数学达标训练：向量的线性运算

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精更上一层楼基础·巩固1。可以写成：①；②;③；④.其中正确的是()A.①②B.②③C。③④D。①④思路解析：向量加法的三角形法首尾顺次连接，而从同一点出发的两个向量的差与连接两个向量的终点且指向被减数的向量对应。答案:D2.下列命题中，真命题的个数为（)①如果a与b的方向相同或相反，那么与a共线的向量的方向必与a、b之一的方向相同②△ABC中，必有=0③若=0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点④若a，b均为非零向量，且方向相同，则｜a+b|与｜a｜+｜b｜一定相等A.0B。1C.2思路解析：①若与a共线的为0,则它不一定与a、b方向相同；②正确；③有可能A、B、C三点共线；④一般来说,｜a+b｜≤｜a|+|b|,但当两个向量a，b方向相同时,则有｜a+b|=|a|+｜b|.答案：C3.如图2—2—16,已知ABCDEF是一正六边形,O是它的中心，其中=a，=b，=c,则等于（）图2-2A。a+bB。b—aC。c—bD.b-c思路解析：因=b—c.答案：D4.向量a、b共线的有（)①a=2e,b=-4e②a=e1—e2，b=-3e1+3e2③a=2e1—e2，b=e1—e2④a=e1+e2，b=2e1+2e2A.①②③B.②③④C。①③④D.①②③④思路解析:对于①②③④中的向量a与b，都存在一个相应的实数λ，使a=λb.答案：D5.设e1、e2是两个不共线的向量，若向量a=4e1-2e2与向量b=e1+λe2(λ∈R)共线,则λ的值是(）A。λ=0B。λ=-1C.λ=-2思路解析：设a=μb（μ∈R）,则4e1—2e2=μ(e1+λe2)，即得答案：D6.在正六边形ABCDEF中,=m，=n,则=___________________.思路解析:=m-n.答案：m—n7。已知OADB是以向量=a，=b为邻边的平行四边形，且=,=,用a、b表示以下向量：图2-2(1)=__________________；(2）=___________________;（3)=___________________.思路解析：(1)+=b+(a—b）=a+b；(2)==(a+b）；(3)=a+b-a—b=a—b.答案：(1）a+b（2)a+b（3）a-b8。化简：()-（）=_________________.思路解析：(）-()=—(）=-()==0.答案：09。如图2—2-图2思路分析：先画出物体受力分析图，将实际问题转化为数学模型，再利用向量的知识解决问题。解：如图，作平行四边形CDEF，则向量是重力的相反向量，因此，|｜=100，且由已知可得四边形CDEF是矩形.在Rt△CEF中，∠ECF=60°,则｜｜=||·cos60°=50，｜｜=||=｜|·sin60°=50。即两根绳子的拉力AC的为50kg，BC的为50kg10.在△OAB中，=,=，与交于M点，设=a，=b.（1)用a、b表示。(2）在已知线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F，使EF过M点.设=p,=q,求证：=1。思路分析：利用向量的线性运算及向量共线定理。解：（1)设=ma+nb,则=ma+nb—a=(m—1）a+nb.=b—a=-a+b.∵A、M、D三点共线，∴与共线.∴.∴m+2n=1。①而=ma+nb-a=(m—)a+nb，=b-a=—a+b。∵C、M、B三点共线,∴CM与CB共线。∴。∴4m+n=1。②∴联立①②，解之，得m=，n=.∴=a+b。（2）∵=a+b-p=a+b-pa=（-p）a+b,=q-p=qb—pa=-pa+qb，又∵与共线，∴.∴q-pq=-p.∴=1.综合·应用11.已知△ABC中，∠C=90°,AC=BC,则下列等式中成立的有(）①|｜=|｜②｜|=|｜③｜|=||④|｜2=｜|2+|｜2A。1个B。2个C.3个D。4个思路解析：如右图，以AC、BC为邻边作正方形ADBC。则由向量加、减法的平行四边形法则及三角形法则有，，由于ADBC为正方形，则AB=CD，即｜｜=|｜,所以①式成立.又,，而AC=BC，则有｜|=｜｜，所以②式成立.,，则③式也成立。,，,在等腰Rt△ABC中,AB2=CA2+BC2，而CD=AB，BC=AC,所以｜｜2=|｜2+||2也成立，故上面四个等式均成立.答案：D12.设e1、e2是两个不共线向量，已知向量a=3e1+4e2，向量b=(sinα-m）e1+4e2，α∈R,且a∥b，则m的最小值为()A.-B。—1C.—2思路解析：由于a∥b，则有a=λb，即3e1+4e2=λ（sinα-m)e1+4λe2，又e1、e2是两个不共线向量，所以有整理得m=sinα-3。因此，m的最小值为-2。答案：C13.已知向量a、b是两个非零向量，在下列四个条件中,能使a、b共线的条件是（）①2a-3b=4e，且a+2b=-3e②存在相异实数λ、μ，使λa+μb=0③xa+yb=0（其中实数x、y满足x+y=0)④已知梯形ABCD中，=a，=bA.①②B.①③C.②④D。③④思路解析:首先判定①能否使a、b共线.由方程组可求得a=-e,b=-e,∴b=10a.∴a与b共线，因此可排除C、D.而由②可得λ、μ是相异实数，所以λ、μ不同时为0，不妨设μ≠0.∴b=—a.故a、b共线，所以排除B。应选择A.答案：A14.点M是△ABC的重心,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,则等于()A.B.-C。0D。思路解析：如右图,以、为邻边作平行四边形MAGC，因F为AC中点，也是MG的中点，MG=2MF,∴。∴=0.答案：C15。证明对于任意两个向量a、b，都有｜|a｜-｜b|｜≤｜a+b｜≤｜a｜+|b|。思路分析：由于不等式本身有明显的几何意义,故应选用向量的几何意义进行证明。可根据向量a、b共线与不共线两种情况讨论。证明:若a、b中有一个为零向量，则不等式显然成立。若a、b都不是零向量，记=a，=b，则=a+b.（1)当a、b不共线时,如图(甲)所示，则有｜｜｜-｜｜|＜｜｜＜|｜+｜｜，即｜｜a|-｜b||≤｜a+b|≤|a|+｜b｜。（甲)(2)当a、b共线时,若a、b同向，如图（乙)所示，｜｜=｜｜+｜|，（乙)即｜a+b|=|a｜+|b｜.若a、b反向，如图（丙)所示，｜｜|—|｜|=｜|，即||a|-｜b｜｜=｜a+b｜。（丙)综上可知，｜｜a｜—｜b｜｜≤|a+b|≤｜a|+|b|。回顾·展望16.（2006浙江高考）设向量a,b，c满足a+b+c=0，且a⊥b，｜a|=1，|b|=2,则｜c|2的值为（）A。1B.2C。4思路解析：由向量加法的几何意义，a、b、c所对应的线段构成一个直角三角形，两直角边长分别为1、2.答案：D17。（2006广东高考）如图2—2—图2-2-19A.-+B。-—C.-D.+思路解析：+，故选A。答案：A18。（2006上海高考)如图2-图2A。B.C。D.=0思路解析：由于ABCD是平行四边形，则它的对边平行且相等.由向量相等的概念可知A项正确；由向量加法和减