难点01总集篇十三种简便计算巧算法-2024年小升初数学典型例题

休对故人思故国，且将新火试新茶。诗酒趁年华。休对故人思故国，且将新火试新茶。诗酒趁年华。—北宋·苏轼《望江南·超然台作》2024年小升初数学典型例题系列难点01：总集篇·十三种简便计算巧算法【十三大考点】【第一篇】专题解读篇本专题是难点01：总集篇·十三种简便计算巧算法。本部分内容包括十三种简便计算巧算法，一共三十多种题型，考题大多数以思维拓展题型为主，难度极大，内容较多，建议作为根据学生实际水平和掌握情况，选择性讲解考点考题，一共划分为十三个考点，欢迎使用。【第二篇】目录导航篇TOC\o"11"\h\u【考点一】巧算法其一：变形约分法。 4【典型例题1】先拆解，再约分。 5【典型例题2】先提取公因数，再约分。 5【典型例题3】大变小思想。 5【考点二】巧算法其二：平方差公式。 8【典型例题1】平方差公式基础运用。 8【典型例题2】平方差公式与分组重解约分。 8【考点三】巧算法其三：平方和公式与立方和公式。＊ 10【考点四】巧算法其四：连续两数乘积之和与连续三数乘积之和（整数裂项）。＊ 11【典型例题1】连续两数乘积之和。 12【典型例题2】连续三数乘积之和。 12【考点五】巧算法其五：高斯公式与等差数列。 14【典型例题1】求项数。 15【典型例题2】求和。 15【典型例题3】求末项。 15【典型例题4】拓展其一。 15【典型例题5】拓展其二。 16【考点六】巧算法其六：通项公式法。＊ 19【典型例题1】通项公式其一。 19【典型例题2】通项公式其二。 20【考点七】巧算法其七：错位相减法与等比数列。 21【典型例题1】其一。 21【典型例题2】其二。 22【典型例题3】其三。 23【考点八】巧算法其八：分组法。 23【典型例题1】其一。 24【典型例题2】其二。 24【考点九】巧算法其九：换元法（字母代换法）。 26【考点十】巧算法其十：裂项法（分数裂和与分数裂差）。 28【典型例题1】其一。 29【典型例题2】其二。 31【典型例题3】其三。 32【典型例题4】其四。 33【典型例题5】其五。 34【典型例题6】其六。 35【考点十一】巧算法其十一：连锁约分。 36【考点十二】巧算法其十二：估算法。 37【考点十三】巧算法其十三：繁分数运算。 40【第三篇】知识总览篇【第四篇】典型例题篇【考点一】巧算法其一：变形约分法。【方法点拨】1.常见整数的拆解：(1)AAAAA=A×11111；(2)A0A0A0A=A×1010101；(3)ababababab=ab×101010101；(4)abcabcabcabc=abc×1001001001；2.“大变小”思想：即在变形时尽量将较大数变为较小数。3.变形约分法主要格式与步骤：（1）通过拆数、凑数改变形式；（2）有公因数时提取公因数；（3）整套或部分约分；（4）求出结果。【典型例题1】先拆解，再约分。简便计算。×111111”，即先变形再约分。==【典型例题2】先提取公因数，再约分。简便计算。解析：先对分子、分母变形，再提取公因数之后，再进行约分求解。===【典型例题3】大变小思想。简便计算。解析：此题关键在于“2014×2015=（2013+1）×2015。===1【对应练习1】简便计算。

解析：，将拆成，拆成，拆成，小括号里3个分数都可以约分成，再将除法改写成乘法，利用乘法分配律进行简算。＝（＋＋）÷＝（＋＋）×＝×＋×＋×＝1＋1＋1＝3【对应练习2】简便计算。

【答案】；1【分析】（1）先把带分数换成假分数，再根据乘法分配律计算，最后把除法换成乘法计算即可。（2）先把1987看成（1988－1），再根据乘法分配律计算即可。【详解】（1）＝＝＝＝＝（2）＝＝＝＝1【对应练习3】简便计算。

【答案】1；【分析】第一个小题需要仔细观察，大胆猜想，分子分母是比较复杂的式子，把其中一个向另一个转化；第二小题分子、分母是更加复杂的式子，但仔细观察却有规律，分子中（1×4×7）看做整体，后面两小段就可以分别写成它的2倍、3倍；分母也是相同的思路。整理完之后，再进一步寻求简算方法。【详解】＝

＝＝＝＝＝【考点二】巧算法其二：平方差公式。【方法点拨】平方差公式：。【典型例题1】平方差公式基础运用。已知平方差公式：a2－b2＝（a＋b）×（a－b），计算：（1）852－152；（2）（89＋1）×（89－1）。【答案】（1）7000（2）7920【分析】（1）852－152，计算时，利用平方差公式，把原式转化为：（85＋15）×（85－15），即可简算；（2）根据“a2－b2＝（a＋b）×（a－b）”可知，（89＋1）×（89－1）＝892＋12＝89×89＋1×1，即可简算。【详解】（1）852－152＝（85＋15）×（85－15）＝100×70＝7000（2）（89＋1）×（89－1）＝892－12＝89×89－1×1＝7921－1＝7920【典型例题2】平方差公式与分组重解约分。简便计算。解析：利用平方差公式首先对分子进行分组重建，再进行整体约分。===1【对应练习1】简便计算。992﹣972+952﹣932+…．+32﹣12．【答案】5000【详解】首先数字分组，从第一个数起两两为一组，一正一负，进一步利用平方差公式分解，化为2（99+97+95+…+3+1），进一步计算求得结果即可．解：992﹣972+952﹣932+…+32﹣12

，=（992﹣972）+（952﹣932）+…+（32﹣12），=（99+97）（99﹣97）+（95+93）（95﹣93）+…+（3+1）（3﹣1），=2（99+97+95+…+3+1），=5000．【对应练习2】简便计算。解析：分母可通过高斯求和公式进行巧算，分子可根据公式a²－b²＝（a－b）（a＋b）进行巧算。（5）【对应练习3】简便计算。【答案】【分析】观察分子和分母，会发现它们有各自的规律可循．分母的数列排列的规律是从1加到10再加回到1，计算时只要计算(1+2+…+10)×2再减10，分子的规律注意是两个和相减，可以根据减法性质将括号打开进行计算．【详解】解：分母=（1+2+3+…+10）×210=100分子=2==（21）（2+1）+（43）（4+3）+…+（10099）（100+99）=3+7+11+…+199=（3+199）×50÷2=101×50所以，原式==【点睛】在繁分数计算时，不要一味“傻算”、“硬算”，可以先找规律，再运用学过的各种运算技巧进行计算．【考点三】巧算法其三：平方和公式与立方和公式。＊【方法点拨】1.平方和公式：；2.立方和公式：。【典型例题】若已知12+22+32+42+…+252=5525，试求22+42+62+82+…+502之值.【答案】22100【详解】22＋42+62+82+…+502=22×12+22×22+22×32＋…+22×252=4×（l2+22+32＋…＋252）=4×5525=22100.【对应练习】计算；512+522+532+…+992+1002=．【答案】295425

【分析】首先根据12+22+32+…+（n﹣1）2+n2=，分别求出前100个数、前50个数的平方和各是多少；然后用前100个数的平方和减去前50个数的平方和，求出算式512+522+532+…+992+1002的值是多少即可．【详解】512+522+532+…+992+1002=﹣=338350﹣42925=295425故答案为295425．【考点四】巧算法其四：连续两数乘积之和与连续三数乘积之和（整数裂项）。＊【方法点拨】1.连续两数乘积之和：1×2+2×3+3×4+⋯+n×（n+1）=n×（n+1）×（n+2）。2.连续三数乘积之和：1×2×3+2×3×4+3×4×5+⋯+n×（n+1）×（n+2）=n（n+1）（n+2）（n+3）。【典型例题1】连续两数乘积之和。简便计算。1×2＋2×3＋……＋19×20【答案】2660【分析】观察算式可知，乘数是连续的自然数，可以利用裂项方法直接解答。1×2＝（1×2×3－0×1×2）÷32×3＝（2×3×4－1×2×3）÷3……依次类推，将算式中的每个乘法都写出来，然后计算即可。【详解】1×2＋2×3＋……＋19×20＝（1×2×3－0×1×2）÷3＋（2×3×4－1×2×3）÷3＋……＋（19×20×21－18×19×20）÷3＝[（1×2×3－0×1×2）＋（2×3×4－1×2×3）＋……＋（19×20×21－18×19×20）]÷3＝[1×2×3－0×1×2＋2×3×4－1×2×3＋……＋19×20×21－18×19×20]÷3＝[19×20×21－0×1×2]÷3＝19×20×21÷3＝2660【典型例题2】连续三数乘积之和。简便计算。1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋……＋18×19×20【答案】35910【分析】每个乘法算式都有三个乘数，且为连续的自然数，利用整数裂项解答即可。【详解】1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋……＋18×19×20＝（1×2×3×4－0×1×2×3）÷4＋（2×3×4×5－1×2×3×4）÷4＋……＋（18×19×20×21－17×18×19×20）÷4＝[（1×2×3×4－0×1×2×3）＋（2×3×4×5－1×2×3×4）＋……＋（18×19×20×21－17×18×19×20）]÷4＝[18×19×20×21－0×1×2×3]÷4＝18×19×20×21÷4＝35910【对应练习1】简便计算。解析：因为n（n＋1）（n＋2）＝n（n＋1）（n＋2）（n＋3）－（n－1）n（n＋1）（n＋2），所以原式＝×1×2×3×4＋（×2×3×4×5－×1×2×3×4）＋…＋（×9×10×11×12－×8×9×10×11）＝×9×10×11×12＝2970。＝×1×2×3×4＋（×2×3×4×5－×1×2×3×4）＋…＋（×9×10×11×12－×8×9×10×11）＝×9×10×11×12＝2970【对应练习2】简便计算。7×8＋8×9＋……＋49×50【答案】41538【分析】观察算式可知，乘数是连续的自然数，可以利用裂项方法直接解答。7×8＝（7×8×9－6×7×8）÷38×9＝（8×9×10－7×8×9）÷3……依次类推，将算式中的每个乘法都写出来，然后计算即可。【详解】7×8＋8×9＋……＋49×50＝（7×8×9－6×7×8）÷3＋（8×9×10－7×8×9）÷3＋……＋（49×50×51－48×49×50）÷3＝[（7×8×9－6×7×8）＋（8×9×10－7×8×9）＋……＋（49×50×51－48×49×50）]÷3＝[7×8×9－6×7×8＋8×9×10－7×8×9＋……＋49×50×51－48×49×50]÷3＝[49×50×51－6×7×8]÷3＝[124950－336]÷3＝124614÷3＝41538【对应练习3】简便计算。11×12＋12×13＋……＋99×100【答案】332860【分析】观察算式可知，乘数是连续的自然数，可以利用裂项方法直接解答。11×12＝（11×12×13－10×11×12）÷312×13＝（12×13×14－11×12×13）÷3……依次类推，将算式中的每个乘法都写出来，然后计算即可。【详解】11×12＋12×13＋……＋99×100＝（11×12×13－10×11×12）÷3＋（12×13×14－11×12×13）÷3＋……＋（99×100×101－98×99×100）÷3＝[（11×12×13－10×11×12）＋（12×13×14－11×12×13）＋……＋（99×100×101－98×99×100）]÷3＝[11×12×13－10×11×12＋12×13×14－11×12×13＋……＋99×100×101－98×99×100]÷3＝[99×100×101－10×11×12]÷3＝[999900－1320]÷3＝998580÷3＝332860【考点五】巧算法其五：高斯公式与等差数列。【方法点拨】高斯公式：1.求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2；2.末项公式：末项=首项+（项数1）×公差；3.项数公式：项数=（末项首项）÷公差+1。【典型例题1】求项数。有一列数，2、5、8、11、14、…则104在这列数中是第（）个数。A．33 B．32 C．34 D．35解析：D（104﹣2）÷3+1=102÷3+1=35，所以104在这列数中是第35个数。【典型例题2】求和。计算。3＋5＋7＋9＋……57解析：项数：（57－3）÷（5－3）＋1＝54÷2＋1＝28原式＝（3＋57）×28÷2＝60×28÷2＝840【典型例题3】求末项。有一串数1、7、13、19、25、…这列数的第1000个数是________

。解析：这个数列是首项是1，公差是6的等差数列，第1000项是：1+（1000﹣1）×6=1+999×6=1+5994=5995。【典型例题4】拓展其一。简便计算。【答案】【分析】观察分数的分子和分母发现它们是连续的奇数，相邻的两个数相差2，那么分子里数字的个数有（2013－1）÷2＋1＝1007个数，分子的数字和是（2013＋1）×1007÷2＝2014×1007÷2，分母里的数字的个数有（4027－2015）÷2＋1＝1007个数，分母的数字和是（4027＋2015）×1007÷2＝6042×1007÷2，最后进行约分。【详解】＝＝＝故答案为：【点睛】此题考查的是一个特殊的计算，注意计算是有规律可循的。【典型例题5】拓展其二。简便计算。【答案】【分析】根据高斯求和公式变形后，通过分子分母约分即可简算．【详解】解：【对应练习1】计算：1+2+3++2012解析：原式=（1+2012）×2012÷2=2025078【对应练习2】一个等差数列的首项为11，第10项为200，这个等差数列的公差等于多少？第19项等于多少？解析：（1）（200﹣11）÷（10﹣1）=189÷9=21即这个等差数列的公差等于21；（2）11+（19﹣1）×21=11+18×21=389即第19项等于389。【对应练习3】甲乙两人都住在同一胡同的同一侧，这一侧的门牌号码是连续的奇数．甲住21号，乙住193号．甲、乙两人的住处相隔着多少个门？解析：已知a1＝21，an＝193，d＝2由n＝（an－a1）÷d＋1＝（193－21）÷2＋1＝87因求甲、乙住处相隔多少个门，所以得87－2＝85【对应练习4】计算：。【答案】【分析】仔细审题，我们会发现，题干中分母的规律：；同时很容易发现是一个等差数列，利用等差数列求和公式我们可得，进而可得：。【详解】原式＝＝＝＝【点睛】这道题目稍微有点难度，需要先归纳分母的通项，然后利用裂项进行解题，所以同学们应该在记住公式的同时做适当的综合应用。【对应练习5】简便计算。解析：同分母相加，分母不变，分子相加。分子相加过后发现是连续的自然数相加，是一组等差数列，等差数列的求和为（第一个数＋最后一个数）×项数÷2。＝＝＝＝＝＝【对应练习6】简便计算。解析：观察式子发现，越往后就是一组等差数列，等差数列的求和方式为（第一个数＋最后一个数）×项数÷2。将式子进行整理后发现规律。、、＝＝＝【考点六】巧算法其六：通项公式法。＊【方法点拨】通项公式其一：；通项公式其二：。【典型例题1】通项公式其一。简便计算。解析：根据，把算式转化为，再进行计算；＝＝＝＝【对应练习】简便计算。【答案】【分析】分母是两个连续自然数的乘积，分子是两个连续自然数的平方和。把分数进行拆分与裂项。，＝2＋，＝2＋……，。＝1－，＝－，＝－……＝－，＝－。【详解】＝2＋＋2＋＋2＋＋……＋2＋＋2＋＝2×19＋（＋＋＋……＋＋）＝38＋（1－＋－＋－＋……－＋－）＝38＋（1－）＝38＋＝【典型例题2】通项公式其二。简便计算。解析：根据及裂项消去法代入化简【对应练习】计算：．【答案】【详解】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为，，，……，，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先将原式乘4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．原式【考点七】巧算法其七：错位相减法与等比数列。【方法点拨】错位相减法是常见的数列求和方法，通常步骤如下：1.设原式=m，作为①式；2.两边同时乘或除以公比进行扩大或缩小，得到的式子作为②式；3.两式相减，错位抵消，求出结果。【典型例题1】其一。简便计算。1+2+4+8+16+⋯+256+512解析：本题中的数成等比数列，其中公比为2。解：设m=1+2+4+8+16+⋯+256+512①两边同时乘2得：2m=2+4+8+16+⋯+256+512+1024②①②得：M=10241=1023即原式=1023【对应练习】简便计算。3+6+12+24+48+96+384+768解析：1533【典型例题2】其二。简便计算。解析：设m=①两边同时乘3得：3m=②②①得：2m=1即m=【对应练习1】简便计算。解析：【对应练习2】简便计算。解析：【典型例题3】其三。简便计算。解析：＝＝＝＝＝＝＝【对应练习】简便计算。+++++++解析：7【考点八】巧算法其八：分组法。【方法点拨】分组法一般步骤：1.观察算式，寻找规律，进行分组；2.如果有公因数时，先提取公因数，再按规律进行计算。【典型例题1】其一。计算。2001－1998＋1995－1992＋…＋15－12＋9－6＋3解析：【对应练习】计算。50+49﹣48﹣47+46+45﹣44﹣43+…﹣4﹣3+2+1。解析：50+49﹣48﹣47+46+45﹣44﹣43+…﹣4﹣3+2+1=（50﹣48）+（49﹣47）+…+（6﹣4）+（5﹣3）+2+1=2+2+2+…+2+1=2×25+1=51【典型例题2】其二。简便计算。解析：原式====【对应练习1】简便计算。【答案】【分析】根据减法的性质，将算式变为，然后根据乘法分配律，将算式变为，再计算括号里面的减法和加法，然后计算括号外面的乘法，最后计算括号外面的减法。【详解】＝＝＝＝＝【对应练习2】简便计算。【答案】190【分析】根据加法交换律和减法的性质，将算式变为，然后根据乘法分配律，将算式变为，再计算出，接着将首尾相加，将算式变为，然后计算出小括号里面的加法，最后去掉括号进行计算即可。【详解】＝＝＝＝＝＝＝＝【考点九】巧算法其九：换元法（字母代换法）。【方法点拨】在计算过程中，有些式子很长，计算复杂，那么就可以用字母代替式子中的一部分，使计算简便，这样的方法成为换元法，也叫字母代换法1.一般情况下，设最短式子为A，次短式子为B；2.单独分离整数，即整数不包括在A、B之内。【典型例题】简便计算。【答案】【分析】令＝A，＝B，将原式改写成含字母A、B的式子，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c将式子化简，最后再把A、B换回原来的式子计算出结果。【详解】令＝A，＝B；原式＝A×（B＋）－（A＋）×B＝AB＋A－AB－B＝A－B＝×（A－B）＝×[（）－（）]＝×[]＝×1＝【对应练习1】简便计算。【答案】【分析】假设，，把字母代入原式化简含有字母的式子，最后再把a和b的值代入化简后的式子求出结果，据此计算。【详解】假设，原式＝＝＝＝＝＝＝＝【对应练习2】简便计算。解析：【对应练习3】简便计算。【答案】【详解】（++）×（++）﹣（+++）×（+）＝（++）×（+）+（++）×﹣（++）×（+）﹣×（+）＝×+（+）×﹣×（+）＝×＝.【考点十】巧算法其十：裂项法（分数裂和与分数裂差）。【方法点拨】1.裂项法：把一个分数拆分成两个或两个以上分数相减的形式，然后再进行计算的方法叫做裂项法。2.常用裂项法公式：①；②；③；④⑤⑥【典型例题1】其一。观察下列等式：，，，请将以上三个等式两边分别相加得：。（1）猜想并写出：（

）。（2）（

）。（3）探究并计算：（

）。（4）计算：【答案】（1）（2）（3）（4）【分析】（1）先根据题中所给出的等式进行猜想，写出猜想结果即可；（2）根据（1）中的猜想计算出结果；（3）根据乘法分配律提取，再计算即可求解；（4）先拆项，再抵消结果即可求解。【详解】（1）＝＝【点睛】本题考查的是分数的混合运算，根据题意找出规律是解答此题的关键。【对应练习1】简便计算。＋＋【答案】【分析】根据裂项求和的方法，，，，然后根据加法交换律和加法结合律进行计算即可。【详解】＋＋＝＋＋＝（－＋－）＝（）＝＝【点睛】本题考查裂项求和，熟练运用交换律和结合律是解题的关键。【对应练习2】简便计算。【详解】＝＝＝＝【典型例题2】其二。简便计算。解析：【对应练习】简便计算。+++…+【答案】【详解】试题分析：因为=（﹣），=（﹣），…，因此通过拆分，加减相互抵消，解决问题．解：+++…+=（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣=点评：完成此题，注意分数的拆分，通过加减相抵消的方法，求出结果．【典型例题3】其三。简便计算。＝＝＝＝＝＝＝【点睛】此题用分数拆项的方法解决问题更便捷，做这类问题，应仔细审题，找到解决的最佳途径，运用运算技巧灵活解答。【对应练习】简便计算。【答案】39【分析】通过计算发现：每一项的结果都是“2﹣分数单位”的形式，分母为原来的分母．然后把分数拆分，通过加减相互抵消，即可求出结果．【详解】＝＝＝＝＝＝39＋＝39【点睛】此题解答的关键在于把分数拆分，变成相互抵消的形式，使计算简便．【典型例题4】其四。简便计算。解析：【对应练习】简便计算。解析：【典型例题5】其五。简便计算。【答案】【分析】分母是两个连续自然数的乘积，分子是两个连续自然数的平方和。把分数进行拆分与裂项。，＝2＋，＝2＋……，。＝1－，＝－，＝－……＝－，＝－。【详解】＝2＋＋2＋＋2＋＋……＋2＋＋2＋＝2×19＋（＋＋＋……＋＋）＝3