和倾斜角的关系，由两条直线的倾斜角求出两条直线的夹角，是基础题．6．（2024•普陀区校级三模）已知圆，直线，则直线与圆有公共点的必要不充分条件是A． B． C． D．〖祥解〗先根据直线与圆的位置关系，借助点到直线的距离公式，求出的取值范围，即直线与圆有公共点的充要条件，再确定那个是必要不充分条件．【解答】解：由题意可知圆的圆心坐标为，半径为1．因为直线与圆有公共点，所以直线与圆相切或相交，所以圆心到直线的距离，解得．其必要不充分条件是把的取值范围扩大，所以选项中只有是的必要不充分条件．故选：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，是中档题．7．（2024•普陀区模拟）直线经过定点，且与轴正半轴、轴正半轴分别相交于，两点，为坐标原点，动圆在的外部，且与直线及两坐标轴的正半轴均相切，则周长的最小值是A．3 B．5 C．10 D．12〖祥解〗先设动圆的圆心坐标为，，，结合直线与圆相切的性质可得，当圆与直线相切于点处时，圆半径最小，结合两点间距离公式即可求解．【解答】解：设动圆的圆心坐标为，即圆半径，由题意，设，，圆与直线相切于点，则，，所以，即的周长为，所以的周长最小即为圆半径最小，因为直线过定点，所以当圆与直线相切于点处时，圆半径最小，此时，化简得，则或5，当时，圆心在内，不合题意；当时，即圆半径的最小值为5，周长的最小值为．故选：．【点评】本题主要考查了直线与圆相切性质的应用，直线方程的应用，属于中档题．8．（2024•黄浦区校级三模）直线的倾斜角的取值范围是A．， B．， C．， D．，，〖祥解〗根据直线斜率和倾斜角之间的关系，即可得到结论．【解答】解：①当时，斜率不存在，即倾斜角为；②当时，直线的斜率，，即直线的倾斜角的取值范围为．③当时，直线的斜率，，即直线的倾斜角的取值范围为．综上，直线的倾斜角的取值范围为，故选：．【点评】本题主要考查直线斜率和倾斜角之间的关系，利用基本不等式求出斜率的取值服务是解决本题的关键．9．（2024春•黄浦区校级期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是A． B． C． D．〖祥解〗根据题意得：为恒过定点的直线，曲线表示圆心为，半径为1的上半圆，由此利用数形结合思想能求出的取值范围．【解答】解：根据题意得：为恒过定点的直线，由曲线，可得，所以曲线表示圆心为，半径为1的上半圆，如图所示，当直线与圆相切时，有，解得：（舍去）或，把代入，得，的取值范围是，．故选：．【点评】本题考查直线的斜率的取值范围的求法，考查直线、圆、点到直线距离公式、直线与圆相切等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，属中档题．二．填空题（共34小题）10．（2024•嘉定区校级模拟）已知直线与两直线和平行且距离相等，则的方程为．〖祥解〗设直线，，利用两平行线间的距离公式，求得的值．【解答】解：根据直线与两直线和平行且距离相等，可设直线，，，，故答案为：．【点评】本题主要考查两平行线间的距离公式的应用，要注意先把两直线的方程中，的系数化为相同的，然后才能用两平行线间的距离公式．11．（2024•青浦区二模）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为．〖祥解〗由直线的方程，可得它的倾斜角，由题意可得直线的倾斜角的大小，进而求出直线的斜率．【解答】解：直线的倾斜角为，由题意可得直线的倾斜角为，所以直线的斜率为．故答案为：．【点评】本题考查直线的斜率的求法，属于基础题．12．（2024•黄浦区校级三模）直线与直线互相平行，则实数2〖祥解〗根据两直线平行的条件列出方程求得的值．【解答】解：直线与直线互相平行，则，解得．故答案为：2．【点评】本题考查了直线方程平行条件的应用问题，是基础题．13．（2024春•杨浦区期末）平行直线及之间的距离是2．〖祥解〗根据两平行直线间的距离公式，求解即可．【解答】解：平行直线及之间的距离是．故答案为：2．【点评】本题考查了两平行线间的距离计算问题，是基础题．14．（2024春•杨浦区期末）已知圆的方程为，则圆心的坐标为．〖祥解〗把圆的方程化为标准方程，即可求解圆心的坐标．【解答】解：因为圆的方程为可化为，则圆心的坐标为．故答案为：．【点评】本题主要考查了圆心坐标的求解，属于基础题．15．（2024•闵行区校级三模）罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计．曲线上的动点到原点的距离的取值范围是．〖祥解〗先设曲线上的动点为，则，再令，，计算可得的范围．【解答】解：由题意知，，设曲线上的动点为，到原点的距离为，则，令，则，，则，可得，所以．故答案为：．【点评】本题主要考查两点之间的距离公式，属于基础题．16．（2024•嘉定区校级模拟）若是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角大小为．〖祥解〗先求出直线的斜率，由此能求出直线的倾斜角大小．【解答】解：是直线的一个方向向量，直线的斜率，直线的倾斜角大小为．故答案为：．【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，考查直线的方向向量、斜率、倾斜角等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17．（2024•黄浦区校级三模）已知直线的倾斜角为，且直线与直线垂直，则．〖祥解〗根据题意，求得直线的斜率，结合直线、互相垂直算出的斜率，进而求出倾斜角的大小．【解答】解：直线即，斜率，因为直线、互相垂直，所以直线的斜率，直线的倾斜角为，则，结合，，可知．故答案为：．【点评】本题主要考查直线的方程及其性质、两条直线垂直与方程的关系等知识，属于基础题．18．（2024春•徐汇区校级期末）已知直线与直线垂直，则2．〖祥解〗根据两直线垂直，分类讨论，直接列出方程求解，即可得出结果．【解答】解：当时，，由知，斜率为2，所以直线与不垂直，不符合题意；当时，，因为直线与直线垂直，所以，解得．故答案为：2．【点评】本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．19．（2024春•虹口区期末）设实数和均是集合，2，3，中的两个不同的元素，则方程所表示的不同直线的条数为12．〖祥解〗由于集合，2，3，中的元素不能选出成比例的两对，所以任取实数、，得到的直线都不与其它直线重合，由此利用计数原理算出答案．【解答】解：从集合，2，3，中取出两个数作为、，得到方程，共有种方法，因为这12个方程对应的直线中任意两条直线都不重合，所以方程所表示的不同直线有12条．故答案为：12．【点评】本题主要考查直线的方程、计数原理的应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．20．（2024春•长宁区期末）直线与直线的夹角大小为．〖祥解〗由直线斜率与倾斜角的关系，再结合直线夹角的概念即可求解．【解答】解：因为直线的斜率为，则其倾斜角为，所以直线与直线的夹角大小为．故答案为：．【点评】本题主要考查两直线的夹角公式的应用，属于基础题．21．（2024春•徐汇区校级期末）设点是曲线上一点，则点到直线最小的距离为．〖祥解〗设，利用点到直线距离公式表示出点到直线距离，根据函数最值即可求解．【解答】解：点是曲线上一点，则可设，则点到直线的距离为，当时，．故答案为：．【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题．22．（2024春•徐汇区校级期末）已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是．〖祥解〗根据给定条件，利用平行线间距离公式计算得解．【解答】解：由直线与直线互相平行，得，则直线与直线的距离为：．故答案为：．【点评】本题主要考查平行直线间的距离公式，属于基础题．23．（2024春•宝山区期末）经过点，且与直线平行的直线的方程为．〖祥解〗由题可设所求直线方程为，将点的坐标代入，求出的值，即可得解．【解答】解：设与直线平行的直线方程为，将点代入，可得，解得，所以经过点，且与直线平行的直线的方程为．故答案为：．【点评】本题主要考查直线的一般式方程与直线的平行关系，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．24．（2024春•浦东新区校级期末）与圆外切且圆心在原点的圆的标准方程为．〖祥解〗先求得已知圆的圆心和半径，再根据外切的性质可得所求圆的半径，进而得解．【解答】解：将圆化为标准方程为，则其圆心坐标为，半径为2，设所求圆的半径为，则，解得，可得所求圆的标准方程为．故答案为：．【点评】本题考查圆与圆的位置关系以及圆的方程，考查运算求解能力，属于基础题．25．（2024•青浦区校级模拟）已知圆恒过定点，，则直线的方程为．〖祥解〗根据题意将圆方程整理，可得，利用圆系方程得出：圆经过圆与直线的交点，进而可得直线的方程．【解答】解：圆，可化为，由此可得：圆是经过圆与直线的交点的一个圆，因此，直线就是直线，即直线的方程为．故答案为：．【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．26．（2024•浦东新区二模）已知圆，圆，若两圆相交，则实数的取值范围为．〖祥解〗由已知结合两圆位置关系的条件建立关于的不等式，即可分别求解．【解答】解：因为圆可化为，圆心，半径为1，圆可化为，圆心，半径为3，，若两圆相交，则，即．故答案为：．【点评】本题主要考查了两圆位置关系的应用，属于基础题．27．（2024春•徐汇区校级期末）已知两点，所在直线的斜率为1，则0．〖祥解〗根据两点的斜率公式计算可得．【解答】解：因为两点，所在直线的斜率为1，所以，解得．故答案为：0．【点评】本题考查了直线的斜率，属于基础题．28．（2024春•浦东新区校级期末）直线与直线的夹角大小为．〖祥解〗分别求出直线和直线的倾斜角，由此可得它们的夹角大小．【解答】解：直线的倾斜角为，直线的斜率为，则其倾斜角为，所以直线与直线的夹角大小为．故答案为：．【点评】本题考查两直线的夹角求解，考查运算求解能力，属于基础题．29．（2024春•宝山区期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为．〖祥解〗根据题意，取两个不同的值得到两条直线，然后解方程组得到两条直线的交点坐标，再加以验证即可得出答案．【解答】解：当时，直线为；当时，直线为．由，解得，即两条直线的交点为，将代入方程的左边，得，恒成立，因此，直线经过的定点坐标为．故答案为：．【点评】本题主要考查直线的方程、含有参数的直线方程的性质等知识，属于基础题．30．（2024春•静安区期末）圆在点处的切线方程为．〖祥解〗设所求切线为，根据点在圆上，得到，由此利用垂直的关系算出的斜率，进而求出切线的方程．【解答】解：设所求切线为，由在圆上，可知，因为的斜率，所以切线的斜率，可得切线的方程为，即．故答案为：．【点评】本题主要考查直线的方程、圆的方程、圆的切线的性质等知识，属于基础题．31．（2024•长宁区二模）直线与直线的夹角大小为．〖祥解〗根据题意，先求出两条直线的斜率，然后利用两角差的正切公式算出夹角的正切值，进而可得答案．【解答】解：设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，，满足，，，，因为，所以，即两条直线的夹角大小为．故答案为：．【点评】本题主要考查直线的斜率与倾斜角、两角差的正切公式等知识，考查了计算能力，属于基础题．32．（2024•嘉定区校级模拟）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，，，则曼哈顿距离，余弦距离，，，其中为坐标原点）．已知点，，则的最大值为．〖祥解〗根据题意作出示意图形，可得点在正方形的边上运动，结合题意分析，的最大值，即可求出本题的答案．【解答】解：设，由题意得：，即，而表示的图形是正方形，其中、、、．即点在正方形的边上运动，，，可知：当，取到最小值时，，最大，相应的有最大值．因此，点有如下两种可能：①点为点，则，可得，；②点在线段上运动时，此时与同向，取，则，．因为，所以的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查直线的方程及其应用、平面向量的夹角与数量积等知识，考查了计算能力、图形的理解能力，属于中档题．33．（2024•闵行区校级三模）用表示点与曲线上任意一点距离的最小值．已知圆及圆，设点为圆上的动点，则的最大值为3．〖祥解〗由圆心距与半径的关系可得两圆相离，再由题意与圆的相关知识即可求得．【解答】解：由圆，得圆心，半径，由圆，得圆心，半径，因为，所以两圆外离，因为点为圆上的动点，所以，所以的最大值为．故答案为：3．【点评】本题考查两圆的位置关系，涉及圆上的点与圆心的距离的最值问题，属于中档题．34．（2024•浦东新区校级四模）直线与圆相交所得的弦长为，则实数2．〖祥解〗将圆方程化成标准方程，求出圆心为，半径，然后根据直线被圆截得的弦长为，由弦长公式建立关于的方程，解之可得实数的值．【解答】解：圆，化成标准方程得，可知圆心为，半径，圆心到直线的距离，因为直线与圆相交所得弦长为，所以，即，解得（舍负）．故答案为：2．【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式及其应用，属于中档题．35．（2024春•宝山区期末）我国著名数学家华罗庚说“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”，包含的意思是：几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述，通过“数”与“形”的相互转化，常常可以巧妙地解决问题，所以“数形结合”是研究数学问题的重要思想方法之一．比如：这个代数问题可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点可得，方程的解为．〖祥解〗根据题意，先求出以、为焦点，实轴长为的双曲线方程，然后设该双曲线与直线交于点，由双曲线的定义推出的纵坐标是方程的解，进而由直线与双曲线的方程解出的值，即可得到所求方程的解．【解答】解：设动点满足，若，，则，，可得，可知点在以、为焦点的双曲线上，双曲线的焦距，可得，由，可得，所以，双曲线的方程为，设该双曲线与直线交于点，由双曲线的定义得，点的纵坐标是方程的解，在中令，得，解得，所以方程的解是．故答案为：．【点评】本题主要考查两点间的距离公式、双曲线的定义与标准方程等知识，考查了计算能力、概念的理解能力，属于中档题．36．（2024•徐汇区模拟）若两圆与相内切，则．〖祥解〗求出两圆的圆心坐标分别为、，半径分别为1和2．根据两圆内切，利用两点的距离公式建立关于的等式，解之即可得到正数的值．【解答】解：将圆化为标准方程，得，圆的圆心为、半径，同理可得圆的圆心为、半径，两圆内切，两圆的圆心距等于它们的半径之差，可得，解之得或，故答案为：．【点评】本题给出含有字母参数的圆方程，在两圆内切的情况下求参数的值．着重考查了圆的标准方程、两点间的距离公式和两圆的位置关系等知识，属于中档题．37．（2024•闵行区校级二模）在平面直角坐标系中，已知是圆上的动点，若，，，则的最小值为8．〖祥解〗由向量的运算，结合圆的性质求解．【解答】解：在平面直角坐标系中，已知是圆上的动点，若，，，则，则．故答案为：8．【点评】本题考查了向量的运算，重点考查了圆的性质，属中档题．38．（2024•虹口区模拟）已知点在圆内，过点的直线被圆截得的弦长最小值为8，则．〖祥解〗根据点与圆的位置关系，可求得的取值范围，再利用过圆内一点最短的弦，结合弦长公式可得到关于的方程，求解即可．【解答】解：由点在圆内，所以，又，解得，过圆内一点最短的弦，应垂直于该定点与圆心的连线，即圆心到直线的距离为，又，，所以，解得，故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题．39．（2024•浦东新区校级四模）已知曲线和圆有2个交点，则实数的取值范围是．〖祥解〗分，，，几种情况，结合图象的变换知识即可求的取值范围．【解答】解：当时，由图象的变换可得，与一定有两个交点，当，过点，求导可得，，所以在处的切线方程为，此时的圆心到直线的距离，所以直线与圆只有一个公共点，此时与只有一个交点，当向左移动时，即时，与一定没有交点，当时，与一定有两个交点，故曲线与有两个交点时的取值范围为．故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系问题，考查了分类讨论思想，是中档题．40．（2024春•虹口区期末）直线被圆所截得的弦长为2．〖祥解〗根据题中给出的圆的方程，写出圆心坐标与半径，然后求解圆心到直线的距离，最后利用垂径定理可直接求解弦长．【解答】解：由圆，可得圆心坐标为，半径为3，所以点到直线的距离，所以直线被圆截得的弦长为．故选：2．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．41．（2024春•徐汇区校级期末）已知圆，，是过原点且互相垂直的两条直线，若被截得的弦长与被截得的弦长的比为，则直线的斜率．〖祥解〗根据题意可设直线，直线，结合垂径定理求弦长，列式求解即可．【解答】解：因为圆，即为，可知圆心为，半径，由题意知：直线，的斜率存在，且不为0，设直线，则直线，则圆心到直线，的距离分别为，由题意可得：，解得．故答案为：．【点评】本题考查了圆的性质，重点考查了直线与圆的位置关系，属中档题．42．（2024春•黄浦区校级期末）过圆上一点的圆的切线方程为．〖祥解〗由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，然后求出与圆心的距离判断出在圆上即为切点，根据圆的切线垂直于过切点的直径，由圆心和的坐标求出确定直线方程的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为，求出切线的斜率，根据坐标和求出的斜率写出切线方程即可．【解答】解：由圆，得到圆心的坐标为，圆的半径，而，所以在圆上，则过作圆的切线与所在的直线垂直，又，得到所在直线的斜率为2，所以切线的斜率为，则切线方程为：即．故答案为：．【点评】此题考查学生掌握点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系，掌握两直线垂直时斜率所满足的关系，会根据一点的坐标和直线的斜率写出直线的方程，是一道综合题．43．（2024春•徐汇区校级期末）已知，，是圆上的一个动点，则的最大值为．〖祥解〗设，则，其中，由余弦定理求得，再由平方关系得，然后由导数求得最大值．【解答】解：设，则，其中．因为，，所以，由余弦定理得：，因为，所以，所以，记，则，所以令，解得：，函数递增；令，解得：，函数递减；所以．故答案为：．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．三．解答题（共3小题）44．（2024春•长宁区期末）（1）已知直线方程，，求出实数分别取何值时，与分别：相交、平行、垂直；（2）已知曲线的方程为，求过点且与曲线相切的直线方程．〖祥解〗（1）先分别求出平行、重合以及垂直时的值，然后再利用直线的位置关系以及