2019-2020学年高中数学-专题2.1.1-合情推理测试题含解析新人教A版选修1-2

2019-2020学年高中数学专题2.1.1合情推理测试题（含解析）新人教A版选修1-21．数列5,9,17,33，x，…中的x等于()A．47 B．65C．63 D．128答案B解析5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x＝26＋1＝65.2．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111…A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113答案B3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于()A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)答案D解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的()A．一条中线上的点，但不是中心B．一条垂线上的点，但不是垂心C．一条角平分线上的点，但不是内心D．中心答案D解析由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心．5．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝eq\f(2S,a＋b＋c)，类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S－ABC的体积为V，则r等于()A.eq\f(V,S1＋S2＋S3＋S4)B.eq\f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)C.eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4)D.eq\f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)答案C6．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是()A．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交B．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直C．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行D．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行答案B解析推广到空间以后，对于A、C、D均有可能异面，故选B.7.在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立．类比上述性质，相应地在等比数列{bn}中，若b9＝1，则成立的等式是()A．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b17－n(n<17，n∈N*)B．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b18－n(n<18，n∈N*)C．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b17－n(n<17，n∈N*)D．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b18－n(n<18，n∈N*)答案A解析在等差数列{an}中，由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10∴a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1，又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n.若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a17－n.相应地，等比数列{bn}中有：b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)．8．观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第n个等式为__________________________．答案n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)29．在△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2Bcosα＝sin∠PCO＝eq\f(h,PC)，cosβ＝eq\f(h,PA)，cosγ＝eq\f(h,PB).∵VP－ABC＝eq\f(1,6)PA·PB·PC＝eq\f(1,3)(eq\f(1,2)PA·PBcosα＋eq\f(1,2)PB·PCcosβ＋eq\f(1,2)PC·PAcosγ)·h，∴(eq\f(cosα,PC)＋eq\f(cosβ,PA)＋eq\f(cosγ,PB))h＝1，即cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.10．观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n个等式可为________．答案12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·eq\f(nn＋1,2)解析观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n个等式左边有n项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n＋1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，….设此数列为{an}，则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，各式相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，即an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).所以第n个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1eq\f(nn＋1,2).11．根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式．(1)a1＝a，an＋1＝eq\f(1,2－an)；(2)对一切的n∈N*，an>0，且2eq\r(Sn)＝an＋1.12.(1)椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与x轴交于A、B两点，点P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：eq\o(AN,\s\up6(→))·eq\o(BM,\s\up6(→))为定值b2－a2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与x轴交于A、B两点，点P是双曲线C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：eq\o(AN,\s\up6(→))·eq\o(BM,\s\up6(→))为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)．解(1)证明如下：设点P(x0，y0)，(x0≠±a)．依题意，得A(－a,0)，B(a,0)，所以直线PA的方程为y＝eq\f(y0,x0＋a)(x＋a)，令x＝0，得yM＝eq\f(ay0,x0＋a).同理得yN＝－eq\f(ay0,x0－a).所以yMyN＝eq\f(a2y\o\al(2,0),a2－x\o\al(2,0)).又点P(x0，y0)在椭圆上，所以eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，因此yeq\o\al(2,0)＝eq\f(b2,a2)(a2－xeq\o\al(2,0))．所以yMyN＝eq\f(a