数学达标训练：三角函数的图象和性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精更上一层楼基础·巩固1.函数y=1—sinx，x∈［0，2π］的大致图象是(）图1思路解析：利用函数图象的平移变换和对称变换解题。函数y=1—sinx，x∈［0，2π］的图象可以看作是将y=sinx,x∈[0,2π］的图象首先作关于x轴的对称图形，然后再向上平移1个单位得到的.答案：B2.把函数y=tan（2x+）的图象隔开的直线是（）A.+（k∈Z)B.—(k∈Z)C。+(k∈Z)D.-(k∈Z）思路解析：由2x+=kπ+（k∈Z)，解得x=+(k∈Z)。答案：A3.方程sinx=lgx的实根的个数是（）A.1B。2C。3D.无数个思路解析：在同一坐标系中作函数y=sinx与y=lgx的图象,如下图，显然两图象有三个交点（xi,yi)，其中xi∈(1，10)（i=1，2，3)是方程sinx=lgx的解。答案:C4.函数y=sin（2x+）的图象的一个对称中心是（）A.(，1）B。（，0)C.（,0）D。(-，-)思路解析:由于对称中心是使函数值为零的点，可排除A、D，当x=时,y=sin(2×+)=sinπ=0，故选B.答案:B5。下列命题中正确的是（)A。函数y=sinx仅在第一象限内是增函数B.函数y=tanx在（-,）∪（,)上单调递增C。函数y=-tanx在(0，)上是增函数D.函数y=tan(cosx）在(0，π)上单调递增思路解析：由正弦函数和正切函数的性质可排除A、B两项，根据余弦函数和正切函数的单调性及复合函数的单调性排除D，故选C.答案：C6.函数y=3cos（x+)—1的最小正周期是___________________。思路解析:T==2π×=5π.答案：5π7。若函数y=cosx的图象上的每个点的纵坐标不变，将横坐标缩小为原来的倍，再将图象沿x轴向左平移个单位，则变换后的图象所对应的函数解析式是______________________.思路解析:函数y=cosx的图象上的每个点的纵坐标不变，将横坐标缩小为原来的得到函数y=cos3x的图象，再将图象沿x轴向左平移个单位得到y=cos3(x+）=—cos3x。答案：y=—cos3x8.已知f（x)=asinx+btanx+cx+1满足f(5)=7,则f（—5)=______________________.思路解析：f(—5）=asin（—5）+btan（—5）+c·(—5)+1=-(asin5+btan5+c·5+1)+2=-f(5）+2=—5.答案：—59.如图1-图1(1）求这段时间的最大温差；（2)写出这段曲线的函数解析式。思路分析:解决此问题的关键是根据图象确定A、ω、φ的值。解：(1）由题图可知，这段时间的最大温差是30-10=20（℃)。（2）题图中从6时至14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象，·=14-6,解得ω=。由题图知，A=（30-10)=10,b=(30+10）=20。这时y=10sin(x+φ）+20.将x=6,y=10代入上式,可得φ=。综上，所求的解析式为y=10sin(x+）+20，x∈［6,14].10。设函数f（x）=asin（kx+)，g(x)=btan(kx-)（k＞0），它们的最小正周期分别为T1、T2，且T1+T2=，已知f(）=g（)，f()=-3g()+1。(1)求f(x),g（x）的解析式；（2）f(x)的图象可由函数y=sinx(x∈R）的图象经过怎样的平移伸缩变换得到?思路分析：考查三角函数的性质及三角函数图象的变换，可根据题目的条件确定a、b、k的值。解：（1）由已知可得+=，则k=2，且有整理得解得所以f(x）=sin(2x+），g（x)=tan(2x-).（2)方法一：将函数y=sinx(x∈R）的图象向左平移个单位，得到函数y=sin（x+)的图象，再将函数y=sin（x+)图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变）即可得函数f（x）=sin(2x+）的图象。方法二：将函数y=sinx（x∈R）图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到函数y=sin2x的图象，再将函数y=sin2x的图象向左平移个单位即可得函数f（x）=sin(2x+)的图象.综合·应用11.已知函数f(x)=sin(πx—）—1，则下列命题正确的是（）A.f（x）是周期为1的奇函数B。f（x）是周期为2的偶函数C.f(x)是周期为1的非奇非偶函数D.f（x）是周期为2的非奇非偶函数思路解析：利用函数周期性和奇偶性的判断,先化简函数的解析式，再判断.由诱导公式，函数f（x）=sin(πx—)—1可化为f(x)=-cosπx—1，则函数的周期为2,且由偶函数的定义可知函数是偶函数.答案：B12.设y=f(t)是某港口水的深度y(米）关于时间t（时）的函数,其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215。112。19.111.914.911。98。912.1经长期观察，函数y=f（t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asin（ωt+φ)(A＞0）的图象。下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（）A。y=12+3sint，t∈［0,24］B。y=12+3sin(t+π),t∈［0,24］C。y=12+3sint,t∈［0,24］D.y=12+3sin（t+)，t∈［0，24］思路解析：由表可知函数的最小值为9,最大值为15，周期为12.则有又当t=3时，y=15，则又有15=12+3sin（3×+φ）φ+=2kπ+（k∈Z）,即φ=2kπ(k∈Z).所以函数的解析式为y=12+3sint,t∈［0,24］。答案：A13。函数y=tan（3x—)的一个对称中心为（）A。（,0)B。(，0)C.（—,0）D。（-,0)思路解析：令3x—=(k∈Z），可解得x=+,k∈Z.k=—2时，可得对称中心为(-，0），故选D。答案：D14.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x）的最小正周期为π,且当x∈[0,］时,f（x）=sinx,则f（）的值为(）A.—B。C.-D.思路解析：f（)=f（2π-)=f（—）=f()=sin=.答案：D15.已知函数y=Asin（ωx+φ)+n（ω＞0）的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，且直线x=—为其图象的一条对称轴,若｜φ|＜，那么此函数的解析式为______________________。思路解析:由已知可得|A|=n=2，又函数的最小正周期为，则ω==4,则函数的解析式可写为y=±2sin(4x+φ)+2。又直线x=—为其图象的一条对称轴,则有4×（-）+φ=kπ+（k∈Z）.由于｜φ｜＜，则φ=—，所以函数的解析式为y=±2sin(4x—)+2.答案：y=±2sin(4x—）+216.已知函数f（x）=sinx+2|sinx｜,x∈［0,2π]和直线y=k,若函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_______________________________；若函数的图象与直线有且仅有四个不同的交点，则k的取值范围是_________________________________。思路解析：f(x)=sinx+2｜sinx｜=作出其图象(如下图)。由图象可知，若函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，实数k的取值范围是1＜k＜3；若函数的图象与直线有且仅有四个不同的交点，实数k的取值范围是0＜k＜1.答案:1＜k＜30＜k＜117.设函数f(x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x)在[a,b]上的面积，已知函数y=sinnx在［0,]上的面积为（n∈N*）。（1）y=sin3x在［0,］上的面积是_________________；（2）y=sin（3x—π)+1在［，］上的面积是________________。思路解析：由于函数y=sin3x的周期为，作出函数在［0，］上的图象,如右图所示，由已知，y=sin3x在［0,］上的面积为.(2)由于y=sin（3x-π）+1=1-sin3x,而［,]的区间长度也等于其一个半周期，如下图，由正弦函数图象的对称性可知，图中1、2、3三个区域的面积相等，则函数y=sin(3x—π）+1与x轴及直线x=，x=所围成的图形可割补一个长方形与图形3,则它的面积等于长方形的面积与图形3的面积的和，故为π+.答案：π+18。已知函数y=Atan(ωx+φ)（A＞0,ω＞0，｜φ｜＜）的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为(,0)和(,0)，且过点（0,-3)。（1)求它的解析式；（2)指出它的单调区间。思路分析：利用正切函数的性质及复合函数的单调性.解：（1）由已知可知，函数的最小正周期为，则由T=,可得ω=，又点（,0）在函数的图象上，则有×+φ=kπ（k∈Z）。即φ=kπ—（k∈Z）,又｜φ|＜,则φ=—.又函数的图象过点(0，-3)，则有—3=Atan（-）,则A=3。所以函数的解析式为y=3tan（x-).（2）由kπ—＜x—＜kπ+(k∈Z),得—＜x＜+(k∈Z），即函数的单调增区间为(—，+)（k∈Z）.回顾·展望19.(2006福建高考)已知函数f(x)=2sinωx（ω＞0）在区间[-，］上的最小值是-2,则ω的最小值等于(）A.B.C.2D.3思路解析：将ω=、、2、3代入解析式验证,应选B。答案：B20.（2006江苏高考）已知a∈R，函数f（x）=sinx—|a｜，x∈R为奇函数，则a等于(）A.0B.1C。—1思路解析：由于函数f（x）=sinx—｜a｜,x∈R为奇函数，则有f（0)=0，即｜a｜=0，所以a=0。答案:A21。（2006江苏高考)为了得到函数y=2sin(+），x∈R的图象，只需把函数y=2sinx,x∈R的图象上所有的点()A。向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）B。向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变）C。向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变）D.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)思路解析:由于是由y=2sinx,x∈R,变换成y=2sin(+）,x∈R,则需要先把y=2sinx，x∈R的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变).答案:C22。（2006北京高考)函数y=1+cosx的图象（)A。关于x轴对称B。关于y轴对称C。关于原点对称D.关于直线x=对称思路解析：设f(x)=1+cosx，由于函数的定义域为R关于原点对称,又f(-x)=1+cos（—x）=1+cosx=f（x),所以，此函数是偶函数，它的图象关于y轴对称。答案：B23。(2006安徽高考)设a＞0，对于函数f（x）=（0＜x＜π),下列结论正确的是（)A。有最大值而无最小值B.有最小值而无最大值C.有最大值且有最小值D。既无最大值又无最小值思路解析：令t=sinx，t∈(0，1］，则函数f（x）=(0＜x＜π)的值域为函数y=1+，t∈（0，1]的值域。又a＞0，所以y=1+，t∈(0，1］是一个减函数，故选B。答案：B24。（2006湖南高考）若f（x)=asin(x+）+bsin（x—)（ab≠0）是偶