624组合数（教学课件）高二数学（人教A版2019选择性）

6.2.4组合数第6章计数原理人教A版2019必修第三册学习目标1.能利用计数原理推导组合数公式.2.能解决有限制条件的组合问题.3.通过研究组合数公式及解决有限制条件的组合问题，提升逻辑推理及数学运算素养.某校开展秋季运动会招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号，2号，…，19号，20号．若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个标号较大的在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取方法有多少种？情境引入：问题上述问题情景中，是一个较为复杂的组合问题，如何用组合数解决此问题？类比排列数，我们引进组合数概念：组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.组合的第一个字母元素总数取出元素数m，n所满足的条件是：(1)

m∈N*，n∈N*

；(2)

m≤n.

例如，从3个不同元素中任取2个元素的组合数为从4个不同元素中任取3个元素的组合数为符号中的C是英文combination(组合)的第一个字母.组合数还可以用符号表示.思考：探究前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数

来求组合数

呢?3个不同元素a,b,c中取出2个共有ab,ac,bc3个不同的组合，4个不同元素a,b,c,d中取出3个共有abc,abd,acd,bcd4个不同的组合，4个不同元素a,b,c,d中取出3个元素的排列数为3个不同元素a,b,c中取出2个元素的排列数为下面我们就来探究从3个不同元素a,b,c中取出2个元素从4个不同元素a,b,c,d中取出3个元素组合ab排列acbcabbaaccabccb由此可得组合abc排列abdacdabcacbbacbcacabcbaabdadbbadbdadabdbaacdadccadcdadacdcabcdbcdbdccbdcdbdbcdcb由此可得这里的n,m∈N*，并且m≤n，这个公式叫做组合数公式.组合数公式：另外，我们规定所以上面的公式还可以写成解：例6

计算：思考此关系是否具有一般性？性质1性质2性质1性质2组合数的性质：例7在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.(1)有多少种不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?解：(1)所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以抽法种数为(2)从2件次品中抽出1件的抽法有

种，从98件合格品中抽出2件的抽法有

种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为（3）解1(直接法)：解2(间接法)：抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即课堂练习解：1.计算：证明：2.求证：3.有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门考试成绩.(1)共有多少种不同的选法?(2)如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法?(3)如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法?解：随堂检测1.若6个人分4张无座的足球门票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是（）A．64 B．46 C．15 D．360C2.从10名学生中挑选出3名学生参加数学竞赛，不同的选法有（）A．种 B．3！C．种 D．以上均不对C

D

4.十二生肖，又叫属相，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪．现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三名同学从中各选一个，甲没有选择马，乙、丙二人恰有一人选择羊，则不同的选法有（）A．242种 B．220种 C．200种 D．110种C5.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A．140种 B．420种 C．80种 D．70种D

解：由组合数性质2可知，

因此，

7.计算：

解：由题意可得

又,得n=10

课堂练习8.要从6名男生4名女生中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？

（1）甲当选且乙不当选；

（2）至多有3名男生当选解：至多有3男当选时，应分三类：

拓展提高9.一个口袋内有3个不同的红球，4个不同的白球（1）从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？根据分类计数原理,红球的个数不少于白球的个数的取法有1+12=13种.

解：（1）从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法：红球3个，红球2个和白球1个，当取红球3个时，取法有1种；

（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于6分的取法有多少种？解：（2）使总分不少于分情况有两种：红球2个和白球2个，红球3个和白球1个，

根据分类计数原理，使总分不少于6分的取法有18+4=22种.

男运动员6名，女运动员4名，其中男､女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，在