专题21 探究型之最值问题（解析板）

一、选择题二、填空题1.（黔东南）在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0），B（2，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为▲．【答案】.【解析】考点：1.轴对称的应用（最短路线问题）；2.直线上点的坐标与方程的关系；3.勾股定理.2.（十堰）如图，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为4，点C在上，CD⊥OA，垂足为点D，当△OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为▲．【答案】.【解析】考点：1.勾股定理；2.扇形面积的计算；3.二次函数的最值；4.转换思想的应用．3.（张家界）如图，AB、CD是⊙O两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于E,CD⊥MN于点F,P为EF上任意一点,，则PA+PC的最小值为▲．【答案】.【解析】试题分析：由于A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值．因此，如答图，连接BC，OB，OC，过点C作CH垂直于AB于H．∵AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，∴BE=AB=4，CF=CD=3.考点：1.轴对称的应用（最短路线问题）；2.勾股定理；3.垂径定理．4.（南京）铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长宽高之和不超过160cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30cm，长与宽之比为3:2，则该行李箱长度的最大值是▲cm.考点：一元一次不等式的应用．5.（宁夏）如下图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是▲．【答案】.【解析】考点：1.网格问题；2.三角形外心的性质；3.勾股定理；4.数形结合思想的应用.6.（潍坊）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是尺．【答案】25.【解析】考点：1.平面展开-最短路径问题；2.勾股定理．7.（成都）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C.则A′C长度的最小值是▲.【答案】.【解析】考点：1.单动点和折叠问题；2.菱形的性质；3.锐角三角函数定义；4.特殊角的三角函数值；5.三角形边角关系；6.勾股定理；7.折叠对称的性质.三、解答题1.（福州）（满分14分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D.（1）求点A，B，D的坐标；（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD.求证：∠AEO=∠ADC；（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙O的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标.【答案】（1），，；（2）证明见解析；（3）（5，1）；（3，1）或..【解析】试题分析：（1）直接根据顶点式写出顶点D的坐标；令y=0，解之即可求得点A，B，的坐标.（2）过D点作DG⊥y轴于点G，设抛物线对称轴交x轴于点M，AE交CD于点F，通过△DCG∽△EOM的证明求出点E的坐标，应用勾股定理逆定理，证明△AED是直角三角形，从而得出结论.（3）由⊙E的半径为1，根据勾股定理得，故要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即最小，设点P的坐标为（x，y），根据勾股定理得，将化为整体代入即得到关于y的二次函数，应用二次函数的最值原理即可求得当PQ的长最小时，点P的坐标.设点Q的坐标为（m，n），则由⊙E的半径为1，根据勾股定理可得；由切线的性质可得，即，联立二方程解得或，从而得到点Q的坐标.由勾股定理，得，∴.∴△AED是直角三角形.设AE交CD于点F，∴∠ADC+∠AFD=90°.又∵∠AEO+∠HFE=90°，∠AFD=∠HFE，∴∠AEO=∠ADC.（3）由⊙E的半径为1，根据勾股定理得，∴要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即最小.设点P的坐标为（x，y），根据勾股定理得.考点：1.二次函数综合题；2.单动点问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.直角三角形两锐角的关系；5.相似三角形的判定和性质；6.勾股定理和逆定理；7.切线的性质；8.二次函数的性质；9.解二元二次方程组.2.（梅州）（本题满分11分）如图，已知抛物线与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C.（1）直接写出A、D、C三点的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MD+MC的值最小，并求出点M的坐标；（3）设点C关于抛物线对称的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）A(4，0)、D(－2，0)、C(0，－3)；（2）连接AC，则AC与抛物线的对称轴交点M即为所求，M(1，)；（3）存在，(－2，0)或(6，6).【解析】∴直线AC的解析式为.∵的对称轴是直线，把x=1代入得`∴M(1，).（3）存在，分两种情况：①如图，当BC为梯形的底边时，点P与D重合时，四边形ADCB是梯形，此时点P为(－2，0).②如图，当BC为梯形的腰时，过点C作CP//AB，与抛物线交于点P，∵点C，B关于抛物线对称，∴B(2，－3)设直线AB的解析式为，则，解得.综上所述，在抛物线上存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形，点P的坐标为(－2，0)或(6，6).考点：1.二次函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.轴对称的应用（最短线路问题）；5.二次函数的性质；6.梯形存在性问题；7.分类思想的应用.3.（黔东南）（14分）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．【答案】（1）y=2x2﹣8x+6；（2）当时，线段PC最大且为；（3）P（3，0）或P．【解析】试题分析：（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6．（2）存在.设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），∴.∵，∴当时，线段PC最大且为．（3）设直线AC的解析式为y=﹣x+b，考点：1.二次函数综合题；2.单动点问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.二次函数的性质；6.直角三角形的判定．4.（武汉）如图，已知直线AB：与抛物线交于A、B两点，（1）直线AB总经过一个定点C，请直接写出点C坐标；（2）当时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；（3）若在抛物线上存在定点D使∠ADB＝90°，求点D到直线AB的最大距离.【答案】（1）（-2，4）；（2）（-2，2）或（1，）；（3）.【解析】联立，解得：或．∴点A的坐标为（-3，），点B的坐标为（2，2）．如答图1，过点P作PQ∥y轴，交AB于点Q，过点A作AM⊥PQ，垂足为M，过点B作BN⊥PQ，垂足为N．∴符合要求的点P的坐标为（-2，2）或（1，）．（3）如答图2，过点D作x轴的平行线EF，作AE⊥EF，垂足为E，作BF⊥EF，垂足为F．∵点A、B是直线AB：与抛物线交点，∴m、n是方程即两根．∴．∴，即，即.∴（舍）．∴点D到直线AB的最大距离为．考点：1.二次函数综合题；2.因式分解法解一元二次方程；3.根与系数的关系；4.勾股定理；5.相似三角形的判定和性质；6.分类思想的应用．5.（襄阳）（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．（1）填空：点A坐标为▲；抛物线的解析式为▲．（2）在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？（3）在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？【答案】（1）（1，4），y=﹣x2+2x+3；（2）或；（3）当t=2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．【解析】试题解析：（1）（1，4），y=﹣（x﹣1）2+4．（2）依题意有：OC=3，OE=4，∴.当∠QPC=90°时，∵，∴，解得.当∠PQC=90°时，∵，∴，解得.∴QF=∴.∴当t=2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．考点：1.二次函数综合题；2.双动点问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.二次函数的性质；6.矩形的性质；7.勾股定理；8.由实际问题列函数关系式；9.分类思想和转换思想的应用.6.（孝感）（本题满分12分）如图1，矩形ABCD的边AD在y轴上，抛物线经过点A、点B，与x轴交于点E、点F，且其顶点M在CD上．（1）请直接写出下列各点的坐标：A▲，B▲，C▲，D▲；（4分）（2）若点P是抛物线上一动点（点P不与点A、点B重合），l与直线AB交于点G，与直线BD交于点H，如图2．①当线段PH=2GH时，求点P的坐标；（4分）②当点P在直线BD下方时，点K在直线BD上，且满足△KPH∽△AEF，求△KPH面积的最大值．（4分）【答案】（1）A（0，3），B（4，3），C（4，－1），D（0，－1）；（2）①或；②．【解析】试题分析：（1）令x=0，得到点A的坐标，再根据点A的纵坐标得到点B的坐标，根据抛物线的顶点式和设点P的坐标为，则点H，点G．i）当且x≠4时，点G在PH的延长线上，如答图①．∵PH＝2GH，∴，，解得．当时，点P，H，G重合于点B，舍去．∴，此时点P的坐标为．ii）当时，点G在PH的反向延长线上，如图②，PH＝2GH不成立．iii）当时，点G在线段PH上，如图③．∵PH＝2GH，∴，即，解得（舍去）.∴，此时点P的坐标为．综上所述可知，点P的坐标为或．②如图④，令，得，∴E，F，∴EF＝2．∴．∵△KPH∽△AEF，∴.考点：1.二次函数综合题；单动点问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.待定系数法的应用；5二次函数的性质；6.矩形的性质；7.相似三角形的判定和性质；8.分类思想的应用．7.（呼和浩特）（12分）如图，已知直线l的解析式为，抛物线y=ax2＋bx＋2经过点A（m，0），B（2，0），D三点．（1）求抛物线的解析式及A点的坐标，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象；（2）已知点P（x，y）为抛物线在第二象限部分上的一个动点，过点P作PE垂直x轴于点E,延长PE与直线l交于点F，请你将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数，并求出S的最大值及S最大时点P的坐标；（3）将（2）中S最大时的点P与点B相连，求证：直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上．【答案】（1），（–4，0），作图见解析；（2），其中–4<x<0，12，（–2，2）；（3）证明见解析.【解析】试题解析：（1）∵y=ax2＋bx＋2经过B（2，0），D，∴，解得（2）∵由题设知直线l的解析式为，∴.又∵AB=6，∴.∴将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数为，其中–4<x<0.∵，∴S最大=12，此时点P的坐标为（–2，2）.（3）∵直线PB过点P（–2，2）和点B（2，0），.考点：1.二次函数与一次函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.由实际问题列函数关系式；5.二次函数最值的应用.8.（宁夏）（10分）在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB,垂足为Q，连接AP．（1）试说明不论点P在BC边上何处时，都有△PBQ与△ABC相似；（2）若AC=3，BC=4，当BP为何值时，△AQP面积最大，并求出最大值；（3）在Rt△ABC中，两条直角边BC、AC满足关系式BC=AC，是否存在一个的值，使Rt△AOP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．【答案】（1）说明见解析；（2）当BP=时，△APQ的面积最大，最大值是；（3）存在.【解析】试题分析：（1）由∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B，根据相似三角形的判定得出结论.（2）求出△AQP面积关于BP的二次函数，应用二次函数的最值原理求解即可.（3）根据Rt△AOP≌Rt△ACP≌Rt△BQP求出的值即可.在Rt△ABC中，由勾股定理，得.∴BC=AC.∴时，Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP.考点：1.单动点问题；2.相似三角形的性质；3.由实际问题列函数式；4.二次函数的最值；4.全等三角形的性质.9.（滨州）（本小题满分12分）如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.（1）求证：△APQ∽△CDQ；（2）P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位的速度向B点移动，移动时间为t秒.①当t为何值时，DP⊥AC？②设，写出y与t之间的函数解析式，并探究P点运动到第几秒到第几秒之间时，y取得最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）①5；②，8-9.【解析】试题分析：（1）如图，由矩形的性质求出∠1=∠2，∠3=∠4即可证明△APQ∽△CDQ.（2）①当DP⊥AC时，由△ADC∽△PAD列比例式可求解.（2）①当DP⊥AC时，∴∠4+∠2=90o.又∵∠5+∠2=90o，∴∠4=∠5.又∵∠ADC=∠DAP=90o，∴△ADC∽△PAD.∴，即.∴PA=5.t012345678910y10095.4891.8888.9186.678583.8583.1582.8682.9383.33t11121314151617181920y84.038586.2187.6589.2993.1195.2697.56100从表中可看出：当时；y随t的值的增大而减小；当时；y随t的值的增大而增大.∴P点运动到第8秒到第9秒之间时，y取得最小值.考点：1.单动点问题；2.相似三角形的判定和性质；3.由实际问题列函数关系式；4.列表求函数值分析函数的性质.10.（成都）（本小题满分12分）如图，已知抛物线（为常数，且）与轴从左至右依次交于A,B两点，与轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D.（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止.当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？【答案】（1）；（2）或；（3）F.【解析】试题分析：（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，依次求出的值得到直线的解析式、点D的纵坐标、的值得到抛物线的函数表达式.∵BM=9，AB=6，∴BF=，BD=，AF=（2）分△PAB∽△ABC和△PAB∽△BAC两种情况讨论即可.（3）过点D作DH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥DH于点G，交BD于点F，则点F即为所求，理由是，（2）易得，点C的坐标为，则.设点P的坐标为，分两种情况：①若△PAB∽△ABC，则∠PAB=∠ABC，.∴由∠PAB=∠ABC得，即.∴，解得.此时点P的坐标为，，∴由得，解得.②若△PAB∽△BAC，则∠PAB=∠BAC，.∴由∠PAB=∠BAC得，即.∴，解得.此时点P的坐标为，，∴由得，解得.（3）如图，过点D作DH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥DH于点G，交BD于点F，则点F即为所求.考点：1.单动点问题；2.二次函数和一次函数交点问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.勾股定理；5.相似三角形的判定；6.垂直线段最短的性质；7.分类思想和数形结合思想的应用.11.（天津）（本小题10分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（-2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点.若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE’D’F’，记旋转角为α.（1）如图①，当α＝90°，求AE'，BF'的长；（2）如图②，当α＝135°，求证AE'＝BF'，且AE'⊥BF'；（3）若直线AE'与直线BF'相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）.【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）.【解析】（2）当α=135°时，如图②．∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF绕点O顺时针旋转135°所得，∴∠AOE′=∠BOF′=135°．在△AOE′和△BOF′中，∵，∴△AOE′≌△BOF′（SAS）．∴AE′=BF′，且∠OAE′=∠OBF′．∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB，∠CAO=∠CBP，∴∠CPB=∠AOC=90°.∴AE′⊥BF′．（3）在第一象限内，当点D′与点P重合时，点P的纵坐标最大．考点：1.面动旋转问题；2.三角形的外角性质；3.全等三角形的判定和性质；4.含30度角的直角三角形的性质；5.勾股定理．12.（新疆、兵团）（12分）如图，直线与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t≤3）．（1）写出A，B两点的坐标；（2）设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，△AQP的面积最大？（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标．【答案】（1）点A（6，0），B（0，8）；（2），3；（3）t=秒时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，此时点Q的坐标为.【解析】∵点P的速度是每秒2个单位，点Q的速度是每秒1个单位，∴AP=2t，AQ=AB﹣BQ=10﹣t.∴点Q到AP的距离为AQ•sin∠OAB=（10﹣t）×=（10﹣t），∴△AQP的面积.∴S与t之间的函数关系式为.∵，＜0，0＜t≤3，∴当t=3时，△AQP的面积最大，.（3）若∠APQ=90°，则，∴，解得.考点：1.一次函数综合题；2.双动点问题；3.由实际问题列函数关系式；4.勾股定理；5.锐角三角函数定义；6.二次函数的性质；7.相似三角形的判定和性质；8.分类思想的应用．13.（重庆A）如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点.（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边，当矩形PQMN的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ.过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）.若FG=DQ，求点F的坐标.【答案】（1）A（-3，0），B（1，0），C（0，3）；（2）；（3）或（1，0）.【解析】试题分析：（1）依据抛物线的解析式直接求得C的坐标，令y=0解方程即可求得A、B点的坐标.（2）求出矩形PQMN的周长关于点M横坐标的解析式，应用二次函数最值原理求出矩形PQMN的周长时点M横坐标的值，求出此时△AEM的面积.（3）根据FG=DQ列关于点F横坐标的方程求解即可．设直线AC的解析式为，则，解得.∴直线AC的解析式为.将x=-2代入，得y=1，∴.∴.（3）由（2）知，当矩形PQMN的周长最大时，x=-2，此时，，与点C重合，∴OQ=3.由得.如图，过点D作DK⊥y轴于点K，则DK=1，OK=4，∴QK=OK-OQ=4-3=1.∴△DKQ是等腰直角三角形，.∴.设，则，∴，解得.当时，；当时，.∴点F的坐标为或（1，0）.考点：1.二次函数综合题；2.单动点问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.三角形面积的确定；5.二次函数最值的应用；6.数形结合思想的应用．14.（重庆B）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC.（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长；（3）在（2）的条件下，当BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标.【答案】（1），C（0，3）；（2）；（3）或或或.【解析】试题分析：（1）在中分别令y=0，x=0，即可求得A、B、C三点的坐标.（2）当过点M且与BC平行的直线与抛物线只有学科网一个交点（叫直线与抛物线相切）时，△