数学达标训练：向量的数量积

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精更上一层楼基础·巩固1。已知a=（3，2）,b=(2,—3），则向量a与b的夹角为（)A。B。C.D.思路解析：由a·b=3×2+2×（—3)=0,∴a⊥b。∴两向量夹角为。也可通过画简图帮助分析。答案:D2。若向量a与b的夹角为120°,|b|=4，（a+2b）·(a—3b）=—72,则向量a的模为(）A。2B。4C.6思路解析：将（a+2b)·(a—3b)=-72展开，即a2+2a·b—3a·b—6b∴｜a｜2-a·b-6|b|2+72=0，即|a｜2—｜a||b｜cos120°—24=0.∴｜a|2+2|a|-24=0，解得|a|=4或｜a|=-6(舍去）。故|a|=4。答案:B3。已知平面向量a=（4,2），b=(x,-4)，且a⊥b,则x等于()A。2B.1C。-1思路解析:4x+2×（-4)=0得x=2.答案:A4。已知a=（1，1),b=（1，0）且ka+b恰好与b垂直，则实数k的值是()A。1B。—1C。1或-1思路解析:ka+b=k(1,1）+(1,0）=(1+k，k),∵ka+b与b垂直，∴(ka+b）·b=0,即（1+k,k)·（1，0)=0。∴（1+k)×1+k×0=0得k=-1.答案：B5.已知a、b是非零向量且满足（a-2b)⊥a,（b-2a)⊥b，则a与bA。B。C。D。思路解析:设a与b的夹角是α，∵（a—2b）⊥a,∴（a—2b）·a=0，即｜a|2-2a·b=0.又∵(b—2a)⊥b,∴(b-2a)·即|b｜2-2a·b=0.由①②知｜a|=|b|,a·b=|a|2=｜b｜2，∴cosα==.∴a与b的夹角为。答案：B6。已知平面上三点A、B、C满足｜|=6，|｜=8,||=10，则···的值等于___________________________。思路解析：∵|｜2+|｜2=|｜2,∴∠B=90°cos∠ABC=0，cos∠BAC=,cos∠BCA=。∴原式=6×8×0+8×10×(-）+6×10×(—)=-100.答案：—1007.设a、b、c是任意的非零平面向量,且它们相互不共线，下列命题：①（a·b)·c-(c·a）·b=0;②|a|—|b|＜|a—b|;③(b·c）a—（c·a）b不与c垂直;④(3a+2b）·(3a-2b）=9|a|2—4｜b｜2.其中正确的有思路解析:①错误，因向量的数量积不满足结合律。③错误，因［（b·c）·a-(c·a）·b］·c=(b·c)·(a·c）-(c·a）·（b·c)=0，则(b·c）·a-（c·a)·b与c垂直。②④都是正确的。答案:②④8.已知|a|=5,b=(-4，3)，且a⊥b,则a的坐标为_________________________。思路解析:设a的坐标为(x，y),由已知则有解得或答案:（3,4）或（—3,-4)9.已知|a｜=8，|b｜=10，当（1)a∥b，(2）a⊥b,（3)a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积。思路分析：利用向量数量积的定义求解,求解时应注意两向量平行时需分两类.解:(1）a∥b，若a与b同向,则θ=0°，∴a·b=|a|｜b|cos0°=8×10=80.若a与b反向,则θ=180°,∴a·b=|a｜｜b｜cos180°=8×10×（-1）=—80。（2)当a⊥b时,θ=90°,a·b=｜a|｜b|cos90°=0.(3）当a与b的夹角为60°时，a·b=|a｜|b｜cos60°=8×10×=40.10。已知向量a=(3，4）,b=(4,3），试确定能使（xa+yb）⊥a且|xa+yb｜=1成立的x、y的值.思路分析：本题利用向量的模、垂直的坐标表示等基础知识.解题时由已知条件建方程组解之即可.解：由于a=（3,4）,b=(4，3)，所以xa+yb=x（3,4)+y（4,3)=（3x+4y，4x+3y)。因为(xa+yb）⊥a且｜xa+yb｜=1，所以有解得或综合·应用11。若O为△ABC所在平面内一点,且满足（）·（）=0,则△ABC的形状为（）A。正三角形B.直角三角形C。等腰三角形D。A、B、C均不是思路解析：由（)·(）=0，得·（）=0,又∵，∴(）·(）=0,即｜|2—||2=0。∴｜|=｜｜。∴△ABC为等腰三角形.答案：C12.已知点A(1，0)、B(5，—2)、C（8，4）、D（4，6），则四边形是（)A。正方形B。菱形C。梯形D.矩形思路解析:如右图，=(4，-2），=(4,-2），∴.∴四边形ABCD为平行四边形.又·=（4,-2）·（3,6）=4×3+（—2)×6=0，∴⊥.又||≠|｜,∴四边形为矩形.答案：D13。已知a=(λ，3),b=（-3，5）且a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围是（）A。λ＞5B。λ≥5C。λ＜5思路解析:设两向量的夹角为θ,由已知可得—1＜cosθ=＜0，经验证A项正确。答案：A14。点A（3,0）、B（—2,0)，动点P(x，y)满足·=x2，则点P的轨迹方程是_________________.思路解析:∵=（3-x，-y）,=(-2-x,-y).∴(3-x）（—2—x）+(-y)(-y）=x2。∴y2=x+6。答案:y2=x+615.已知a、b为非零向量,当t=________________时,a+tb（t∈R）的模取最小值.思路解析：由|a+tb|2=t2|b|2+2ta·b+|a|2是关于t的二次式,∴当t=-时,即t=—。答案:—16。i、j是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的两个单位向量，且=4i+2j,=3i+4j,证明△ABC是直角三角形，并求它的面积。思路分析：利用向量数量积的坐标运算及垂直的坐标条件。证明:=（4，2),=（3，4），则=(3—4,4-2)=（-1，2),=（-4，-2)，∴·=（-1)×（—4)+（—2)×2=0。∴⊥,即△ABC是直角三角形。｜|=，|｜=,且∠B=90°，∴S△ABC=×=5。17.(2006四川高考)如图2-4—8，已知正六边形P1P2P3P4P图2A。·B.·C.·D.·思路分析:设正六边形的边长为1，则·=1××cos30°=,·=1×2×cos60°=1，·=1××cos90°=0，·=1×1×cos120°=—。答案:A18.(2006重庆高考）与向量a=（，),b=(，）的夹角相等,且模为1的向量是（)A.（,-）B。(,-）或（-，）C.（，—)D。(，—)或(—，）思路解析：设出向量的坐标,利用已知条件建立方程组求解或反代排除法求解.方法一:设所求向量的坐标为（x,y）,由已知可得解得或方法二：(反代排除法）验证（，—)满足已知条件，验证（—,）也满足已知条件，故选择B.答案：B19。(2006江西高考）已知向量a=(1，2),b=(—2,-4)，｜c｜=，若（a+b)·c=,则a与c的夹角为()A.30°B。60°C.120°D。150°思路解析:本题利用向量数量积的坐标运算和向量数量积的性质。解题时要注意隐含条件a与a+b反向。∵a+b=(1，2)+(-2,-4)=（-1，—2)=—a,则a与a+b反向。又a+b=（-1,—2)，则｜a+b|=。则由（a+b)·c=，可得a+b与c的夹角为60°，∴a与c的夹角为120°.答案:C20。(2006重庆高考)已知三点A(2，3)、B（-1,—1)、C（6,k）,其中k为常数.若｜｜=|｜,则与的夹角为（）A.arccos（—)B.或arccosC.arccosD。或π-arccos思路解析：先由已知条件求出k的值，再利用向量数量积的坐标运算求出两向量的夹角.由|｜=|｜可得，解得k=0或k=6。设与的夹角为θ.当k=0时,=(—3,-4）,=(4,-3）,则cosθ==0。当k=6时,=（—3,-4)，=（4,3)，则cosθ==—。所以θ的值为或π-arccos。答案：D21。(2006浙江高考)设向量a、b、c满足a+b+c=0,且（a-b）⊥c，a⊥b,若｜a｜=1，则｜a|2+|b|2+｜c｜2的值是________________________.思路解析:由向量加、减法的平行四边形法则,以a、b对应有向线段为邻边可以构成一个正方形,则其对角线长为，且其中一条对应向量c。答案：422。(2006天津高考)设向量a与b的夹角为θ，且a=(3,3）,2b-a=(—1,1）,则cosθ=_______________。思路解析:首先求出向量b,再利用夹角公式求解.答案:23.（2006北京高考)已知向量a=(cosα,sinα）,b=(cosβ，sinβ)，且a≠±b,那么a+b与a—b的夹角大小是______________________.思路解析：方法一：设a+b与a—b的夹角为θ。∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ，sinβ)，∴a+b=（cos