2025高考数学【考点通关】考点归纳与解题策略巩固练06函数的概念及其表示27种常见考点全面练(精练93题)(原卷版+解析)

巩固练06函数的概念及其表示27种常见考点全面练（精练93题）考点1函数关系的判断1．（24-25高一上·全国·随堂练习）下列对应关系中是A到B的函数的是（

）A．，，B．，，对应关系如图：C．，，f：D．，，f：2．（2024·四川雅安·模拟预测）已知是集合A到集合B的函数，如果集合，那么集合A可能情况为（填一种满足条件的即可）3．（2024·山东·二模）如图所示，是半圆的直径，点从点出发，沿弧的路径运动一周，设点到点的距离为，运动时间为，则下列图象能大致地刻画与之间的关系的是（

）A． B．C． D．4．（2024·内蒙古赤峰·一模）在下列四个图形中，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O、P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（

）A． B．C． D．考点2求函数值5．（2024高二下·福建泉州·阶段练习）已知函数，则（

）A．−7 B． C． D．6．（2024高一·全国·专题练习）已知函数满足，，则.7．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数，．(1)求，，，；(2)求．8．（2024高一上·辽宁沈阳·开学考试）已知函数y=f(x)的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线，则的值为（

）x123230

A．3 B．0 C．1 D．2考点3已知函数值求自变量或参数9．（2024高二上·安徽六安·期末）已知，，则（

）A． B． C． D．10．（2024·全国·模拟预测）设，，则（

）A． B．C． D．11．（2024·内蒙古包头·三模）已知函数是定义在R上的奇函数，且，则．12．（25-26高三上·上海·单元测试）已知函数，其中，且，则．考点4区间13．（2024高二下·江苏南京·期末）已知集合，，则（

）A． B． C． D．14．（24-25高一上·全国·课堂例题）用区间表示下列集合：①；②；③.15．（24-25高一上·全国·课后作业）已知区间，则实数a的取值范围为．（用区间表示）考点5具体函数的定义域16．（2024·河北·三模）设集合，，则（

）A． B． C． D．17．（2024高一上·河北唐山·阶段练习）函数的定义域是（

）A． B． C． D．18．（2024·河南·三模）函数的定义域为（

）A． B． C． D．19．（2024·北京平谷·模拟预测）函数的定义域是考点6抽象函数的定义域20．（2024·湖北武汉·二模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为.21．（2024·全国·模拟预测）设函数，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．22．（2024高一上·湖北·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．考点7实际问题中的定义域23．（2024·上海奉贤·二模）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形的两个顶点A、及的中点处．km，km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（含边界）且与A、等距的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道，，．记铺设管道的总长度为ykm．(1)设（弧度），将表示成的函数并求函数的定义域；(2)假设铺设的污水管道总长度是km，请确定污水处理厂的位置．24．（2024高一上·江苏盐城·期中）为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域修建一个羊驼养殖场，规定的每条边长均不超过20米.如图所示，矩形为羊驼养殖区，且点，，，四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设（单位：米），养殖区域的面积为（单位：平方米）.(1)将表示为的函数，并写出的取值范围；(2)当为多长时，取得最大值？并求出最大值.25．（2024高一上·全国·课后作业）年月日，王兵买了一辆手动挡的家庭汽车，该种汽车燃料消耗量标识是：市区工况：；市郊工况：；综合工况：.王兵估计：他的汽车一年的行驶里程约为，汽油价格按平均价格元来计算，当年行驶里程为时燃油费为元.(1)判断是否是关于的函数，如果是，求出函数的定义域和解析式；(2)王兵一年的燃油费估计是多少？考点8已知函数的定义域求参数26．（2024·浙江·模拟预测）若分式不论x取何值总有意义，则点关于x轴的对称点在第象限．27．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数中的取值范围为R，则的取值范围是．28．（24-25高一上·上海·单元测试）函数（且）的定义域为，则．29．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的定义域为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．考点9常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域30．（2024高二下·广西玉林·期末）已知函数满足，当属于时，求的值域（

）．A． B．C． D．31．（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间的值域为．32．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域：(1)，；(2)；(3)，；(4)．33．（2024高一·上海·课堂例题）求下列函数的值域：(1)，x∈0,+∞(2)，．考点10复杂（根式型、分式型等）函数的值域34．（2024·陕西·模拟预测）函数的最大值为（

）A．1 B． C． D．235．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（

）A． B． C． D．36．（2024高一·全国·专题练习）求函数的值域37．（24-25高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域：(1)；(2)考点11抽象函数的值域38．（2024高二下·上海宝山·期末）若函数的值域是，则函数的值域是.39．（2024高一上·河北石家庄·阶段练习）给出定义：若(其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即，例如：，．在此基础上给出下列关于函数的四个命题：；；；的定义域是，值域是，则正确的命题的个数是（

）个A．1 B．2 C．3 D．4考点12复合函数的值域40．（2024·广东·一模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．41．（2024高一下·安徽合肥·期末）函数的最小值为．42．（2024高一上·吉林·期末）已知函数，.(1)时，求的值域；(2)若的最小值为4，求的值.考点13根据值域求参数的值或者范围43．（2024高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数，若的值域为R，则实数的取值范围是（

）A．0,1 B．0,1 C．1,+∞ D．44．（2024·上海青浦·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为．45．（2024·全国·模拟预测）使函数的值域为的一个a的值为．考点14根据函数的值域求定义域46．（2024高一上·河南开封·期末）已知函数的值域为，则的定义域可以是47．（2024·广东广州·三模）已知函数的值域为，则的定义域可以是．(写出一个符合条件的即可)48．（2024高一上·江苏连云港·期中）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”共有个.考点15已知函数类型求解析式49．（2024高一·全国·专题练习）已知一次函数满足，，求.50．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知是二次函数，且，，则．51．（24-25高一上·全国·课后作业）若指数型函数，满足，，则．52．（2024高一上·云南曲靖·阶段练习）已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且.(1)求与的解析式；(2)求函数在上的值域.考点16已知f（g（x））求解析式53．（2024高二下·广东深圳·期中）已知，则（

）A． B．C． D．54．（2024高二下·辽宁本溪·期末）已知函数满足，则.55．（2024高一·全国·专题练习）已知，求的解析式．考点17求抽象函数的解析式56．（2024·陕西铜川·三模）已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，写出函数的一个解析式为.57．（2024·河南新乡·一模）已知定义在上的函数满足，，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．58．（2024高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（

）A． B．C．函数是偶函数 D．函数是减函数考点18函数方程组法求解析式59．（2024·全国·模拟预测）已知函数满足，则的值为（

）A． B． C． D．60．（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）已知，求；（2）已知为二次函数，且，求；（3）已知函数对于任意的x都有，求．61．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）已知，求fx；（2）已知函数fx对于任意的x都有，求fx考点19求解析式中的参数值62．（2024·江西南昌·模拟预测）函数的图象经过点，则关于的不等式解集为（

）A． B．C． D．63．（2024高一上·安徽安庆·阶段练习）已知函数，且.(1)求函数的解析式；(2)证明：在上单调递增.考点20判断两个函数是否相等64．（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）下列函数与是相等函数的是（

）A． B．C．（且） D．（且）65．（24-25高一上·上海·课后作业）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（）A．与B．与C．与D．与66．（2024高二下·海南海口·期末）下列各组中的两个函数为相同函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与67．（2024高一上·北京·期中）下列各组函数表示同一个函数的是.①，

②③

④考点21函数的表示方法68．（2024·山东·模拟预测）已知函数的对应值图如表所示，则等于（

）函数的对应值表012345365427A．4 B．5 C．6 D．769．（24-25高一上·上海·课后作业）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间（分钟）与相应话费（元）之间的函数图像如图所示，则与之间的函数关系式为．70．（2024·上海黄浦·一模）某展览会有四个展馆，分别位于矩形ABCD的四个顶点A、B、C、D处，现要修建如图中实线所示的步道（宽度忽略不计，长度可变）把这四个展馆连在一起，其中百米，百米，且.(1)试从各段步道的长度与图中各角的弧度数中选择某一变量作为自变量x，并求出步道的总长y（单位：百米）关于x的函数关系式；(2)求步道的最短总长度（精确到0.01百米）.71．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）如图，边长为1的正方形，其中边在轴上，点与坐标原点重合，若正方形沿轴正向滚动，先以为中心顺时针旋转，当落在轴上时，再以为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形的某个顶点落在轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点滚动时形成的曲线为y=fx，则（

）A．0 B． C．1 D．考点22求分段函数值72．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知函数则等于（

）A． B．0 C．1 D．273．（24-25高三上·北京·开学考试）定义在上的函数满足，则的值为.74．（24-25高三上·四川南充·开学考试）若函数，则.考点23已知分段函数的值求参数或自变量75．（2024·北京大兴·三模）已知，若，则.76．（2024·河南濮阳·模拟预测）已知函数，满足，则实数的值为（

）A． B． C．1 D．277．（2024·全国·模拟预测）设函数，若，则.78．（2024·全国·模拟预测）设函数，若，则（

）A． B． C．2 D．6考点24解分段函数不等式79．（2024·江西南昌·二模）已知，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．80．（2024·湖北·一模）已知函数，则关于x的不等式的解集为．81．（2024高二下·陕西西安·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．82．（2024高一上·安徽宿州·期中）已知函数若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．考点25分段函数的定义域83．（2024高一上·山西太原·阶段练习）函数的定义域为（

）A． B． C． D．84．（2024高一·江苏·专题练习）已知函数(1)求，，的值；(2)求函数的定义域、值域．85．（2024高一上·四川宜宾·期中）已知(1)求，的值；(2)求满足的实数a的值；(3)求的定义域和值域．考点26分段函数的值域或最值86．（2024·广西柳州·模拟预测）记实数的最小数为，若，则函数的最大值为．87．（2024·上海嘉定·二模）函数的值域为．88．（2024高一上·广东汕尾·阶段练习）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数，其中x（台）是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益总成本利润）89．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数，求函数的最大值、最小值.考点27根据分段函数的值域（最值）求参数90．（2024·湖北武汉·一模）已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．91．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知函数（且），若有最小值，则实数a的取值范围是.92．（2024·北京通州·三模）已知函数的值域是，若，则m的取值范围是．93．（2024·上海松江·二模）已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群1.5T一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期巩固练06函数的概念及其表示27种常见考点全面练（精练93题）考点1函数关系的判断1．（24-25高一上·全国·随堂练习）下列对应关系中是A到B的函数的是（

）A．，，B．，，对应关系如图：C．，，f：D．，，f：【答案】B【分析】利用函数的定义求解即可.【详解】对于A，，一个可以对应两个，不属于函数，故A错误；对于B，集合中每一个在集合中都有唯一对应的，符合函数的定义，故B正确；对于C，中，，而，故集合中的元素2在集合中没有对应的函数值，故C错误；对于D，，所以，集合，故集合中有的元素在集合中没有对应的函数值，故D错误.故选：B2．（2024·四川雅安·模拟预测）已知是集合A到集合B的函数，如果集合，那么集合A可能情况为（填一种满足条件的即可）【答案】（答案不唯一）【分析】由题意转化为求集合的非空子集即可.【详解】依题意，是集合A到集合B的函数，令，得，令，得，令，得，因此集合是集合的非空子集，所以集合A可能情况为.故答案为：3．（2024·山东·二模）如图所示，是半圆的直径，点从点出发，沿弧的路径运动一周，设点到点的距离为，运动时间为，则下列图象能大致地刻画与之间的关系的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】点在段运动时和点在上运动时，，之间是线性关系，点在弧上运动时，（定值），即可结合选项求解.【详解】当点在段运动时，随的增大而匀速增大，点在弧上运动时，（定值），点在上运动时，随着的增大而减小．故选：C．4．（2024·内蒙古赤峰·一模）在下列四个图形中，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O、P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由点在第二条边上运动时，的单调性可排除A，由图象的对称性可排除，由一开始与是线性的可排除C，对于D，当图形是正方形时，可以验证它满足题意.【详解】对于A，点在第一条边上时，，但点在第二条边上运动时，是随的增大先减小（减到最小时即为三角形的第二条边上的高的长度），然后再增大，对比图象可知，A错误；对于B，y与x的函数图形一定不是对称的，B错误；对于C，一开始与的关系不是线性的，C错误；对于D，因为函数图象对称，所以D选项应为正方形，不妨设边长为，点在第一条边上时（即时），，点在第二条边上运动时（即时），，依然单调递增，点在第三条边上运动时（即时），，单调递减，点在第四条边上运动时（即时），，单调递减，且已知与的图象关于（其中）对称，D正确.故选：D.考点2求函数值5．（2024高二下·福建泉州·阶段练习）已知函数，则（

）A．−7 B． C． D．【答案】D【分析】直接代入计算即可.【详解】.故选：D.6．（2024高一·全国·专题练习）已知函数满足，，则.【答案】-2【分析】根据已知条件求出函数的周期，利用周期性对所求函数值进行化简，进而得出结论.【详解】由题意可得，，所以，则是周期函数，且一个周期是8.

所以.

故答案为：－2.7．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数，．(1)求，，，；(2)求．【答案】(1)，，，(2)【分析】（1）代入即可求解，（2）整体代入即可求解.【详解】（1）．，∵，∴．∵，∴．（2）∵，∴．8．（2024高一上·辽宁沈阳·开学考试）已知函数y=f(x)的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线，则的值为（

）x123230

A．3 B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】运用图象得到，再由对应关系得到即可【详解】由图可知，所以.故选：D.考点3已知函数值求自变量或参数9．（2024高二上·安徽六安·期末）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用换元法求出解析式，再代入计算可得.【详解】因为，所以，又，所以，解得.故选：D10．（2024·全国·模拟预测）设，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意可得，代入结合对数运算求解.【详解】因为，因为，可得，解得．故选：C.11．（2024·内蒙古包头·三模）已知函数是定义在R上的奇函数，且，则．【答案】/【分析】由已知，得，又，可得，则，即可求得.【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，所以，所以，又，所以，解得，经检验符合题意，所以，则.故答案为：.12．（25-26高三上·上海·单元测试）已知函数，其中，且，则．【答案】－1【分析】将函数利用积的导数原则进行求导，代值列出方程，解之即得.【详解】由，求导得，，则由，可解得．故答案为：.考点4区间13．（2024高二下·江苏南京·期末）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意结合交集运算分析求解.【详解】因为，，所以.故选：B.14．（24-25高一上·全国·课堂例题）用区间表示下列集合：①；②；③.【答案】【分析】由区间的概念结合一元一次不等的解法即可求解.【详解】，，.15．（24-25高一上·全国·课后作业）已知区间，则实数a的取值范围为．（用区间表示）【答案】【分析】根据区间的定义得到，解不等式即可．【详解】由，得．即.故答案为：．考点5具体函数的定义域16．（2024·河北·三模）设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式化简集合A，求定义域化简集合B，然后进行补集和交集的运算即可.【详解】因为，或，则,所以，故选：A.17．（2024高一上·河北唐山·阶段练习）函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数有意义得出不等式组，解之即得函数定义域.【详解】由有意义，等价于，解得，即函数的定义域为.故选：D.18．（2024·河南·三模）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】使函数有意义，即得关于的不等式组，解之即得函数定义域.【详解】函数有意义，等价于，解得，，故函数的定义域为.故选：A.19．（2024·北京平谷·模拟预测）函数的定义域是【答案】【分析】根据分数和对数有意义的条件即可求解.【详解】函数有意义的条件是，解得且，所以函数定义域为.故答案为：.考点6抽象函数的定义域20．（2024·湖北武汉·二模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为.【答案】【分析】借助函数定义域的定义计算即可得.【详解】由函数的定义域为，则有，令，解得.故答案为：.21．（2024·全国·模拟预测）设函数，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求的定义域，再利用复合函数求的定义域.【详解】由题意得，，解得函数满足，解得，即函数的定义域为.故选:A22．（2024高一上·湖北·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可.【详解】因为函数的定义域是，所以，所以，所以函数的定义域为，所以要使函数有意义，则有，解得，所以函数的定义域为.故选：A.考点7实际问题中的定义域23．（2024·上海奉贤·二模）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形的两个顶点A、及的中点处．km，km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（含边界）且与A、等距的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道，，．记铺设管道的总长度为ykm．(1)设（弧度），将表示成的函数并求函数的定义域；(2)假设铺设的污水管道总长度是km，请确定污水处理厂的位置．【答案】(1)(2)位置是在线段的中垂线上且离的距离是km【分析】（1）依据题给条件，先分别求得的表达式，进而得到管道总长度y的表达式，再去求其定义域即可解决；（2）先解方程，求得，再去确定污水处理厂的位置.【详解】（1）矩形中，km，km，，，则，则（2）令则又，即，则，则此时所以确定污水处理厂的位置是在线段的中垂线上且离的距离是km24．（2024高一上·江苏盐城·期中）为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域修建一个羊驼养殖场，规定的每条边长均不超过20米.如图所示，矩形为羊驼养殖区，且点，，，四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设（单位：米），养殖区域的面积为（单位：平方米）.(1)将表示为的函数，并写出的取值范围；(2)当为多长时，取得最大值？并求出最大值.【答案】(1)，(2)当为时，取得最大值，最大值为【分析】（1）根据题意表示出的面积，并根据的每条边长均不超过20米确定好的取值范围.（2）对（1）中的结果，利用基本不等式求最大值.【详解】（1）因为，所以，，因为，，所以.（2）当且仅当，即时，等号成立，所以当为时，取得最大值，最大值为.25．（2024高一上·全国·课后作业）年月日，王兵买了一辆手动挡的家庭汽车，该种汽车燃料消耗量标识是：市区工况：；市郊工况：；综合工况：.王兵估计：他的汽车一年的行驶里程约为，汽油价格按平均价格元来计算，当年行驶里程为时燃油费为元.(1)判断是否是关于的函数，如果是，求出函数的定义域和解析式；(2)王兵一年的燃油费估计是多少？【答案】(1)是，定义域是，(2)元【分析】（1）根据函数的概念可判断出是关于的函数，结合题意可得出该函数的解析式以及定义域；（2）将代入函数解析式计算可得结果.【详解】（1）解：根据函数的概念可知，是关于的函数，因为王兵的汽车一年的行驶里程约为，故该函数的定义域为，函数解析式为，其中.（2）解：当时，（元），所以王兵一年的燃油费估计是元.考点8已知函数的定义域求参数26．（2024·浙江·模拟预测）若分式不论x取何值总有意义，则点关于x轴的对称点在第象限．【答案】一【分析】先通过分式的分母恒不为零求出的范围，根据的范围可得点所在象限，进而可得其关于x轴的对称点所在象限.【详解】分式不论x取何值总有意义，即方程无解所以，解得，所以，所以点在第四象限，其关于x轴的对称点在第一象限.故答案为：一.27．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数中的取值范围为R，则的取值范围是．【答案】【分析】把函数中的x的取值范围为R，转化为对任意实数恒成立．然后对分类讨论得答案．【详解】由已知恒成立，当时符合题意，当时，，，综上所述，故答案为：．28．（24-25高一上·上海·单元测试）函数（且）的定义域为，则．【答案】/【分析】根据函数的定义域列不等式，结合指数函数和对数运算等知识求得正确答案.【详解】依题意，，当时，，与已知矛盾.当时，，函数的定义域为，所以，，两边平方得.故答案为：29．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的定义域为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】时直接代入；时利用可得答案．【详解】因为函数的定义域为，所以关于的方程无实数解，当时，显然无解，符合题意；当时，则，解得．综上可得．故选：D．考点9常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域30．（2024高二下·广西玉林·期末）已知函数满足，当属于时，求的值域（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】由函数的单调性求值域即可.【详解】在上单调递增，所以的值域为：.故选：A31．（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间的值域为．【答案】【分析】求导得到，令得到的单调递增区间，令得到的单调递减区间，从而得到最大值和最小值，进而得到在上的值域.【详解】因为，令得，令得，所以在上单调递增，令得，所以在上单调递减，所以，，所以的值域为.故答案为：.32．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域：(1)，；(2)；(3)，；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可.（2）利用二次根式的意义求出值域.（3）利用二次函数的性质求出值域.（4）利用分式函数，结合分离常数的思想求出值域.【详解】（1），且，则．所以函数的值域为.（2）函数的定义域为，由，得，所以的值域为.（3）函数图象的对称轴为，而，当时，，当时，，所以函数的值域为．（4）函数的定义域为，，所以函数的值域为．33．（2024高一·上海·课堂例题）求下列函数的值域：(1)，x∈0,+∞(2)，．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求的范围，再求的范围；（2）根据二次函数单调性求解即可.【详解】（1）因为，所以，所以，所以原函数的值域为.（2）因为的对称轴为，且图象开口向上，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为x=0时，；x=1时，，所以.终上所述，原函数的值域为.考点10复杂（根式型、分式型等）函数的值域34．（2024·陕西·模拟预测）函数的最大值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】令，则，设，再结合三角函数的性质即可得解.【详解】函数的定义域为，令，则，设，可得，当时，有最大值为2，所以函数的最大值为2.故选：D.35．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出函数值域得解.【详解】依题意，，显然，则，于是，所以函数的值域是.故选：C36．（2024高一·全国·专题练习）求函数的值域【答案】【分析】先分离常数，再利用基本不等式可得答案.【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立.故函数的值域为.37．（24-25高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）利用分离常数法可得解；（2）换元，令，，，再由二次函数的性质即可得解.【详解】（1），显然，所以，故函数的值域为：（2）设，则，且，所以，，

结合函数的图象可得原函数的值域为.考点11抽象函数的值域38．（2024高二下·上海宝山·期末）若函数的值域是，则函数的值域是.【答案】【分析】由给定条件求出的值域，换元借助对勾函数性质即可得解.【详解】因函数的值域是，从而得函数值域为，函数变为，，由对勾函数的性质知在上递减，在上递增，时，，而时，，时，，即，所以原函数值域是.故答案为：39．（2024高一上·河北石家庄·阶段练习）给出定义：若(其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即，例如：，．在此基础上给出下列关于函数的四个命题：；；；的定义域是，值域是，则正确的命题的个数是（

）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据定义可以得到，，，，进而求得各个函数值，然后判定，根据，可以得到，即得的值域，从而判定．【详解】因为，，,，所以，，，，∴，①正确；，②错误；因为，，所以，故③正确；的定义域是R，因为，所以，即，∴值域是，故④错误．综上，正确的命题个数为2个，故选：B．考点12复合函数的值域40．（2024·广东·一模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通过计算函数定义域求出集合，计算函数值域求出集合，最后通过交集运算即可求解.【详解】由，有，即，所以；由令，根据二次函数的性质有，所以，又因为，所以，；所以.故选：D41．（2024高一下·安徽合肥·期末）函数的最小值为．【答案】/【分析】利用对数的运算法则与换元法得到，结合配方法即可得解.【详解】因为，令，则，则，因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.42．（2024高一上·吉林·期末）已知函数，.(1)时，求的值域；(2)若的最小值为4，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）设可将原函数转化为二次函数，结合二次函数性质计算即可得；（2）设可将原函数转化为二次函数，对的取值进行分类讨论，结合二次函数性质计算即可得.【详解】（1）由题意得，，，令，，，当时，，，在上单调递增，故，故的值域为；（2）由（1）得，，对称轴，①当时，在上单调递增，，解得；②当时，在上单调递减，在上单调递增，无解，舍去；③当时，在上单调递减，，解得，舍去；综上所述，.考点13根据值域求参数的值或者范围43．（2024高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数，若的值域为R，则实数的取值范围是（

）A．0,1 B．0,1 C．1,+∞ D．【答案】A【分析】借助的值域为R可得要取遍所有的正数，对进行分类讨论即可得.【详解】若函数的值域为R，则要取遍所有的正数．所以或，解得，即实数的取值范围是0,1.故选：A．44．（2024·上海青浦·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为．【答案】【分析】先求解出时的值域，然后根据分类讨论时的值域，由此确定出的取值范围.【详解】当时，，此时，当且时，，此时，且，所以不满足；当且时，，由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以，此时，若要满足的值域为，只需要，解得；当且时，因为均在上单调递增，所以在上单调递增，且时，，时，，所以此时，此时显然能满足的值域为；综上可知，的取值范围是，故答案为：.45．（2024·全国·模拟预测）使函数的值域为的一个a的值为．【答案】1（答案不唯一）【分析】由指数函数值域性质求解【详解】令，由题意得的值域为，又的值域为，所以，解得，所以的取值范围为．故答案为：.(答案不唯一)考点14根据函数的值域求定义域46．（2024高一上·河南开封·期末）已知函数的值域为，则的定义域可以是【答案】（答案不唯一）【分析】解分式不等式得到范围，写出符合题意的定义域即可.【详解】令，解得或，则的定义域可以是，故答案为：（答案不唯一）.47．（2024·广东广州·三模）已知函数的值域为，则的定义域可以是．(写出一个符合条件的即可)【答案】（答案不唯一）【分析】利用导数求出函数的单调性，再求出时所对应的自变量，即可求解.【详解】，令可得，所以当或时，，当时，，故在和上单调递增，在上单调递减，且，由此可知定义域可以是，故答案为：（答案不唯一）48．（2024高一上·江苏连云港·期中）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”共有个.【答案】【分析】求出使得函数的值域为的定义域的个数，即可得解.【详解】由，可得；由，可得；由，可得.所以，使得函数的值域为的定义域中至少含、中的一个，至少含、中的一个，至少含、中的一个，而、的放法种数等价于集合的非空子集个数，即、的放法种数为种，同理可知，、的放法种数为，、的放法种数为，因此，数解析式为，值域为的“同族函数”共有个.故答案为：.考点15已知函数类型求解析式49．（2024高一·全国·专题练习）已知一次函数满足，，求.【答案】【分析】利用待定系数法即可得解.【详解】依题意，设，由条件得，解得，故.50．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知是二次函数，且，，则．【答案】【分析】由题意设，通过待定系数法得出关于的方程组即可求解.【详解】因为，是二次函数，所以设，又因为，所以，所以，解得.故答案为：.51．（24-25高一上·全国·课后作业）若指数型函数，满足，，则．【答案】【分析】由，，代入函数解析式，结合指数型函数的性质，解出的值即可得.【详解】指数型函数，有且，由，解得，所以.故答案为：.52．（2024高一上·云南曲靖·阶段练习）已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且.(1)求与的解析式；(2)求函数在上的值域.【答案】(1)，(2)【分析】（1）设出函数解析式，代入点的坐标，求出函数解析式；（2）写出函数ℎx【详解】（1）设，，，则，解得，则，；（2）由（1）知，，令，，则，记，当时，，当或1时，，故ℎx在上的值域为.考点16已知f（g（x））求解析式53．（2024高二下·广东深圳·期中）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用换元法可得答案.【详解】令，则，所以，即.故选：B.54．（2024高二下·辽宁本溪·期末）已知函数满足，则.【答案】【分析】利用解方程组法和换元法即可求解.【详解】由①，得②，由①②得，则，令，则，所以，故.故答案为：.55．（2024高一·全国·专题练习）已知，求的解析式．【答案】【分析】可由配凑法等式右边用表达或换元法令求解；【详解】法一：把的右边配成的表达式，即，然后整体换成，得：，故的解析式为：．法二：令，得代入得：，然后t换成x即，故的解析式为：考点17求抽象函数的解析式56．（2024·陕西铜川·三模）已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，写出函数的一个解析式为.【答案】（答案不唯一）【分析】由为奇函数可得的图象关于点1,0中心对称，结合偶函数的性质可构造符合题意.【详解】由为偶函数，知的图象关于轴对称；由为奇函数，知的图象关于点1,0中心对称，据此构造函数，则是偶函数；为奇函数，符合题意.故答案为：（答案不唯一）.57．（2024·河南新乡·一模）已知定义在上的函数满足，，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用赋值法求及，然后利用单调性解不等式即可.【详解】令，得.令，得，解得，则不等式转化为，因为是增函数，且，所以不等式的解集为.故选：A58．（2024高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（

）A． B．C．函数是偶函数 D．函数是减函数【答案】C【分析】首先利用赋值法求得的值，再赋值，求得的解析式，即可判断C，再根据函数的解析式，赋值判断BD.【详解】对于A，令、，则有，又，故，即，令、，则有，即，由，可得，又，故，故A正确；对于C，令，则有，则，故函数是奇函数，故C错误；对于D，有，即，则函数是减函数，故D正确；对于B，由，令，有，故B正确.故选：C考点18函数方程组法求解析式59．（2024·全国·模拟预测）已知函数满足，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将换成，得到即，联立方程组求得的解析式，进而求得的值.【详解】由，将换成，可得，即，联立方程组，解得，所以.故选：B.60．（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）已知，求；（2）已知为二次函数，且，求；（3）已知函数对于任意的x都有，求．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）利用换元法或配凑法求解即可；（2）利用待定系数法，令，然后结合已知条件化简列方程组可求出，从而可求出；（3）将已知等式中的用替换，得到另一个式子，与已知等式联立可求出.【详解】（1）方法一

（换元法）：令，则，，所以，所以的解析式为．方法二

（配凑法）：．因为，所以的解析式为．（2）设，则，所以，解得，所以．（3），令，得，于是得到关于与的方程组，解得．61．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）已知，求fx；（2）已知函数fx对于任意的x都有，求fx【答案】（1）；（2）【分析】应用换元法及方程组法求解析式即可.【详解】（1），令，则，∴．（2）在中，以代替x可得，联立得消去可得．考点19求解析式中的参数值62．（2024·江西南昌·模拟预测）函数的图象经过点，则关于的不等式解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据图象经过点得到解析式，再判断函数单调性及奇偶性，由此求解不等式即可.【详解】由函数的图象经过点，得，则，函数在上单调递减，在上单调递减，则在R上单调递减，又，即函数是奇函数，不等式，则，即，解得，所以原不等式的解集为.故选：B63．（2024高一上·安徽安庆·阶段练习）已知函数，且.(1)求函数的解析式；(2)证明：在上单调递增.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据题意，由列出方程，代入计算，即可求得；（2）根据题意，由单调性的定义，带入计算，即可证明.【详解】（1）且，解得.所以函数的解析式为.（2）证明：，且，则因为，所以，又，所以，则，则，即，即所以函数在上单调递增.考点20判断两个函数是否相等64．（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）下列函数与是相等函数的是（

）A． B．C．（且） D．（且）【答案】D【分析】可得，且定义域为R，根据函数相等逐项分析判断.【详解】因为，且定义域为R，对于选项A：，可知两个函数的对应关系不同，所以函数不相等，故A错误；对于选项B：的定义域为，可知两个函数的定义域不同，所以函数不相等，故B错误；对于选项C：的定义域为，可知两个函数的定义域不同，所以函数不相等，故C错误；对于选项D：，且定义域为R，所以两个函数是相等函数，故D正确；故选：D.65．（24-25高一上·上海·课后作业）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（）A．与B．与C．与D．与【答案】B【分析】根据两个函数的定义域以及对应关系是否相同，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A，的定义域为,而的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，A错误，对于B,与的定义域均为，且对应关系相同，故为相同函数，B正确，对于C，的定义域为,而的定义域为，定义域不相同，故不是相同函数,C错误，对于D，的定义域为，与的定义域为,定义域不相同，故不是相同函数,D错误，故选：B66．（2024高二下·海南海口·期末）下列各组中的两个函数为相同函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】B【分析】根据相同函数的判定方法逐项分析即可.【详解】对A，的定义域为，的定义域为，则两个函数不是相同函数，故A错误；对B，，且两函数的定义域均为，则两个函数相同函数，故B正确；对C，，则两个函数不是相同函数，故C错误；对D，与，两函数对应法则完全不同，故两函数不是相同函数，故D错误.故选：B.67．（2024高一上·北京·期中）下列各组函数表示同一个函数的是.①，

②③

④【答案】①④【分析】通过判断函数的定义域、对应关系是否相同来判断是否是，从而得解.【详解】对于①，，因为两个函数的定义域都为，且对应关系也一样，所以是同一个函数，故正确；对于②，因为的对应关系不一样，所以不是同一个函数，故错误；对于③，的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不一样，故错误；对于④，所以两个函数的定义域均为R，对应关系也相同，是同一个函数，故正确．故答案为：①④.考点21函数的表示方法68．（2024·山东·模拟预测）已知函数的对应值图如表所示，则等于（

）函数的对应值表012345365427A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】查表可知，先得，所以再查表可得.【详解】由表可知，，所以故选：D．69．（24-25高一上·上海·课后作业）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间（分钟）与相应话费（元）之间的函数图像如图所示，则与之间的函数关系式为．【答案】【分析】根据函数图象利用待定系数法求解即可.【详解】由图知，当时，设函数为，则，得，所以，当时，设函数为，则，解得，所以，综上与之间的函数关系式为.故答案为：70．（2024·上海黄浦·一模）某展览会有四个展馆，分别位于矩形ABCD的四个顶点A、B、C、D处，现要修建如图中实线所示的步道（宽度忽略不计，长度可变）把这四个展馆连在一起，其中百米，百米，且.(1)试从各段步道的长度与图中各角的弧度数中选择某一变量作为自变量x，并求出步道的总长y（单位：百米）关于x的函数关系式；(2)求步道的最短总长度（精确到0.01百米）.【答案】(1)答案见解析(2)18.39百米【分析】（1）若设百米，运用勾股定理表示、，进而写出y与x的关系式；若设，运用三角函数表示、、，进而写出y与x的关系式；（2）运用导数研究函数的最值即可.【详解】（1）设直线EF与AD，BC分别交于点M，N，若设百米，则，所以，又因为，所以.若设，则，，，则，解得，又因为，所以，所以）.（2）设，，令，可得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故当时，取得极小值（最小值）（百米）.所以步道的最短总长度约为18.39百米.设），，令，可得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故当时，取得极小值（最小值）（百米），所以步道的最短总长度约为18.39百米.71．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）如图，边长为1的正方形，其中边在轴上，点与坐标原点重合，若正方形沿轴正向滚动，先以为中心顺时针旋转，当落在轴上时，再以为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形的某个顶点落在轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点滚动时形成的曲线为y=fx，则（

）A．0 B． C．1 D．【答案】A【分析】根据已知条件及函数的周期性即可求解．【详解】由题意可知，是周期为的函数，所以.由题意可得，当时，点恰好在轴上，所以f3=0，所以.故选：A.考点22求分段函数值72．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知函数则等于（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根据分段函数解析式结合定义域求值即可.【详解】.故选：A.73．（24-25高三上·北京·开学考试）定义在上的函数满足，则的值为.【答案】【分析】当时，由，得到当时，成立，进而转化，再由分段函数代入相应解析式求得.【详解】由题意知，当时，①，当，即时，②，所以当时，将②代入①式化简可得，故当，且时，即时，..故答案为：.74．（24-25高三上·四川南充·开学考试）若函数，则.【答案】/【分析】根据分段函数解析式，结合对数运算性质先计算的值，继而计算的值，即得答案.【详解】由题意可得，故，则.故答案为：考点23已知分段函数的值求参数或自变量75．（2024·北京大兴·三模）已知，若，则.【答案】或【分析】根据分段函数解析式得到方程（不等式）组，解得即可.【详解】因为且，所以或，解得或.故答案为：或76．（2024·河南濮阳·模拟预测）已知函数，满足，则实数的值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】将的值依次代入解析式，解出的值即可求解.【详解】，即，则.故选：.77．（2024·全国·模拟预测）设函数，若，则.【答案】2【分析】根据函数解析式，代入求值.【详解】函数，有，则，解得.故答案为：278．（2024·全国·模拟预测）设函数，若，则（

）A． B． C．2 D．6【答案】D【分析】由题意可得出在和上为增函数，则，由可得出，即可得求出的值.【详解】易得在和上为增函数，，所以，由得，解得或（舍去），则，故选：D.考点24解分段函数不等式79．（2024·江西南昌·二模）已知，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别在条件下化简不等式求其解可得结论.【详解】当时，不等式可化为，所以，可得；当时，不等式可化为，所以，且，所以，所以不等式的解集是，故选：B.80．（2024·湖北·一模）已知函数，则关于x的不等式的解集为．【答案】【分析】根据分段函数的性质及对数函数的单调性解不等式可得结果.【详解】当时，得，当时，，得，所以，综上：的解集为，故答案为：.81．（2024高二下·陕西西安·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】结合二次函数性质判断函数的单调性，再借助单调性求解不等式作答.【详解】因为在上单调递增，在上单调递增，且连续不断，可知函数在R上单调递增，则，可得，解得，所以实数的取值范围是.故选：A.82．（2024高一上·安徽宿州·期中）已知函数若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】讨论、，结合函数解析式列不等式求参数a的范围即可.【详解】由，若，则，即，解得，所以若，则，即，解得，所以，综上，不等式的解为.故选：D考点25分段函数的定义域83．（2024高一上·山西太原·阶段练习）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由对分段函数的定义域的理解可得.【详解】由，得函数的定义域为.故选