专题6.3 变速圆周运动-2024-2025学年高一物理举一反三系列（人教版2019必修第二册）（含答案）

专题6.3变速圆周运动-2024-2025学年高一物理举一反三系列（人教版2019必修第二册）（含答案）专题6.3变速圆周运动【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【题型1绳模型】 【题型2类绳模型】 【题型3杆模型】 【题型4类杆模型】 【题型5对比问题】 【题型6综合问题】 【题型1绳模型】【例1】图所示，当轻杆绕轴BC以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向，绳b在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时轻杆停止转动，则()A．小球仍在水平面内做匀速圆周运动B．在绳b被烧断瞬间，绳a中张力突然增大C．若角速度ω较小，小球在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动D．绳b未被烧断时，绳a的拉力大于mg，绳b的拉力为mω2lb【变式1-1】物体做圆周运动时所需的向心力F需由物体运动情况决定，合力提供的向心力F供由物体受力情况决定．若某时刻F需＝F供，则物体能做圆周运动；若F需>F供，物体将做离心运动；若F需<F供，物体将做近心运动．现有一根长L＝1m的刚性轻绳，其一端固定于O点，另一端系着质量m＝0.5kg的小球(可视为质点)，将小球提至O点正上方的A点处，此时绳刚好伸直且无张力，如图所示．不计空气阻力，g取10m/s2，则：(1)为保证小球能在竖直面内做完整的圆周运动，在A点至少应施加给小球多大的水平速度？(2)在小球以速度v1＝4m/s水平抛出的瞬间，绳中的张力为多少？(3)在小球以速度v2＝1m/s水平抛出的瞬间，绳中若有张力，求其大小；若无张力，试求绳子再次伸直时所经历的时间．【变式1-2】质量为m的小明坐在秋千上摆动到最高点时的照片如图所示，对该时刻，下列说法正确的是()A．秋千对小明的作用力小于mgB．秋千对小明的作用力大于mgC．小明的速度为零，所受合力为零D．小明的加速度为零，所受合力为零【变式1-3】长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L，重力加速度大小为g。今使小球在竖直平面内以A、B连线为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根绳的拉力大小均为()A.eq\r(3)mg B.2eq\r(3)mgC.3mg D.eq\f(4\r(3)mg,3)【题型2类绳模型】【例2】无缝钢管的制作原理如图所示,竖直平面内,管状模型置于两个支承轮上,支承轮转动时通过摩擦力带动管状模型转动,铁水注入管状模型后,由于离心作用,铁水紧紧地覆盖在模型的内壁上,冷却后就得到无缝钢管.已知管状模型内壁半径R,则下列说法正确的是()A.铁水是由于受到离心力的作用才覆盖在模型内壁上B.模型各个方向上受到的铁水的作用力大小相同C.若最上部的铁水恰好不离开模型内壁,此时仅重力提供向心力D.管状模型转动的角速度ω最大为【变式2-1】如图所示，是马戏团中上演的飞车节目，在竖直平面内有半径为R的圆轨道。表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动。已知人和摩托车的总质量为m，人以v1＝eq\r(2gR)的速度通过轨道最高点B，并以v2＝eq\r(3)v1的速度通过最低点A。则在A、B两点轨道对摩托车的压力大小相差()A．3mgB．4mgC．5mg D．6mg【变式2-2】固定在竖直平面内的光滑圆弧轨道ABCD，其A点与圆心等高，D点为轨道的最高点，DB为竖直线，AC为水平线，AE为水平面，如图所示。今使小球自A点正上方某处由静止释放，且从A点进入圆弧轨道运动，只要适当调节释放点的高度，总能使球通过最高点D，则小球通过D点后()A．一定会落到水平面AE上B．一定会再次落到圆弧轨道上C．可能会再次落到圆弧轨道上D．不能确定【变式2-3】在如图所示光滑轨道上，小球滑下经平直部分冲上圆弧部分的最高点A时，对圆弧的压力为mg，已知圆弧的半径为R。则（）A．在最高点A，小球受重力和向心力 B．在最高点A，小球受重力和圆弧的压力C．在最高点A，小球的速度为 D．在最高点A，小球的向心加速度为2g【题型3杆模型】【例3】如图甲所示，轻绳一端固定在O点，另一端固定一小球(可看成质点)，让小球在竖直平面内做圆周运动。改变小球通过最高点时的速度大小v，测得相应的轻绳弹力大小F，得到F－v2图像如图乙所示，已知图线的延长线与纵轴交点坐标为(0，－b)，斜率为k。不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是()A.该小球的质量为bgB.小球运动的轨迹半径为eq\f(b,kg)C.图线与横轴的交点表示小球所受的合力为零D.当v2＝a时，小球的向心加速度为g【变式3-1】(多选)如图所示，轻杆一端套在光滑水平转轴O上，另一端固定一质量为m＝1kg的小球，使小球在竖直平面内做半径为R＝0.4m的圆周运动。设运动轨迹的最低点为A点，最高点为B点，不计一切阻力，重力加速度为g＝10m/s2，下列说法中正确的是()A.要使小球能够做完整的圆周运动，则小球通过B点的速度至少为2m/sB.若小球通过B点的速度为1m/s时，杆对小球的作用力为7.5N，方向向上C.小球能过最高点B时，杆对小球的作用力大小一定随着小球速度的增大而增大D.小球能过最高点B时，杆对小球的作用力大小可能为零【变式3-2】如图甲所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，FN－v2图象如图乙所示．下列说法正确的是()A．当地的重力加速度大小为eq\f(R,b)B．小球的质量为eq\f(a,b)RC．v2＝c时，杆对小球弹力方向向上D．若c＝2b，则杆对小球弹力大小为2a【变式3-3】如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力。忽略空气阻力，则球B在最高点时()A．球B的速度为零B．球A的速度大小为eq\r(2gL)C．水平转轴对杆的作用力为1.5mgD．水平转轴对杆的作用力为2.5mg【题型4类杆模型】【例4】如图所示,小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动,内侧管壁半径为R,小球半径为r,则下列说法正确的是()A.小球在水平线以上的管道中运动时,外侧管壁对小球一定有作用力B.小球在水平线以上的管道中运动时,内侧管壁对小球一定有作用力C.小球在水平线以下的管道中运动时,内侧管壁对小球一定无作用力D.小球通过最高点时的最小速度【变式4-1】(多选)如图甲，固定在竖直平面内的光滑圆形管道内有一小球在做圆周运动，小球直径略小于管道内径，管道最低处N装有连着数字计时器的光电门，可测球经过N点时的速率vN，最高处装有力的传感器M，可测出球经过M点时对管道作用力F(竖直向上为正)，用同一小球以不同的初速度重复试验，得到F与vN2的关系图像如图乙，c为图像与横轴交点坐标，b为图像延长线与纵轴交点坐标，重力加速度为g，则下列说法中正确的是()A．若小球经过N点时满足vN2＝c，则经过M点时对轨道无压力B．当小球经过N点时满足vN2＝eq\r(2)c，则经过M点时对内管道壁有压力C．小球做圆周运动的半径为eq\f(c,5g)D．F＝－b表示小球经过N点时速度等于0【变式4-2】如图所示，小球紧贴在竖直放置的光滑圆形管道内壁做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是()A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝eq\r(gR＋r)B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝eq\r(gR)C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力【变式4-3】（多选）如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R.现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，小球通过最高点时的速率为v0，重力加速度为g，则下列说法中正确的是()A．若v0＝eq\r(gR)，则小球对管内壁无压力B．若v0>eq\r(gR)，则小球对管内上壁有压力C．若0<v0<eq\r(gR)，则小球对管内下壁有压力D．不论v0多大，小球对管内下壁都有压力

参考答案【题型1绳模型】【例1】图所示，当轻杆绕轴BC以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向，绳b在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时轻杆停止转动，则()A．小球仍在水平面内做匀速圆周运动B．在绳b被烧断瞬间，绳a中张力突然增大C．若角速度ω较小，小球在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动D．绳b未被烧断时，绳a的拉力大于mg，绳b的拉力为mω2lb答案BC解析根据题意，在绳b被烧断之前，小球绕BC轴做匀速圆周运动，竖直方向上受力平衡，绳a的拉力等于mg，D错误；绳b被烧断的同时轻杆停止转动，此时小球具有垂直平面ABC向外的速度，小球将在垂直于平面ABC的平面内运动，若ω较大，则在该平面内做圆周运动，若ω较小，则在该平面内来回摆动，C正确，A错误；绳b被烧断瞬间，绳a的拉力与重力的合力提供向心力，所以拉力大于小球的重力，绳a中的张力突然变大了，B正确．【变式1-1】物体做圆周运动时所需的向心力F需由物体运动情况决定，合力提供的向心力F供由物体受力情况决定．若某时刻F需＝F供，则物体能做圆周运动；若F需>F供，物体将做离心运动；若F需<F供，物体将做近心运动．现有一根长L＝1m的刚性轻绳，其一端固定于O点，另一端系着质量m＝0.5kg的小球(可视为质点)，将小球提至O点正上方的A点处，此时绳刚好伸直且无张力，如图所示．不计空气阻力，g取10m/s2，则：(1)为保证小球能在竖直面内做完整的圆周运动，在A点至少应施加给小球多大的水平速度？(2)在小球以速度v1＝4m/s水平抛出的瞬间，绳中的张力为多少？(3)在小球以速度v2＝1m/s水平抛出的瞬间，绳中若有张力，求其大小；若无张力，试求绳子再次伸直时所经历的时间．答案(1)eq\r(10)m/s(2)3N(3)无张力，0.6s解析(1)小球做圆周运动的临界条件为重力刚好提供最高点时小球做圆周运动的向心力，即mg＝meq\f(v\o\al(2,0),L)，解得v0＝eq\r(gL)＝eq\r(10)m/s.(2)因为v1>v0，故绳中有张力．根据牛顿第二定律有FT＋mg＝meq\f(v\o\al(2,1),L)，代入数据得绳中张力FT＝3N.(3)因为v2<v0，故绳中无张力，小球将做平抛运动，其运动轨迹如图中实线所示，有L2＝(y－L)2＋x2，x＝v2t，y＝eq\f(1,2)gt2，代入数据联立解得t＝0.6s．【变式1-2】质量为m的小明坐在秋千上摆动到最高点时的照片如图所示，对该时刻，下列说法正确的是()A．秋千对小明的作用力小于mgB．秋千对小明的作用力大于mgC．小明的速度为零，所受合力为零D．小明的加速度为零，所受合力为零解析：选A在最高点，小明的速度为0，设秋千的摆长为l，摆到最高点时摆绳与竖直方向的夹角为θ，秋千对小明的作用力为F，则对小明沿摆绳方向受力分析有F－mgcosθ＝meq\f(v2,l)，由于小明的速度为0，则有F＝mgcosθ＜mg，沿垂直摆绳方向有mgsinθ＝ma，解得小明在最高点的加速度为a＝gsinθ，A正确，B、C、D错误。【变式1-3】长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L，重力加速度大小为g。今使小球在竖直平面内以A、B连线为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根绳的拉力大小均为()A.eq\r(3)mg B.2eq\r(3)mgC.3mg D.eq\f(4\r(3)mg,3)答案A解析小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，有mg＝meq\f(v2,r)；当小球在最高点的速率为2v时，根据牛顿第二定律有mg＋2FTcos30°＝meq\f(（2v）2,r)，解得FT＝eq\r(3)mg，故选项A正确。【题型2类绳模型】【例2】无缝钢管的制作原理如图所示,竖直平面内,管状模型置于两个支承轮上,支承轮转动时通过摩擦力带动管状模型转动,铁水注入管状模型后,由于离心作用,铁水紧紧地覆盖在模型的内壁上,冷却后就得到无缝钢管.已知管状模型内壁半径R,则下列说法正确的是()A.铁水是由于受到离心力的作用才覆盖在模型内壁上B.模型各个方向上受到的铁水的作用力大小相同C.若最上部的铁水恰好不离开模型内壁,此时仅重力提供向心力D.管状模型转动的角速度ω最大为答案：C解析：离心力不是真实存在的力,A错误;模型最下部受到铁水的作用力最大,最上部受到的作用力最小,B错误;最上部的铁水如果恰好不离开模型内壁,则铁水的重力提供向心力,由得,,故管状模型转动的角速度ω至少为,C正确,D错误.【变式2-1】如图所示，是马戏团中上演的飞车节目，在竖直平面内有半径为R的圆轨道。表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动。已知人和摩托车的总质量为m，人以v1＝eq\r(2gR)的速度通过轨道最高点B，并以v2＝eq\r(3)v1的速度通过最低点A。则在A、B两点轨道对摩托车的压力大小相差()A．3mgB．4mgC．5mg D．6mg[解析]由题意可知，在B点，有FB＋mg＝meq\f(v12,R)，解得FB＝mg，在A点，有FA－mg＝meq\f(v22,R)，解得FA＝7mg，所以A、B两点轨道对摩托车的压力大小相差6mg，D正确。[答案]D【变式2-2】固定在竖直平面内的光滑圆弧轨道ABCD，其A点与圆心等高，D点为轨道的最高点，DB为竖直线，AC为水平线，AE为水平面，如图所示。今使小球自A点正上方某处由静止释放，且从A点进入圆弧轨道运动，只要适当调节释放点的高度，总能使球通过最高点D，则小球通过D点后()A．一定会落到水平面AE上B．一定会再次落到圆弧轨道上C．可能会再次落到圆弧轨道上D．不能确定解析：选A设小球恰好能够通过最高点D，根据mg＝meq\f(vD2,R)，得：vD＝eq\r(gR)，知在最高点的最小速度为eq\r(gR)。小球经过D点后做平抛运动，根据R＝eq\f(1,2)gt2得：t＝eq\r(\f(2R,g))。则平抛运动的水平位移为：x＝eq\r(gR)·eq\r(\f(2R,g))＝eq\r(2)R，知小球一定落在水平面AE上。故A正确，B、C、D错误。【变式2-3】在如图所示光滑轨道上，小球滑下经平直部分冲上圆弧部分的最高点A时，对圆弧的压力为mg，已知圆弧的半径为R。则（）A．在最高点A，小球受重力和向心力 B．在最高点A，小球受重力和圆弧的压力C．在最高点A，小球的速度为 D．在最高点A，小球的向心加速度为2g答案：BD【题型3杆模型】【例3】如图甲所示，轻绳一端固定在O点，另一端固定一小球(可看成质点)，让小球在竖直平面内做圆周运动。改变小球通过最高点时的速度大小v，测得相应的轻绳弹力大小F，得到F－v2图像如图乙所示，已知图线的延长线与纵轴交点坐标为(0，－b)，斜率为k。不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是()A.该小球的质量为bgB.小球运动的轨迹半径为eq\f(b,kg)C.图线与横轴的交点表示小球所受的合力为零D.当v2＝a时，小球的向心加速度为g答案B解析小球在最高点时受到的拉力为F，则有F＋mg＝eq\f(mv2,R)，解得F＝meq\f(v2,R)－mg结合题图乙可知mg＝b，即m＝eq\f(b,g)，斜率为k＝eq\f(m,R)＝eq\f(2b,a)解得R＝eq\f(m,k)＝eq\f(b,kg)，故A错误，B正确；图线与横轴的交点表示小球所受的拉力为零，即合力等于重力时的情况，故C错误；根据向心加速度公式可知，当v2＝a时，an＝eq\f(v2,R)＝eq\f(a,\f(b,kg))＝eq\f(akg,b)＝2g，故D错误。【变式3-1】(多选)如图所示，轻杆一端套在光滑水平转轴O上，另一端固定一质量为m＝1kg的小球，使小球在竖直平面内做半径为R＝0.4m的圆周运动。设运动轨迹的最低点为A点，最高点为B点，不计一切阻力，重力加速度为g＝10m/s2，下列说法中正确的是()A.要使小球能够做完整的圆周运动，则小球通过B点的速度至少为2m/sB.若小球通过B点的速度为1m/s时，杆对小球的作用力为7.5N，方向向上C.小球能过最高点B时，杆对小球的作用力大小一定随着小球速度的增大而增大D.小球能过最高点B时，杆对小球的作用力大小可能为零答案BD解析在最高点，由于杆能支撑小球，所以小球在最高点B时的速度可以恰好为零，故A错误；设竖直向下为正方向，在B点由牛顿第二定律有mg＋F＝meq\f(v2,R)，得F＝meq\f(v2,R)－mg＝(1×eq\f(12,0.4)－1×10)N＝－7.5N，负号说明杆对小球的作用力方向竖直向上，故B正确；在最高点，若小球所受的杆的作用力方向向上，根据牛顿第二定律mg－F＝meq\f(v2,R)，若增大小球的速度，则F减小，若小球受杆的弹力方向向下，则mg＋F＝meq\f(v2,R)，v增大，F增大，当v＝eq\r(gR)＝2m/s时，F＝0，故C错误，D正确。【变式3-2】如图甲所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，FN－v2图象如图乙所示．下列说法正确的是()A．当地的重力加速度大小为eq\f(R,b)B．小球的质量为eq\f(a,b)RC．v2＝c时，杆对小球弹力方向向上D．若c＝2b，则杆对小球弹力大小为2a答案B解析通过题图乙分析可知：当v2＝b，FN＝0时，小球做圆周运动的向心力由重力提供，即mg＝meq\f(b,R)，g＝eq\f(b,R)，A错误；当v2＝0，FN＝a时，重力等于弹力FN，即mg＝a，所以m＝eq\f(a,g)＝eq\f(a,b)R，B正确；v2>b时，杆对小球的弹力方向与小球重力方向相同，竖直向下，故v2＝c时，杆对小球弹力的方向竖直向下，C错误；v2＝c＝2b时，mg＋FN＝meq\f(2b,R)，解得FN＝mg＝a，D错误．【变式3-3】如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力。忽略空气阻力，则球B在最高点时()A．球B的速度为零B．球A的速度大小为eq\r(2gL)C．水平转轴对杆的作用力为1.5mgD．水平转轴对杆的作用力为2.5mg[解析]球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，有mg＝meq\f(v2,2L)，解得v＝eq\r(2gL)，故A错误；由于A、B两球的角速度相等，则球A的速度大小v′＝eq\f(\r(2gL),2)，故B错误；球B到最高点时，对杆无弹力，此时球A受重力和拉力的合力提供向心力，有F－mg＝meq\f(v′2,L)，解得：F＝1.5mg，故C正确，D错误。[答案]C【题型4类杆模型】【例4】如图所示,小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动,内侧管壁半径为R,小球半径为r,则下列说法正确的是()A.小球在水平线以上的管道中运动时,外侧管壁对小球一定有作用力B.小球在水平线以上的管道中运动时,内侧管壁对小球一定有作用力C.小球在水平线以下的管道中运动时,内侧管壁对小球一定无作用力D.小球通过最高点时的最小速度答案：C解析：小球在水平线以上管道运动时,由于沿半径方向的合力提供小球做圆周运动的向心力,可能外侧管壁对小球有作用力,也可能内侧管壁对小球有作用力,故A、B错误;小球在水平线以下管道运动时,由于沿半径方向的合力提供小球做圆周运动的向心力,所以外侧管壁对小球一定有作用力,而内侧管壁对小球一定无作用力,故C正确;在最高点,由于外侧管壁或内侧管壁都可以对小球产生弹力作用,故小球通过最高点时的最小速度为0,故D错误.【变式4-1】(多选)如图甲，固定在竖直平面内的光滑圆形管道内有一小球在做圆周运动，小球直径略小于管道内径，管道最低处N装有连着数字计时器的光电门，可测球经过N点时的速率vN，最高处装有力的传感器M，可测出球经过M点时对管道作用力F(竖直向上为正)，用同一小球以不同的初速度重复试验，得到F与vN2的关系图像如图乙，c为图像与横轴交点坐标，b为图像延长线与纵轴交点坐标，重力加速度为g，则下列说法中正确的是()A．若小球经过N点时满足vN2＝c，则经过M点时对轨道无压力B．当小球经过N点时满足vN2＝eq\r(2)c，则经过M点时对内管道壁有压力C．小球做圆周运动的半径为eq\f(c,5g)D．F＝－b表示小球经过N点时速度等于0[解析]由题图可知，若小球经过N点时满足vN2＝c，则经过M点时对轨道无压力，A正确；当小球经过N点时满足vN2＝eq\r(2)c时，则经过M点时对管壁的压力为正值，可知此时小球对管道外壁有压力，B错误；若小球经过N点时满足vN2＝c，则在M点时mg＝meq\f(vM2,R)，由机械能守恒可得eq\f(1,2)mvN2＝mg·2R＋eq\f(1,2)mvM2，联立解得R＝eq\f(c,5g)，C正确；F＝－b表示小球经过M时对管壁的作用力方向向下，即此时小球能经过M点，经过N点时速度不等于0，D错误。[答案]AC【变式4-2】如图所示，小球紧贴在竖直放置的光滑圆形管道内壁做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是()A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝eq\r(gR＋r)B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝eq\r(gR)C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力答案C解析小球沿管道上升到最高点的速度可以为零，故A、B均错误；小球在水平线ab以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力FN与小球重力在背离圆心方向的分力Fmg的合力提供向心力，即：FN－Fmg＝ma，因此，外侧管壁一定对小球有作用力，而内侧管壁无作用力，C正确；小球在水平线ab以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力情况与小球速度大小有关，D错误．【变式4-3】（多选）如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R.现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，小球通过最高点时的速率为v0，重力加速度为g，则下列说法中正确的是()A．若v0＝eq\r(gR)，则小球对管内壁无压力B．若v0>eq\r(gR)，则小球对管内上壁有压力C．若0<v0<eq\r(gR)，则小球对管内下壁有压力D．不论v0多大，小球对管内下壁都有压力答案ABC解析在最高点，只有重力提供向心力时，由mg＝meq\f(v02,R)，解得v0＝eq\r(gR)，此时小球对管内壁无压力，选项A正确；若v0＞eq\r(gR)，则有mg＋FN＝meq\f(v02,R)，表明小球对管内上壁有压力，选项B正确；若0＜v0＜eq\r(gR)，则有mg－FN＝meq\f(v02,R)，表明小球对管内下壁有压力，选项C正确；综上分析，选项D错误．专题6.3变速圆周运动【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【题型1绳模型】 【题型2类绳模型】 【题型3杆模型】 【题型4类杆模型】 【题型5对比问题】 【题型6综合问题】 【题型1绳模型】【例1】图所示，当轻杆绕轴BC以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向，绳b在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时轻杆停止转动，则()A．小球仍在水平面内做匀速圆周运动B．在绳b被烧断瞬间，绳a中张力突然增大C．若角速度ω较小，小球在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动D．绳b未被烧断时，绳a的拉力大于mg，绳b的拉力为mω2lb答案BC解析根据题意，在绳b被烧断之前，小球绕BC轴做匀速圆周运动，竖直方向上受力平衡，绳a的拉力等于mg，D错误；绳b被烧断的同时轻杆停止转动，此时小球具有垂直平面ABC向外的速度，小球将在垂直于平面ABC的平面内运动，若ω较大，则在该平面内做圆周运动，若ω较小，则在该平面内来回摆动，C正确，A错误；绳b被烧断瞬间，绳a的拉力与重力的合力提供向心力，所以拉力大于小球的重力，绳a中的张力突然变大了，B正确．【变式1-1】物体做圆周运动时所需的向心力F需由物体运动情况决定，合力提供的向心力F供由物体受力情况决定．若某时刻F需＝F供，则物体能做圆周运动；若F需>F供，物体将做离心运动；若F需<F供，物体将做近心运动．现有一根长L＝1m的刚性轻绳，其一端固定于O点，另一端系着质量m＝0.5kg的小球(可视为质点)，将小球提至O点正上方的A点处，此时绳刚好伸直且无张力，如图所示．不计空气阻力，g取10m/s2，则：(1)为保证小球能在竖直面内做完整的圆周运动，在A点至少应施加给小球多大的水平速度？(2)在小球以速度v1＝4m/s水平抛出的瞬间，绳中的张力为多少？(3)在小球以速度v2＝1m/s水平抛出的瞬间，绳中若有张力，求其大小；若无张力，试求绳子再次伸直时所经历的时间．答案(1)eq\r(10)m/s(2)3N(3)无张力，0.6s解析(1)小球做圆周运动的临界条件为重力刚好提供最高点时小球做圆周运动的向心力，即mg＝meq\f(v\o\al(2,0),L)，解得v0＝eq\r(gL)＝eq\r(10)m/s.(2)因为v1>v0，故绳中有张力．根据牛顿第二定律有FT＋mg＝meq\f(v\o\al(2,1),L)，代入数据得绳中张力FT＝3N.(3)因为v2<v0，故绳中无张力，小球将做平抛运动，其运动轨迹如图中实线所示，有L2＝(y－L)2＋x2，x＝v2t，y＝eq\f(1,2)gt2，代入数据联立解得t＝0.6s．【变式1-2】质量为m的小明坐在秋千上摆动到最高点时的照片如图所示，对该时刻，下列说法正确的是()A．秋千对小明的作用力小于mgB．秋千对小明的作用力大于mgC．小明的速度为零，所受合力为零D．小明的加速度为零，所受合力为零解析：选A在最高点，小明的速度为0，设秋千的摆长为l，摆到最高点时摆绳与竖直方向的夹角为θ，秋千对小明的作用力为F，则对小明沿摆绳方向受力分析有F－mgcosθ＝meq\f(v2,l)，由于小明的速度为0，则有F＝mgcosθ＜mg，沿垂直摆绳方向有mgsinθ＝ma，解得小明在最高点的加速度为a＝gsinθ，A正确，B、C、D错误。【变式1-3】长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L，重力加速度大小为g。今使小球在竖直平面内以A、B连线为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根绳的拉力大小均为()A.eq\r(3)mg B.2eq\r(3)mgC.3mg D.eq\f(4\r(3)mg,3)答案A解析小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，有mg＝meq\f(v2,r)；当小球在最高点的速率为2v时，根据牛顿第二定律有mg＋2FTcos30°＝meq\f(（2v）2,r)，解得FT＝eq\r(3)mg，故选项A正确。【题型2类绳模型】【例2】无缝钢管的制作原理如图所示,竖直平面内,管状模型置于两个支承轮上,支承轮转动时通过摩擦力带动管状模型转动,铁水注入管状模型后,由于离心作用,铁水紧紧地覆盖在模型的内壁上,冷却后就得到无缝钢管.已知管状模型内壁半径R,则下列说法正确的是()A.铁水是由于受到离心力的作用才覆盖在模型内壁上B.模型各个方向上受到的铁水的作用力大小相同C.若最上部的铁水恰好不离开模型内壁,此时仅重力提供向心力D.管状模型转动的角速度ω最大为答案：C解析：离心力不是真实存在的力,A错误;模型最下部受到铁水的作用力最大,最上部受到的作用力最小,B错误;最上部的铁水如果恰好不离开模型内壁,则铁水的重力提供向心力,由得,,故管状模型转动的角速度ω至少为,C正确,D错误.【变式2-1】如图所示，是马戏团中上演的飞车节目，在竖直平面内有半径为R的圆轨道。表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动。已知人和摩托车的总质量为m，人以v1＝eq\r(2gR)的速度通过轨道最高点B，并以v2＝eq\r(3)v1的速度通过最低点A。则在A、B两点轨道对摩托车的压力大小相差()A．3mgB．4mgC．5mg D．6mg[解析]由题意可知，在B点，有FB＋mg＝meq\f(v12,R)，解得FB＝mg，在A点，有FA－mg＝meq\f(v22,R)，解得FA＝7mg，所以A、B两点轨道对摩托车的压力大小相差6mg，D正确。[答案]D【变式2-2】固定在竖直平面内的光滑圆弧轨道ABCD，其A点与圆心等高，D点为轨道的最高点，DB为竖直线，AC为水平线，AE为水平面，如图所示。今使小球自A点正上方某处由静止释放，且从A点进入圆弧轨道运动，只要适当调节释放点的高度，总能使球通过最高点D，则小球通过D点后()A．一定会落到水平面AE上B．一定会再次落到圆弧轨道上C．可能会再次落到圆弧轨道上D．不能确定解析：选A设小球恰好能够通过最高点D，根据mg＝meq\f(vD2,R)，得：vD＝eq\r(gR)，知在最高点的最小速度为eq\r(gR)。小球经过D点后做平抛运动，根据R＝eq\f(1,2)gt2得：t＝eq\r(\f(2R,g))。则平抛运动的水平位移为：x＝eq\r(gR)·eq\r(\f(2R,g))＝eq\r(2)R，知小球一定落在水平面AE上。故A正确，B、C、D错误。【变式2-3】在如图所示光滑轨道上，小球滑下经平直部分冲上圆弧部分的最高点A时，对圆弧的压力为mg，已知圆弧的半径为R。则（）A．在最高点A，小球受重力和向心力 B．在最高点A，小球受重力和圆弧的压力C．在最高点A，小球的速度为 D．在最高点A，小球的向心加速度为2g答案：BD【题型3杆模型】【例3】如图甲所示，轻绳一端固定在O点，另一端固定一小球(可看成质点)，让小球在竖直平面内做圆周运动。改变小球通过最高点时的速度大小v，测得相应的轻绳弹力大小F，得到F－v2图像如图乙所示，已知图线的延长线与纵轴交点坐标为(0，－b)，斜率为k。不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是()A.该小球的质量为bgB.小球运动的轨迹半径为eq\f(b,kg)C.图线与横轴的交点表示小球所受的合力为零D.当v2＝a时，小球的向心加速度为g答案B解析小球在最高点时受到的拉力为F，则有F＋mg＝eq\f(mv2,R)，解得F＝meq\f(v2,R)－mg结合题图乙可知mg＝b，即m＝eq\f(b,g)，斜率为k＝eq\f(m,R)＝eq\f(2b,a)解得R＝eq\f(m,k)＝eq\f(b,kg)，故A错误，B正确；图线与横轴的交点表示小球所受的拉力为零，即合力等于重力时的情况，故C错误；根据向心加速度公式可知，当v2＝a时，an＝eq\f(v2,R)＝eq\f(a,\f(b,kg))＝eq\f(akg,b)＝2g，故D错误。【变式3-1】(多选)如图所示，轻杆一端套在光滑水平转轴O上，另一端固定一质量为m＝1kg的小球，使小球在竖直平面内做半径为R＝0.4m的圆周运动。设运动轨迹的最低点为A点，最高点为B点，不计一切阻力，重力加速度为g＝10m/s2，下列说法中正确的是()A.要使小球能够做完整的圆周运动，则小球通过B点的速度至少为2m/sB.若小球通过B点的速度为1m/s时，杆对小球的作用力为7.5N，方向向上C.小球能过最高点B时，杆对小球的作用力大小一定随着小球速度的增大而增大D.小球能过最高点B时，杆对小球的作用力大小可能为零答案BD解析在最高点，由于杆能支撑小球，所以小球在最高点B时的速度可以恰好为零，故A错误；设竖直向下为正方向，在B点由牛顿第二定律有mg＋F＝meq\f(v2,R)，得F＝meq\f(v2,R)－mg＝(1×eq\f(12,0.4)－1×10)N＝－7.5N，负号说明杆对小球的作用力方向竖直向上，故B正确；在最高点，若小球所受的杆的作用力方向向上，根据牛顿第二定律mg－F＝meq\f(v2,R)，若增大小球的速度，则F减小，若小球受杆的弹力方向向下，则mg＋F＝meq\f(v2,R)，v增大，F增大，当v＝eq\r(gR)＝2m/s时，F＝0，故C错误，D正确。【变式3-2】如图甲所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，FN－v2图象如图乙所示．下列说法正确的是()A．当地的重力加速度大小为eq\f(R,b)B．小球的质量为eq\f(a,b)RC．v2＝c时，杆对小球弹力方向向上D．若c＝2b，则杆对小球弹力大小为2a答案B解析通过题图乙分析可知：当v2＝b，FN＝0时，小球做圆周运动的向心力由重力提供，即mg＝meq\f(b,R)，g＝eq\f(b,R)，A错误；当v2＝0，FN＝a时，重力等于弹力FN，即mg＝a，所以m＝eq\f(a,g)＝eq\f(a,b)R，B正确；v2>b时，杆对小球的弹力方向与小球重力方向相同，竖直向下，故v2＝c时，杆对小球弹力的方向竖直向下，C错误；v2＝c＝2b时，mg＋FN＝meq\f(2b,R)，解得FN＝mg＝a，D错误．【变式3-3】如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力。忽略空气阻力，则球B在最高点时()A．球B的速度为零B．球A的速度大小为eq\r(2gL)C．水平转轴对杆的作用力为1.5mgD．水平转轴对杆的作用力为2.5mg[解析]球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，有mg＝meq\f(v2,2L)，解得v＝eq\r(2gL)，故A错误；由于A、B两球的角速度相等，则球A的速度大小v′＝eq\f(\r(2gL),2)，故B错误；球B到最高点时，对杆无弹力，此时球A受重力和拉力的合力提供向心力，有F－mg＝meq\f(v′2,L)，解得：F＝1.5mg，故C正确，D错误。[答案]C【题型4类杆模型】【例4】如图所示,小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动,内侧管壁半径为R,小球半径为r,则下列说法正确的是()A.小球在水平线以上的管道中运动时,外侧管壁对小球一定有作用力B.小球在水平线以上的管道中运动时,内侧管壁对小球一定有作用力C.小球在水平线以下的管道中运动时,内侧管壁对小球一定无作用力D.小球通过最高点时的最小速度答案：C解析：小球在水平线以上管道运动时,由于沿半径方向的合力提供小球做圆周运动的向心力,可能外侧管壁对小球有作用力,也可能内侧管壁对小球有作用力,故A、B错误;小球在水平线以下管道运动时,由于沿半径方向的合力提供小球做圆周运动的向心力,所以外侧管壁对小球一定有作用力,而内侧管壁对小球一定无作用力,故C正确;在最高点,由于外侧管壁或内侧管壁都可以对小球产生弹力作用,故小球通过最高点时的最小速度为0,故D错误.【变式4-1】(多选)如图甲，固定在竖直平面内的光滑圆形管道内有一小球在做圆周运动，小球直径略小于管道内径，管道最低处N装有连着数字计时器的光电门，可测球经过N点时的速率vN，最高处装有力的传感器M，可测出球经过M点时对管道作用力F(竖直向上为正)，用同一小球以不同的初速度重复试验，得到F与vN2的关系图像如图乙，c为图像与横轴交点坐标，b为图像延长线与纵轴交点坐标，重力加速度为g，则下列说法中正确的是()A．若小球经过N点时满足vN2＝c，则经过M点时对轨道无压力B．当小球经过N点时满足vN2＝eq\r(2)c，则经过M点时对内管道壁有压力C．小球做圆周运动的半径为eq\f(c,5g)D．F＝－b表示小球经过N点时速度等于0[解析]由题图可知，若小球经过N点时满足vN2＝c，则经过M点时对轨道无压力，A正确；当小球经过N点时满足vN2＝eq\r(2)c时，则经过M点时对管壁的压力为正值，可知此时小球对管道外壁有压力，B错误；若小球经过N点时满足vN2＝c，则在M点时mg＝meq\f(vM2,R)，由机械能守恒可得eq\f(1,2)mvN2＝mg·2R＋eq\f(1,2)mvM2，联立解得R＝eq\f(c,5g)，C正确；F＝－b表示小球经过M时对管壁的作用力方向向下，即此时小球能经过M点，经过N点时速度不等于0，D错误。[答案]AC【变式4-2】如图所示，小球紧贴在竖直放置的光滑圆形管道内壁做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是()A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝eq\r(gR＋r)B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝eq\r(gR)C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力答案C解析小球沿管道上升到最高点的速度可以为零，故A、B均错误；小球在水平线ab以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力FN与小球重力在背离圆心方向的分力Fmg的合力提供向心力，即：FN－Fmg＝ma，因此，外侧管壁一定对小球有作用力，而内侧管壁无作用力，C正确；小球在水平线ab以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力情况与小球速度大小有关，D错误．【变式4-3】（多选）如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R.现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，小球通过最高点时的速率为v0，重力加速度为g，则下列说法中正确的是()A．若v0＝eq\r(gR)，则小球对管内壁无压力B．若v0>eq\r(gR)，则小球对管内上壁有压力C．若0<v0<eq\r(gR)，则小球对管内下壁有压力D．不论v0多大，小球对管内下壁都有压力答案ABC解析在最高点，只有重力提供向心力时，由mg＝meq\f(v02,R)，解得v0＝eq\r(gR)，此时小球对管内壁无压力，选项A正确；若v0＞eq\r(gR)，则有mg＋FN＝meq\f(v02,R)，表明小球对管内上壁有压力，选项B正确；若0＜v0＜eq\r(gR)，则有mg－FN＝meq\f(v02,R)，表明小球对管内下壁有压力，选项C正确；综上分析，选项D错误．专题6.4生活中的圆周运动【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【题型1车辆转弯路面水平】 【题型2汽车过拱形桥】 【题型3离心、近心运动问题】 【题型4综合问题】 【题型5车辆转弯路面倾斜】 【题型1车辆转弯路面水平】【例1】(多选)如图所示为运动员在水平道路上转弯的情景，转弯轨迹可看成一段半径为R的圆弧，运动员始终与自行车在同一平面内。转弯时，只有当地面对车的作用力通过车(包括人)的重心时，车才不会倾倒。设自行车和人的总质量为M，轮胎与路面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是()A.车受到地面的支持力方向与车所在平面平行B.转弯时车不发生侧滑的最大速度为eq\r(μgR)C.转弯时车与地面间的静摩擦力一定为μMgD.转弯速度越大，车所在平面与地面的夹角越小【变式1-1】(多选)如图所示为学员驾驶汽车在水平面上绕O点做匀速圆周运动的俯视图。已知质量为60kg的学员在A点位置，质量为70kg的教练员在B点位置，A点的转弯半径为5.0m，B点的转弯半径为4.0m，则学员和教练员(均可视为质点)()A.线速度大小之比为5∶4B.周期之比为5∶4C.向心加速度大小之比为4∶5D.受到的合力大小之比为15∶14【变式1-2】(多选)如图所示为赛车场的一个水平U形弯道，转弯处为圆心在O点的半圆，内外半径分别为r和2r。一辆质量为m的赛车通过AB线经弯道到达A′B′线，有如图所示的①、②、③三条路线，其中路线③是以O′为圆心的半圆，OO′＝r，赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为Fmax，选择路线，赛车以不打滑的最大速率通过弯道(在所选路线内赛车速率不变，发动机功率足够大)，则()A．选择路线①，赛车经过的路程最短B．选择路线②，赛车的速率最小C．选择路线③，赛车所用时间最短D．①、②、③三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等【变式1-3】如图所示，一质量为2.0×103kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104N，当汽车经过半径为80m的弯道时，下列判断正确的是()A.汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力B.汽车转弯的速度为20m/s时所需的向心力为1.4×104NC.汽车转弯的速度为20m/s时汽车会发生侧滑D.汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0m/s2【题型2汽车过拱形桥】【例2】在高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是108km/h.汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍．(1)如果汽车在这种高速公路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？(2)如果高速公路上设计了圆弧拱形立交桥，要使汽车能够以设计时速安全通过圆弧拱桥，这个圆弧拱形立交桥的半径至少是多少？(取g＝10m/s2)【变式2-1】如图所示，地球可以看成一个巨大的拱形桥，桥面半径R＝6400km，桥面上行驶的汽车中驾驶员的重力G＝800N，汽车的速度可以达到需要的任意值，且汽车不离开地面的前提下，下列分析中正确的是()A．汽车的速度越大，则汽车对桥面的压力也越大B．不论汽车的行驶速度如何，驾驶员对座椅压力大小都等于800NC．不论汽车的行驶速度如何，驾驶员对座椅的压力大小都小于他自身的重力D．如果某时刻汽车的速度增大到使汽车对桥面压力为零，则此时驾驶员会有超重的感觉【变式2-2】(多选)一辆载重汽车在高低不平的路面上行驶,其中一段路面如图所示,图中虚线是水平线。若汽车速率不变,下列说法正确的是()A.经过图中A处最容易爆胎B.经过图中B处最容易爆胎C.为防止汽车爆胎,应增大汽车的速率D.为防止汽车爆胎,应减小汽车的速率【变式2-3】如图所示,质量为M的赛车,在比赛中要通过一段凹凸起伏路面,若圆弧半径都是R,赛车的速率恒为v=gR3,则下列说法正确的是(A.在凸起的圆弧路面顶部,赛车对路面的压力大小为23B.在凹下的圆弧路面底部,赛车对路面的压力大小为53C.在凸起的圆弧路面顶部,赛车的向心力大小为23D.在凹下的圆弧路面底部,赛车的向心力大小为43【题型3离心、近心运动问题】【例3】如图所示，光滑水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动．若小球运动到P点时，拉力F发生变化，下列关于小球运动情况的说法正确的是()A．若拉力突然消失，小球将沿轨道Pa做离心运动B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动C．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc运动【变式3-1】(多选)摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O′分别为两轮盘的轴心，已知两个轮盘的半径之比r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作时两轮盘不打滑。今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的完全相同的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块与轴心O、O′的间距RA＝2RB。若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来；且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是()A．滑块A和B均与轮盘相对静止时，角速度之比为ωA∶ωB＝1∶3B．滑块A和B均与轮盘相对静止时，向心加速度之比为aA∶aB＝2∶9C．转速增加后滑块B先发生滑动D．转速增加后两滑块一起发生滑动【变式3-2】如图所示为旋转脱水拖把结构图。把拖把头放置于脱水桶中，手握固定套杆向下运动，固定套杆就会给旋转杆施加驱动力，驱动旋转杆、拖把头和脱水桶一起转动，把拖把上的水甩出去。旋转杆上有长度为35cm的螺杆，螺杆的螺距(相邻螺纹之间的距离)为d＝5cm，拖把头的托盘半径为10cm，拖布条的长度为6cm，脱水桶的半径为12cm。某次脱水时，固定套杆在1s内匀速下压了35cm，该过程中拖把头匀速转动，则下列说法正确的是()A．拖把头的周期为7sB．拖把头转动的角速度为14πrad/sC．紧贴脱水桶内壁的拖布条上附着的水最不容易甩出D．旋转时脱水桶内壁与托盘边缘处的点向心加速度之比为5∶6【变式3-3】（多选）公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，则在该弯道处()A．路面外侧高内侧低B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动C．车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小【题型4综合问题】【例4】如图所示是小型电动打夯机的结构示意图,电动机带动质量为的重锤(重锤可视为质点)绕转轴O匀速圆周运动,重锤转动的半径为.电动机连同打夯机底座的质量为,重锤和转轴O之间连接杆的质量可以忽略不计,重力加速度g取.求:(1)重锤转动的角速度为多大时,才能使打夯机底座刚好离开地面?(2)若重锤以上述的角速度转动,当打夯机的重锤通过最低位置时,打夯机对地面的压力大小.【变式4-1】如图所示，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面，目测体重为G的女运动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角约为30°，重力加速度为g，估算该女运动员()A．受到的拉力为eq\r(3)GB．受到的拉力为2GC．向心加速度为eq\r(2)gD．向心加速度为2g【变式4-2】如图所示为某电视台正在策划的某节目的场地设施,为水平直轨道,上面安装有电动悬挂器,可以载人(人可看成质点)运动,下方水面上漂浮着一个匀速转动的半径为且铺有海绵垫的转盘,转盘轴心离平台的水平距离为L,平台边缘与转盘平面的高度差.选手抓住悬挂器后,按动开关,在电动机的带动下从A点(平台边缘)沿轨道做初速度为零且加速度为的匀加速直线运动,2s后选手松开悬挂器.已知选手与转盘间的动摩擦因数为,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为.(1)求选手随悬挂器水平运动的位移大小和松开悬挂器时选手的速率;(2)若选手恰好落到转盘的轴心上,求L的大小；(3)假设选手落到转盘上瞬间相对转盘的速度立即变为零,为保证选手落在任何位置都不会被甩下转盘,转盘的角速度ω应限制在什么范围?【变式4-3】“太极球”是近年来在广大市民中较流行的一种健身器材.做该项运动时,健身者半马步站立,手持太极球拍,拍上放一橡胶太极球,健身者舞动球拍时,球却不会掉落地上.现将“太极球”简化成如图所示的平板和小球,熟练的健身者让球在竖直面内始终不脱离板而做匀速圆周运动,且在运动到图中的位置时球与板间无相对运动趋势.A为圆周的最高点,C为最低点,与圆心O等高且在处板与水平面夹角为θ.设球的质量为m,圆周的半径为R,重力加速度为g,不计拍的重力,若运动到最高点时拍与小球之间作用力恰为,则下列说法正确的是()A.圆周运动的周期为 B.圆周运动的周期为C.在处球拍对球的作用力大小为 D.在处球拍对球的作用力大小为【题型5车辆转弯路面倾斜】【例5】为了解决高速列车在弯路上运行时轮轨间的磨损问题，保证列车能经济、安全地通过弯道，常用的办法是将弯道曲线外轨轨枕下的道床加厚，使外轨高于内轨，外轨与内轨的高度差叫曲线外轨超高。已知某曲线路段设计外轨超高值为70mm，两铁轨间距离为1435mm，最佳的转弯速度为350km/h，则该曲线路段的半径约为(g取10m/s2)()A.40km B.30kmC.20km D.10km【变式5-1】(多选)随着交通的发展，旅游才真正变成一件赏心乐事，各种“休闲游”“享乐游”纷纷打起了宣传的招牌。某次旅游中游客乘坐列车以恒定速率通过一段水平圆弧形弯道过程中，游客发现车厢顶部悬挂玩具小熊的细线稳定后与车厢侧壁平行，同时观察放在桌面(与车厢底板平行)上水杯内的水面，已知此弯道路面的倾角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列判断正确的是()A．列车转弯过程中的向心加速度为gtanθ，方向与水平面的夹角为θB．列车的轮缘与轨道无侧向挤压作用C．水杯与桌面间无摩擦D．水杯内水面与桌面不平行【变式5-2】汽车试车场中有一个检测汽车在极限状态下的车速的试车道，试车道呈锥面(漏斗状)，侧面图如图所示。测试的汽车质量m＝1t，车道转弯半径r＝150m，路面倾斜角θ＝45°，路面与车胎的动摩擦因数μ为0.25，设路面与车胎的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，(g取10m/s2)求：(1)若汽车恰好不受路面摩擦力，则其速度应为多大？(2)汽车在该车道上所能允许的最小车速。【变式5-3】(多选)火车轨道的转弯处外轨高于内轨,如图所示。若已知某转弯处轨道平面与水平面夹角为θ,弯道处的圆弧半径为R,在该转弯处规定的安全行驶的速度为v,则下列说法正确的是()A.该转弯处规定的安全行驶的速度为v=RgB.该转弯处规定的安全行驶的速度为v=RgC.当实际行驶速度大于v时,轮缘挤压外轨D.当实际行驶速度小于v时,轮缘挤压外轨

参考答案【题型1车辆转弯路面水平】【例1】(多选)如图所示为运动员在水平道路上转弯的情景，转弯轨迹可看成一段半径为R的圆弧，运动员始终与自行车在同一平面内。转弯时，只有当地面对车的作用力通过车(包括人)的重心时，车才不会倾倒。设自行车和人的总质量为M，轮胎与路面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是()A.车受到地面的支持力方向与车所在平面平行B.转弯时车不发生侧滑的最大速度为eq\r(μgR)C.转弯时车与地面间的静摩擦力一定为μMgD.转弯速度越大，车所在平面与地面的夹角越小答案BD解析车受到的地面的支持力方向垂直地面竖直向上，不与车所在的平面平行，故A错误；设自行车受到地面的弹力为FN，则有Ffm＝μFN，由平衡条件有FN＝Mg，根据牛顿第二定律有Ffm＝Meq\f(veq\o\al(2,m),R)，代入数据解得vm＝eq\r(μgR)，故B正确；对车(包括人)受力分析如图，地面对自行车的弹力FN与摩擦力Ff的合力过人与车的重心，转弯车速较小时，不一定达到最大静摩擦力，所以转弯时车与地面间的静摩擦力不一定为μMg，转弯速度越大，向心力越大，由于Ff＝eq\f(Mg,tanθ)知θ越小，即车所在平面与地面的夹角越小，C错误，D正确。【变式1-1】(多选)如图所示为学员驾驶汽车在水平面上绕O点做匀速圆周运动的俯视图。已知质量为60kg的学员在A点位置，质量为70kg的教练员在B点位置，A点的转弯半径为5.0m，B点的转弯半径为4.0m，则学员和教练员(均可视为质点)()A.线速度大小之比为5∶4B.周期之比为5∶4C.向心加速度大小之比为4∶5D.受到的合力大小之比为15∶14答案AD解析一起做圆周运动的角速度相等，根据v＝rω，知半径之比为5∶4，则线速度之比为5∶4，A正确；做圆周运动的角速度相等，根据T＝eq\f(2π,ω)，周期相等，B错误；做圆周运动的角速度相等，半径之比为5∶4，根据a＝rω2，则向心加速度大小之比为5∶4，C错误；根据F＝ma，向心加速度之比为5∶4，质量之比为6∶7，则合力大小之比为15∶14，D正确。【变式1-2】(多选)如图所示为赛车场的一个水平U形弯道，转弯处为圆心在O点的半圆，内外半径分别为r和2r。一辆质量为m的赛车通过AB线经弯道到达A′B′线，有如图所示的①、②、③三条路线，其中路线③是以O′为圆心的半圆，OO′＝r，赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为Fmax，选择路线，赛车以不打滑的最大速率通过弯道(在所选路线内赛车速率不变，发动机功率足够大)，则()A．选择路线①，赛车经过的路程最短B．选择路线②，赛车的速率最小C．选择路线③，赛车所用时间最短D．①、②、③三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等[解析]选择路线①，经过的路程s1＝2r＋πr，选择路线②，经过的路程s2＝2πr＋2r，选择路线③，经过的路程s3＝2πr，可知选择路线①，赛车经过的路程最短，A正确；根据Fmax＝meq\f(v2,r)得，v＝eq\r(\f(Fmaxr,m))，选择路线①，轨道半径最小，则速率最小，B错误；根据v＝eq\r(\f(Fmaxr,m))知，通过①、②、③三条路线的最大速率之比为1∶eq\r(2)∶eq\r(2)，根据t＝eq\f(s,v)，计算可知，选择路线③，赛车所用时间最短，C正确；根据Fmax＝ma可知，在三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等，D正确。[答案]ACD【变式1-3】如图所示，一质量为2.0×103kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104N，当汽车经过半径为80m的弯道时，下列判断正确的是()A.汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力B.汽车转弯的速度为20m/s时所需的向心力为1.4×104NC.汽车转弯的速度为20m/s时汽车会发生侧滑D.汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0m/s2答案D解析汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力，但向心力是根据力的效果命名的，不是物体实际受到的力，选项A错误；当汽车转弯速度为20m/s时，根据Fn＝meq\f(v2,R)，得所需的向心力Fn＝1×104N，没有超过最大静摩擦力，所以车也不会侧滑，所以选项B、C错误；汽车转弯达到最大静摩擦力时，向心加速度最大为an＝eq\f(Ffm,m)＝eq\f(1.4×104,2.0×103)m/s2＝7.0m/s2，选项D正确。【题型2汽车过拱形桥】【例2】在高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是108km/h.汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍．(1)如果汽车在这种高速公路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？(2)如果高速公路上设计了圆弧拱形立交桥，要使汽车能够以设计时速安全通过圆弧拱桥，这个圆弧拱形立交桥的半径至少是多少？(取g＝10m/s2)答案(1)150m(2)90m解析(1)汽车在水平路面上拐弯，可视为汽车做匀速圆周运动，其向心力由车与路面间的静摩擦力提供，当静摩擦力达到最大值时，由向心力公式可知这时的半径最小，有Fmax＝0.6mg＝meq\f(v2,rmin)，由速度v＝108km/h＝30m/s得，弯道半径rmin＝150m.(2)汽车过圆弧拱桥，可看做在竖直平面内做匀速圆周运动，到达最高点时，根据向心力公式有mg－FN＝meq\f(v2,R).为了保证安全通过，车与路面间的弹力FN必须大于等于零，有mg≥meq\f(v2,R)，则R≥90m.【变式2-1】如图所示，地球可以看成一个巨大的拱形桥，桥面半径R＝6400km，桥面上行驶的汽车中驾驶员的重力G＝800N，汽车的速度可以达到需要的任意值，且汽车不离开地面的前提下，下列分析中正确的是()A．汽车的速度越大，则汽车对桥面的压力也越大B．不论汽车的行驶速度如何，驾驶员对座椅压力大小都等于800NC．不论汽车的行驶速度如何，驾驶员对座椅的压力大小都小于他自身的重力D．如果某时刻汽车的速度增大到使汽车对桥面压力为零，则此时驾驶员会有超重的感觉解析：选C汽车的重力和桥面对汽车的支持力的合力提供汽车的向心力，则有G－FN＝meq\f(v2,R)，v越大，则FN越小，由牛顿第三定律知汽车对桥面的压力越小，故A错误；同理对驾驶员受力分析可知B错误；因为驾驶员的一部分重力用于提供驾驶员做圆周运动所需的向心力，所以驾驶员对座椅的压力小于他自身的重力，故C正确；如果汽车的速度增大到使汽车对桥面的压力为零，说明汽车和驾驶员的重力全部用于提供做圆周运动所需的向心力，处于完全失重状态，此时驾驶员会有失重的感觉，故D错误。【变式2-2】(多选)一辆载重汽车在高低不平的路面上行驶,其中一段路面如图所示,图中虚线是水平线。若汽车速率不变,下列说法正确的是()A.经过图中A处最容易爆胎B.经过图中B处最容易爆胎C.为防止汽车爆胎,应增大汽车的速率D.为防止汽车爆胎,应减小汽车的速率答案：AD解析：在A处,有NA-mg=mv2R,可得NA=mg+mv2R,在B处,有mg-NB=mv2r,可得NB=mg-mv2r,可知汽车经过凹形面时轮胎受到的作用力更大,所以经过题图中A处最容易爆胎,A正确,B错误;当汽车在A处时容易爆胎,根据上述分析,若要防止爆胎【变式2-3】如图所示,质量为M的赛车,在比赛中要通过一段凹凸起伏路面,若圆弧半径都是R,赛车的速率恒为v=gR3,则下列说法正确的是(A.在凸起的圆弧路面顶部,赛车对路面的压力大小为23B.在凹下的圆弧路面底部,赛车对路面的压力大小为53C.在凸起的圆弧路面顶部,赛车的向心力大小为23D.在凹下的圆弧路面底部,赛车的向心力大小为43答案：A解析：在凸起的圆弧路面顶部,根据牛顿第二定律知Mg-N=Mv2R,解得N=23Mg,则赛车对路面的压力为23Mg,选项A正确;在凹下的圆弧路面底部,根据牛顿第二定律知N'-Mg=Mv2R,解得N'=43Mg,根据牛顿第三定律知赛车对路面的压力为43Mg,选项B错误;在凹下的圆弧路面底部和凸起的圆弧路面顶部,赛车的向心力Fn【题型3离心、近心运动问题】【例3】如图所示，光滑水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动．若小球运动到P点时，拉力F发生变化，下列关于小球运动情况的说法正确的是()A．若拉力突然消失，小球将沿轨道Pa做离心运动B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动C．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc运动答案A【变式3-1】(多选)摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O′分别为两轮盘的轴心，已知两个轮盘的半径之比r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作时两轮盘不打滑。今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的完全相同的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块与轴心O、O′的间距RA＝2RB。若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来；且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是()A．滑块A和B均与轮盘相对静止时，角速度之比为ωA∶ωB＝1∶3B．滑块A和B均与轮盘相对静止时，向心加速度之比为aA∶aB＝2∶9C．转速增加后滑块B先发生滑动D．转速增加后两滑块一起发生滑动解析：选ABC由题意可知两轮盘边缘的线速度v大小相等，由v＝ωr可知，ω甲∶ω乙＝1∶3，所以两滑块均与轮盘相对静止时，A、B的角速度之比为ωA∶ωB＝1∶3，故A正确；两滑块均与轮盘相对静止时，根据a＝Rω2，得A、B的向心加速度之比为aA∶aB＝2∶9，故B正确；根据题意可得滑块的最大静摩擦力为f＝μmg，转动中所受的静摩擦力之比为fA′∶fB′＝maA∶maB＝2∶9，可知滑块B先达到最大静摩擦力，先开始滑动，故C正确，D错误。【变式3-2】如图所示为旋转脱水拖把结构图。把拖把头放置于脱水桶中，手握固定套杆向下运动，固定套杆就会给旋转杆施加驱动力，驱动旋转杆、拖把头和脱水桶一起转动，把拖把上的水甩出去。旋转杆上有长度为35cm的螺杆，螺杆的螺距(相邻螺纹之间的距离)为d＝5cm，拖把头的托盘半径为10cm，拖布条的长度为6cm，脱水桶的半径为12cm。某次脱水时，固定套杆在1s内匀速下压了35cm，该过程中拖把头匀速转动，则下列说法正确的是()A．拖把头的周期为7sB．拖把头转动的角速度为14πrad/sC．紧贴脱水桶内壁的拖布条上附着的水最不容易甩出D．旋转时脱水桶内壁与托盘边缘处的点向心加速度之比为5∶6解析：选B每转动一周固定套杆向下运动5cm，故拖把头转动的周期为T＝eq\f(1,7)s，故A错误；拖把头转动的角速度为ω＝eq\f(2π,T)＝14πrad/s，故B正确；拖布条上所有位置角速度相同，越靠近脱水桶内壁的位置转动半径越大，需要的向心力越多，水越容易被甩出，故C错误；托盘和脱水桶内壁的半径之比为5∶6，由a＝ω2r可知，脱水桶内壁与托盘边缘处的点向心加速度之比为6∶5，故D错误。【变式3-3】（多选）公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，则在该弯道处()A．路面外侧高内侧低B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动C．车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小答案AC解析当汽车行驶的速率为vc时，路面对汽车没有摩擦力，路面对汽车的支持力与汽车重力的合力提供向心力，此时要求路面外侧高内侧低，选项A正确．当速率稍大于vc时，汽车有向外侧滑动的趋势，因而受到向内侧的摩擦力，当摩擦力小于最大静摩擦力时，车辆不会向外侧滑动，选项C正确．同样，速率稍小于vc时，车辆不会向内侧滑动，选项B错误．vc的大小只与路面的倾斜程度和转弯半径有关，与地面的粗糙程度无关，D错误．【题型4综合问题】【例4】如图所示是小型电动打夯机的结构示意图,电动机带动质量为的重锤(重锤可视为质点)绕转轴O匀速圆周运动,重锤转动的半径为.电动机连同打夯机底座的质量为,重锤和转轴O之间连接杆的质量可以忽略不计,重力加速度g取.求:(1)重锤转动的角速度为多大时,才能使打夯机底座刚好离开地面?(2)若重锤以上述的角速度转动,当打夯机的重锤通过最低位置时,打夯机对地面的压力大小.答案：(1)(2)1500N解析：(1)当连接杆对重锤的拉力大小等于电动机连同打夯机底座的重力时,才能使打夯机底座刚好离开地面,即,对重锤根据牛顿第二定律有,代入数据解得.(2)重锤运动到最低点时,对重锤根据牛顿第二定律有,解得,对打夯机有.根据牛顿第三定律可知,打夯机对地面的压力.【变式4-1】如图所示，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面，目测体重为G的女运动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角约为30°，重力加速度为g，估算该女运动员()A．受到的拉力为eq\r(3)GB．受到的拉力为2GC．向心加速度为eq\r(2)gD．向心加速度为2g答案B解析对女运动员受力分析，由牛顿第二定律得，水平方向FTcos30°＝ma，竖直方向FTsin30°－G＝0，解得FT＝2G，a＝eq\r(3)g，A、C、D错误，B正确．【变式4-2】如图所示为某电视台正在策划的某节目的场地设施,为水平直轨道,上面安装有电动悬挂器,可以载人(人可看成质点)运动,下方水面上漂浮着一个匀速转动的半径为且铺有海绵垫的转盘,转盘轴心离平台的水平距离为L,平台边缘与转盘平面的高度