2020-2024五年高考数学真题分类汇编专题02不等式（真题5个考点精准练+模拟练）解析版

2020-2024年五年高考真题分类汇编PAGEPAGE1专题02不等式（真题5个考点精准练+精选模拟练）5年考情考题示例考点分析2024年秋考3题2024年春考6,13题一元二次不等式及其应用基本不等式及其应用，不等式的性质2023秋考1题2023春考3题绝对值不等式2022秋考14题2022春考3，19题基本不等式及其应用分式不等式，基本不等式及其应用2021年春考4题分式不等式2020年秋考13题基本不等式及其应用一．等式与不等式的性质（共1小题）1．（2022•上海）若，则下列不等式恒成立的是A． B． C． D．〖祥解〗根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：对于，令，，，，满足，但，故错误，对于，，即，，由不等式的可加性可得，，故正确，对于，令，，，，满足，但，故错误，对于，令，，，，满足，但，故错误．故选：．【点评】本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题．二．不等关系与不等式（共2小题）2．（2024•上海），，，，下列不等式恒成立的是A． B． C． D．〖祥解〗根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：对于，若，则，选项不成立，故错误；对于，，，由不等式的可加性可知，，故正确．对于、，若，则选项不成立，故、错误．故选：．【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．3．（2021•上海）已知两两不相等的，，，，，，同时满足①，，；②；③，以下哪个选项恒成立A． B． C． D．〖祥解〗设，，，根据题意，则有，可得，通过求解，可得，可得正确，错误；利用作差法可得，而上面已证，因无法知道的正负，可得该式子的正负无法恒定，即无法判断，即可得解．【解答】解：设，，，，根据题意，应该有，且，则有，则，因为，所以，所以项正确，错误．，而上面已证，因为不知道的正负，所以该式子的正负无法恒定．故选：．【点评】本题主要考查不等关系与不等式的应用，考查了方程思想和转化思想，属于中档题．三．基本不等式及其应用（共6小题）4．（2020•上海）下列不等式恒成立的是A． B． C． D．〖祥解〗利用恒成立，可直接得到成立，通过举反例可排除．【解答】解：．显然当，时，不等式不成立，故错误；．，，，故正确；．显然当，时，不等式不成立，故错误；．显然当，时，不等式不成立，故错误．故选：．【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属基础题．5．（2024•上海）已知，的最小值为12．〖祥解〗由已知结合基本不等式即可求解．【解答】解：由，，当且仅当，即或时取最小值12，所以的最小值为12．故答案为：12．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．6．（2022•上海）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是A． B． C． D．〖祥解〗利用已知条件以及基本不等式化简即可判断求解．【解答】解：因为，所以，当且仅当时取等号，又，所以，故正确，错误，，当且仅当，即时取等号，故错误，故选：．【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的理解能力，属于基础题．7．（2023•上海）已知正实数、满足，则的最大值为．〖祥解〗直接利用基本不等式求出结果．【解答】解：正实数、满足，则，当且仅当，时等号成立．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：基本不等式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．8．（2021•上海）已知函数的最小值为5，则9．〖祥解〗利用基本不等式求最值需要满足“一正、二定、三相等”，该题只需将函数解析式变形成，然后利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条件．【解答】解：，所以，经检验，时等号成立．故答案为：9．【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，以及整体的思想，解题的关键是构造积为定值，属于基础题．9．（2022•上海）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块，，．为保护处的一棵古树，有关部门划定了以为圆心、为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若架空线入线口为边上的点，出线口为边上的点，施工要求与封闭区边界相切，右侧的四边形地块将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到，计算面积精确到（1）若，求的长；（2）当入线口在上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？〖祥解〗（1）作，然后结合锐角三角函数定义表示出，（2）设，结合锐角三角函数定义可表示，，然后表示出面积，结合同角基本关系进行化简，再由基本不等式可求．【解答】解：（1）作，垂足为，则；（2）设，则，，，，当且仅当，即时取等号，此时，最大面积为．【点评】本题主要考查了利用基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是由实际问题抽象出数学问题，属于中档题．四．其他不等式的解法（共3小题）10．（2022•上海）不等式的解集为．〖祥解〗把分式不等式转化为二次不等式即可直接求解．【解答】解：由题意得，解得，故不等式的解集．故答案为：．【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．11．（2021•上海）不等式的解集为．〖祥解〗由已知进行转化，进行可求．【解答】解：，解得，．故答案为：．【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．12．（2020•上海）不等式的解集为．〖祥解〗将不等式化简后转化为一元二次不等式，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集．【解答】解：由得，则，即，解得，所以不等式的解集是，故答案为：．【点评】本题考查分式不等式、一元二次不等式的解法，以及转化思想，属于基础题．五．一元二次不等式及其应用（共1小题）13．（2024•上海）已知，则不等式的解集为．〖祥解〗根据一元二次不等式的解法直接求解即可．【解答】解：可化为，解得，故不等式的解集为：．故答案为：．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，属基础题．一．选择题（共11小题）1．（2024•黄浦区校级模拟）若，，且，则下列不等式中恒成立的是A． B． C． D．〖祥解〗利用基本不等式需注意：各数必须是正数．不等式的使用条件是，．【解答】解：对于；（当且仅当时，取得等号），所以错误；对于，，虽然，只能说明，同号，若，都小于0时，所以，错；，（当且仅当时，取得等号）．故选：．【点评】本题考查利用基本不等式求函数的最值时，必须注意满足的条件：一正、二定、三相等．2．（2024•青浦区二模）函数的最小值是A．4 B．5 C． D．〖祥解〗利用基本不等式求最值即可．【解答】解：因为函数，而，当且仅当时，等号成立，此时，因为，所以时，函数的最小值是．故选：．【点评】本题考查基本不等式的应用，属于基础题．3．（2024•浦东新区校级模拟）已知，且，则A． B． C． D．〖祥解〗根据和的关系，通过移项，化简，平方依次判断选项是否正确．【解答】解：由，且知，则，故错误；，故错误；由得，即，故错误；，即，故正确．故选：．【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．4．（2024•闵行区校级三模）已知，那么下列不等式成立的是A． B． C． D．〖祥解〗由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断．【解答】解：因为，所以，错误；由不等式性质可知，，错误；由可得，，错误；显然成立，正确．故选：．【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．5．（2024•杨浦区二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是A． B． C． D．〖祥解〗可举出反例，可根据不等式的基本性质检验选项．【解答】解：不妨设，，，，此时，错误，，错误；因为，，根据不等式的基本性质，同向可加性得到：，正确；，，，时，，显然错误．故选：．【点评】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．6．（2024•崇明区二模）若，，则下列不等式成立的是A． B． C． D．〖祥解〗利用不等式的基本性质即可判断出正误．【解答】解：，，，与大小关系不确定，，与的大小关系不确定．则下列不等式成立的是．故选：．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（2024•浦东新区二模）已知，则下列结论不恒成立的是A． B． C． D．〖祥解〗配方即可判断的正误；时，不成立；根据绝对值不等式可判断的正误；根据基本不等式可判断的正误．【解答】解：，恒成立；时，，不恒成立；，恒成立；，当且仅当时取等号，恒成立．故选：．【点评】本题考查了配方求二次函数最值的方法，基本不等式的应用，绝对值不等式的应用，是基础题．8．（2024•虹口区模拟）已知集合，，则A． B． C． D．〖祥解〗先求出集合，，再利用集合的包含关系判断．【解答】解：集合，或，，，．故选：．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，以及集合间的包含关系，属于基础题．9．（2024•普陀区校级模拟）已知集合，则A． B． C． D．〖祥解〗先求解出一元一次不等式、分式不等式的解集为，，然后根据交集运算求解出结果．【解答】解：因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以．故选：．【点评】本题主要考查了分式不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题．10．（2024•长宁区校级三模）在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得次测量分别得到，，，共个数据．我们规定所测量物理量的“最佳近似值”应该满足与所有测量数据的差的平方和最小．由此规定，从这些数据得出的“最佳近似值”应是A． B． C． D．〖祥解〗，看成关于的二次函数，即可求解．【解答】解：根据题意得：，由于，所以（a）是关于的二次函数，因此当即时，（a）取得最小值．故选：．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，属于基础题．11．（2024•松江区二模）已知某个三角形的三边长为、及，其中．若，是函数的两个零点，则的取值范围是A． B． C． D．〖祥解〗由，为函数的两个零点可得，即可得，结合题意可得．【解答】解：由，为函数的两个零点，故有，即恒成立，故，，则，由，，为某三角形的三边长，且，故，且，则，因为必然成立，所以，即，解得，所以，．故选：．【点评】本题主要考查函数的零点，属于中档题．二．填空题（共29小题）12．（2024•奉贤区三模）若，则有最大值为．〖祥解〗结合基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：，则，当且仅当时，等号成立，故有最大值．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．13．（2024•浦东新区校级模拟）设集合，则，．〖祥解〗先求出集合，，再结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合，，故，．故答案为：，．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．14．（2024•浦东新区校级四模）已知集合，，0，，则．〖祥解〗根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．【解答】解：，，0，，则．故答案为：．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．15．（2024•杨浦区校级三模）关于的不等式的解集为．〖祥解〗设出，再利用导数研究函数的单调性，即可求解．【解答】解：设，则，故在上单调递减，（1），故的解集为．故答案为：．【点评】本题主要考查其他不等式的解法，属于基础题．16．（2024•闵行区校级模拟）不等式的解集为．〖祥解〗根据已知条件，结合对数的运算性质，以及单调性，即可求解．【解答】解：，则，解得，故所求解集为．故答案为：．【点评】本题主要考查对数不等式的解法，属于基础题．17．（2024•黄浦区校级三模）若，，且，则的最大值是．〖祥解〗由已知结合基本不等式即可求解．【解答】解：由于，，且，所以，则，当且仅当时等号成立．故答案为：．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．18．（2024•闵行区三模）已知两个正数，的几何平均值为1，则的最小值为2．〖祥解〗由几何平均值的定义得到，利用基本不等式求解即可．【解答】解：由题意得，即，故，当且仅当时，等号成立．故答案为：2．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．19．（2024•普陀区模拟）若实数，满足，则的最小值为2．〖祥解〗根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：实数，满足，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值为2．故答案为：2．【点评】本题主要考查基本不等式的公式，属于基础题．20．（2024•浦东新区校级模拟）不等式的解集是．〖祥解〗由对数函数的单调性可出原不等式的解集．【解答】解：因为函数在上为增函数，由可得．因此，不等式的解集为．故答案为：．【点评】本题主要考查了对数函数单调性在不等式求解中的应用，属于基础题．21．（2024•普陀区校级三模）已知集合，1，2，3，，，则中的元素个数为3．〖祥解〗求解一元二次不等式解得集合，再求，即可求得其元素个数．【解答】解：由，得，所以，，1，，故中的元素共有3个．故答案为：3．【点评】本题主要考查交集的定义，属于基础题．22．（2024•浦东新区校级模拟）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是．〖祥解〗根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可．【解答】解：当时，不等式为，显然不符合题意；当时，因为关于的不等式的解集为，所以有，所以实数的取值范围是．故答案为：．【点评】本题主要考查一元二次不等式及其应用，属于基础题．23．（2024•浦东新区三模）已知全集，集合，则．〖祥解〗先求出集合，然后结合集合的补集运算即可求解．【解答】解：因为，集合或，则．故答案为：．【点评】本题主要考查了集合的补集运算，属于基础题．24．（2024•长宁区校级三模）已知集合，1，，，则，．〖祥解〗由已知结合集合交集运算即可求解．【解答】解：因为集合，1，，，则，．故答案为：，．【点评】本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．25．（2024•黄浦区校级三模）已知全集，集合，则，．〖祥解〗根据已知条件，结合补集的运算，即可求解．【解答】解：全集，．故答案为：，．【点评】本题主要考查补集及其运算，属于基础题．26．（2024•闵行区二模）已知正数、满足，则的最大值是．〖祥解〗直接利用均值不等式计算得到答案．【解答】解：正数、，则，故，当且仅当，即，时等号成立．故答案为：．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．27．（2024•浦东新区三模）设正数，满足，则的最小值为．〖祥解〗正数，满足，可得，展开，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：正数，满足，可得，当且仅当，时即：，取等号．因此的最小值为：．故答案为：．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．28．（2024•徐汇区模拟）若正数、满足，则的最小值为．〖祥解〗由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为正数、满足，则，当且仅当，即，时取等号．故答案为：．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．29．（2024•普陀区校级模拟）已知实数、满足，则的最小值为．〖祥解〗由已知结合基本不等式及指数的运算性质即可求解．【解答】解：因为，则，当且仅当且，即，时取等号，此时最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，还考查了指数的运算性质，属于基础题．30．（2024•松江区校级模拟）设实数、满足，则的最大值是．〖祥解〗易知，利用完全平方和公式，再结合基本不等式，即可得解．【解答】解：因为，所以，所以，即，当且仅当时，等号成立，所以，所以的最大值是．故答案为：．【点评】本题考查基本不等式的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．31．（2024•静安区二模）在下列关于实数、的四个不等式中，恒成立的是②③④．（请填入全部正确的序号）①；②；③；④．〖祥解〗根据基本不等式可判断①不成立；作差比较法可判断②④是否成立；根据绝对值不等式的性质可判断③成立．【解答】解：，时，不成立，①不成立；，，②成立；，③成立；，，④成立．故答案为：②③④．【点评】本题考查了基本不等式的条件，绝对值不等式的性质，作差比较法的运用，是基础题．32．（2024•浦东新区二模）已知集合，1，，集合，则．〖祥解〗求出集合，利用交集定义能求出．【解答】解：集合，1，，集合，则．故答案为：．【点评】本题考查指数不等式、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．33．（2024•浦东新区校级模拟）已知集合，全集，则或．〖祥解〗先求出集合，再利用补集运算求解．【解答】解：由可得且，解得，即，又因为全集，所以或．故答案为：或．【点评】本题主要考查了分式不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题．34．（2024•浦东新区校级四模）已知正实数、满足，则的最大值为．〖祥解〗直接利用基本不等式求出结果．【解答】解：正实数、满足，则，当且仅当，时等号成立．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：基本不等式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．35．（2024•宝山区校级四模）平面点集，，所构成区域的面积为．〖祥解〗由已知结合圆的性质即可求解．【解答】解：是在圆心为，半径为3的圆上，而到原点的距离为1，则是在圆上运动，的半径为1，再加上的半径即为最大半径，则最大圆的半径为4．故面积为．故答案为：．【点评】本题主要考查了圆的性质的应用，属于基础题．36．（2024•黄浦区校级模拟）已知的两共轭虚根为，，且，则3．〖