数学达标训练第一讲一平面直角坐标系

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精更上一层楼基础·巩固1在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线2x′2+8y′2=0，则曲线C的方程为()A。25x2+36y2=0B。9x2+100y2=0C.10x+24y=0D.x2+y2=0思路解析：将坐标直接代入新方程,即可得原来的曲线方程。将直接代入2x′2+8y′2=0,得2(5x)2+8（3y)2=0,即25x2+36y2=0为所求曲线C的方程。答案：A2△ABC中,若BC的长度为4，中线AD的长为3，则A点的轨迹方程是_______.思路解析:取B、C所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴,建立直角坐标系,则B(-2，0）、C（2，0）,设A(x,y),则D(0，0），所以|AD|=.答案：x2+y2=9(y≠0）3在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。(1）5x+2y=0;（2）x2+y2=1。思路分析：根据变换公式，分清新旧坐标代入即可。解:(1）由伸缩变换，得.将其代入5x+2y=0,得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x′+3y′=0.经过伸缩变换后，直线仍然是直线。(2)将代入x2+y2=1，得到经过伸缩变换后的图形的方程是=1。经过伸缩变换后，圆变成了椭圆。4在同一平面直角坐标系中，将曲线x2-36y2-8x+12=0变成曲线x′2—y′2—4x′+3=0，求满足图象变换的伸缩变换。思路分析：x2-36y2-8x+12=0可化为（）2—9y2=1，①x′2—y′2—4x′+3=0可化为（x′-2)2—y′2=1,②比较①②，可得x′-2=，y′=3y。解:伸缩变换为将曲线x2—36y2—8x+12=0所在的坐标系的x轴扩大到原来的2倍，y轴伸长到原来的3倍，就可得到曲线x′2—y′2—4x′+3=0的图象.5已知△ABC，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且有BD∶DC=AE∶EB=CF∶FA。求证：△DEF与△ABC的重心重合.思路分析：根据三角形的特点建立坐标系，利用重心坐标公式求解。证明：以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系,如图：设A（a，b),B(0，0),C(c，0)，由重心G(),设=λ.则点D(0），E(）,F（).由重心坐标公式,可知△DEF的重心G′的坐标为：（=（).∴G与G′重合。也就是△DEF和△ABC的重心重合.6已知△ABC的底边BC长为12，且底边固定,顶点A是动点,sinB-sinC=sinA，求点A的轨迹。思路分析：由于顶点A为动点，所以应该以底边为x轴建立坐标系，利用正弦定理求解。解:以底边BC为x轴，底边BC的中点为原点建立xOy坐标系，这时B(—6，0)，C（6，0)，由sinB-sinC=sinA,得b-c=a=6，即｜AC|—|AB|=6.所以,点A的轨迹是以B(-6,0)，C(6，0）为焦点，2a=6的双曲线的左支。其方程为=1(x〈-3）。综合·应用7如图1—图1（1)求点P的轨迹方程；（2)经过点C的直线l与点P的轨迹交于M、N两点,且点C分所成比等于2∶3,求直线l的方程.思路分析：先根据圆切线的定义，可得到点P的轨迹是椭圆,然后建立适当的坐标系求出点P的轨迹方程;根据定比分点坐标公式，找出相关点的坐标,列出方程组求点M、N的坐标，从而求出直线方程.解:（1）∵｜PE|=｜PD|，｜BD｜=｜BA｜，|CE|=｜CA｜,∴｜PB|+|PC｜=|PD|+｜DB｜+|CE｜-|PE|=|BD｜+|CE｜=|AB｜+｜CA|=18＞6=|BC｜.∴P点轨迹是以B、C为焦点,长轴长等于18的椭圆.以B、C两点所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则可设椭圆的方程是=1(a＞b＞0).∵a=9，c=3,∴b2=72.∴P点的轨迹方程是=1(y≠0)。(2）设M（x1,y1）、N(x2,y2),∵C(3,0)分MN所成的比为，∴∴=1。∴①又=1，②由①②消去y2,得=1.解得x2=—3，y2=±8，即N(—3，±8)。∴由C、N可得直线的方程是4x+3y—12=0或4x—3y-12=0.8如图1-1—6,某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米,要求通行车辆限高图1(1）若最大拱高h为6米,则隧道设计的拱宽l是多少？（2）若最大拱高h不小于6米,则应如何设计拱高h和拱宽l,才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小?（半个椭圆的面积公式为S=lh,柱体体积为底面积乘以高。本题结果精确到0.1米）思路分析：当最大拱高h为定值时,隧道设计的拱宽l即为2a；当最大拱高h为变量时，可根据均值定理，得到椭圆面积为最小。解:（1）如图建立坐标系，则点P（11,4.5)，椭圆方程为=1。将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得a=,l=2a=≈33。3。故隧道的拱宽约为33.3米。(2）由椭圆方程=1,得=1.因为≥，即ab≥99，且l=2a，h=b,所以S=lh=.当S取最小值时,有=,得a=，b=。此时l=2a=222≈31.1，h=b≈6。4。故当拱高约为6。4米,拱宽约为31.1米时，土方工程量最小。9某河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5m时，水面宽8m,一木船宽4m,高2m，载货后木船露在水面上的部分高为m,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，木船开始不能通航？思路分析：求抛物线方程时,若由已知条件可知曲线是抛物线，一般用待定系数法.本题中影响通航的因素是高度和宽度,而宽度是首要的,据对称性,可取拱顶为坐标原点,拱桥的对称轴为y轴建立直角坐标系xOy，设抛物线方程为x2=-2py（p＞0）,运用代定系数法确定参数p，问题即可获解.解：根据题意,建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为x2=-2py(p＞0)，∵A(4,-5)在抛物线上，∴42=-2p(—5），p=1.6.∴x2=-3。2y(—4≤x≤4）。设当水面BB′上涨到与抛物线拱顶相距h米时船开始不能通航，这时木船两侧与抛物线接触，于是可设木船宽BB′的端点B的坐标为（2,y1）,由22＝—3。2y1，得y1＝,h=|y1|+=｜｜+=2（m)。所以当水面上涨到与抛物线拱顶相距2m时，船开始不能通航.10如图1-1-图1思路分析：由于椭圆相对于直角是运动的,不便找出中心O′相对于直角的变化规律.若反过来变更问题的形式,由于直角与椭圆的动与静是相对的，把椭圆看作是固定的,而与之相切的直角自然就是绕着椭圆转动了.问题就转化为如图所示的“求椭圆=1的两条互相垂直的切线的交点的轨迹”.解：如图所示,在坐标系xO′y中设两条互相垂直的切线OE、OF的交点O的坐标为（u,v)，当两条切线的斜率都存在时，设椭圆=1的切线的斜率为k，则过点O（u,v)的切线方程为y=k(x—u）+v,将其代入椭圆方程并整理可以得到（b2+k2a2）x2-2a2(ku—v）x+a2［（ku—v)2—b2于是有Δ=[—2a2（ku-v）］2-4(b2+k2a2）·a2［(ku-v)2—b化简得关于k的一元二次方程（u2—a2)k2—2uvk+(v2—b2）=0。这个关于k的一元二次方程的两个根就是切线OE、OF的斜率。因为OE⊥OF,所以两根