专题07复数的综合运用（原卷版）

专题07复数的综合运用【考点预测】一、基本概念（1）叫虚数单位，满足，当时，．（2）形如的数叫复数，记作．=1\*GB3①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．=2\*GB3②两个复数相等（两复数对应同一点）=3\*GB3③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，．二、基本性质1、复数运算（1）（2）其中，叫z的模；是的共轭复数．（3）．实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．2、复数的几何意义（1）复数对应平面内的点；（2）复数对应平面向量；（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．【典型例题】例1．（2023·江苏·高一专题练习）已知，关于z的方程有四个复数根．若这四个复数根在复平面内对应的点是一个正方形的四个顶点，则实数m的值为________．例2．（2023·江苏·高一专题练习）复数与在复平面上对应的向量分别为与，已知，，且，则复数______.例3．（2023·高一单元测试）已知，且，为虚数单位，则的最大值是__．例4．（2023·全国·高一专题练习）已知顶点的直角坐标分别为，，，若虚数是实系数一元二次方程的根，且是钝角，则实数b的取值范围是______．例5．（2023·江苏·高一专题练习）以下4个式子：①；②；③；④，正确的是______（写出正确编号）．例6．（2023·全国·高一专题练习）将复数对应的向量绕原点逆时针方向旋转后，所得向量对应的复数为，则复数______．例7．（2023春·全国·高一专题练习）满足的复数为______．例8．（2023春·全国·高一专题练习）已知复数满足，且为实数，则______．例9．（2023·全国·高一专题练习）若是虚数单位，复数满足，则的取值范围是_____．例10．（2023·高一课时练习）若复数和复数满足，则_____．例11．（2023·全国·高一专题练习）已知(为虚数单位)．设集合，则集合中的元素在复平面上对应点所形成图形的面积为______．例12．（2023·全国·高一专题练习）已知复数满足．若是实系数一元二次方程的一个根，则______．【过关测试】一、单选题1．（2023·高一单元测试）若复数是方程的一个根，则的虚部为（

）A．2 B． C． D．2．（2023·高一单元测试）复数.若，则（

）的值与a、b的值无关.A． B． C． D．3．（2023·高一课时练习）已知、，且，若，则的最大值是（

）．A．6 B．5 C．4 D．34．（2023·江苏·高一专题练习）复平面上复数满足，则复数对应的点的轨迹是（

）．A．抛物线 B．直线 C．线段 D．圆5．（2023·全国·高一专题练习）欧拉公式（i为虚数单位，）是由瑞土著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，下面结论中正确的是（

）．A．；B．；C．；D．在复平面内对应的点位于第二象限．6．（2023·全国·高一专题练习）已知复数z满足，则（

）A． B． C． D．7．（2023·江苏·高一专题练习）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，则的值为（

）A．2 B． C． D．8．（2023·江苏·高一专题练习）已知下列命题：(1)“为实数”的充要条件是“”；(2)若，则；(3)；(4).在复数集中，上述命题正确的个数是(

)A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题9．（2023春·安徽淮南·高一淮南第一中学校联考阶段练习）设z是非零复数，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．（2023春·湖南·高一衡阳市八中校联考阶段练习）已知复数，满足，，则，（

）A． B．在复平面内对应的点位于第三象限C．为纯虚数 D．的共轭复数为11．（2023·全国·高一专题练习）已知复数（均为实数），下列说法正确的是（

）A．若，则 B．的虚部为C．若，则 D．12．（2023·全国·高一专题练习）已知复数z满足，则（

）A．复数z虚部的最大值为2B．复数z实部的取值范围是C．的最小值为1D．复数z在复平面内对应的点位于第一、三、四象限13．（2023春·全国·高一专题练习）已知复数，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则z是纯虚数C．复数z的模长为定值 D．的最小值为三、填空题14．（2023春·全国·高一专题练习）计算：______．15．（2023·江苏·高一专题练习）设，为复数，有下列命题：①如果，那么；

②如果，那么；③如果，那么；

④如果，那么．其中一定成立的是______（填代号）．16．（2023春·全国·高一专题练习）设，，为虚数单位，若是关于的二次方程的一个虚根，则______．四、解答题17．（2023春·河南洛阳·高一洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）已知虚数z满足.(1)求证：在复平面内对应的点在直线上；(2)若是方程的一个根，求与.18．（2023春·陕西西安·高一统考阶段练习）已知复数，.(1)若为纯虚数，求的值；(2)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围.19．（2023·高一课时练习）对一般的实系数一元三次方程，由于总可以通过代换消去其二次项，就可以变为方程．在一些数学工具书中，我们可以找到方程的求根公式，这一公式被称为卡尔丹公式，它是以16世纪意大利数学家卡尔丹（J.Cardan）的名字命名的．卡尔丹公式的获得过程如下：三次方程可以变形为，把未知数x写成两数之和，再把等式的右边展开，就得到，即．将上式与相对照，得到，把此方程组中的第一个方程两边同时作三次方，，并把与看成未知数，解得，于是，方程一个根可以写成．阅读以上材料，求解方程．20．（2023·高一课时练习）已知复数z满足，且是纯虚数．(1)求z；(2)求z的辐角主值．21．（2023春·全国·高一专题练习）复数，其中为虚数单位．(1)求及；(2)若，求实数，的值．22．（2023春·全国·高一专题练习）已知复数，，其中i是虚数单位，．(1)若，是实系数一元二次方程的两个虚根，求m，n的值；(2)求的值域．23．（2023·江苏·高一专题练习）设O为复平面的原点，和为复平面内的两动点，并且满足：（1）和所对应的复数的辐角分别为定值和（）；（2）的面积为定值S.求的重心Z所对应的复数的模