专题1集合与逻辑章节易错题综合-2022年2020必修一数学上学期期末重难点总复习

【期末宝典】专题1：集合与逻辑章节易错题综合（解析版）一、单选题1．（2021·上海·格致中学高一期末）设X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：（1）X属于τ，属于τ；（2）τ中任意多个元素的并集属于τ；（3）τ中任意多个元素的交集属于τ；则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ＝{，{a}，{a，b}，{a，c}}；②τ＝{，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ＝{，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}；④τ＝{，{a}，{c}，{a，b，c}}；其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是（）A．② B．①③ C．②④ D．②③【标准答案】D【思路点拨】利用集合X上的拓扑的3个要求，依次判断即可【精准解析】①中由于，故①不是集合上的一个拓扑；②中满足拓扑集合的3个要求，故②是集合上的一个拓扑；③中满足拓扑集合的3个要求，故③是集合上的一个拓扑；④中,故④不是集合上的一个拓扑；因此集合X上的拓扑的集合τ的序号是②③故选：D2．（2021·上海市奉贤中学高一期末）设所示有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；与相同的集合有（）A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③【标准答案】D【思路点拨】根据集合相等的含义，逐一分析①②③④，即可得答案【精准解析】对于①：集合，则，解得，即，是一一对于，所以与集合相同.对于②：集合，则，也是一一对应，所以与集合相同.对于③：集合，，一一对应，，所以与集合相同.对于④：，但方程无解，则，与不相同．故选：D3．（2021·上海市延安中学高一期末）设全集，给出条件：①；②若，则；③若，则.那么同时满足三个条件的集合的个数为（）A．个 B．个 C．个 D．个【标准答案】C【思路点拨】集合中各元素的放置，由此可得出结论.【精准解析】由题意可知，若，则，，；若，则，，.此时，、、、的放置有种；若，则；若，则，此时、的放置有种；若，则；若，则，此时，、的放置有种.、的放置没有限制，各有种.综上所述，满足条件的集合的个数为.故选：C.4．（2021·上海·位育中学高一期末）对于集合、，定义集合运算且，给出下列三个结论：（1）；（2）；（3）若，则；则其中所有正确结论的序号是（）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）【标准答案】D【思路点拨】由韦恩图分别表示集合，，，再逐一判断（1）（2）（3）即可得正确选项.【精准解析】如图：若，不具有包含关系，由韦恩图分别表示集合，，，若，具有包含关系，不妨设是的真子集，对于（1）:图中，，图中，所以，故（1）正确；对于（2）：图中，成立，图中，，，所以成立，故（2）正确；对于（3）：若，则；故（3）正确；所以其中所有正确结论的序号是（1）（2）（3），故选：D.5．（2021·上海·位育中学高一期末）设，则且是的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件【标准答案】A【思路点拨】利用充分条件和必要条件的定义进行判断.【精准解析】若且，则成立；若，可取，，不满足且；所以且是的充分不必要条件，故选：A6．（2021·上海·位育中学高一期末）设，对关于的方程组的解的说法正确的是（）A．对任意实数，该方程组的解集都是单元素集；B．至少存在一个实数，使得该方程组的解集为空集；C．至少存在一个实数，使得该方程组的解集为无限集；D．对任意实数，该方程组的解集都不是空集.【标准答案】B【思路点拨】方程组的解可以看作是两条直线是否相交及交点个数的问题即可求解.【精准解析】对关于的方程组的解,即为直线与直线公共点的坐标，当时，两直线无公共点，即方程组的解集为空集，故AD不正确；当时，两直线有且只有一个公共点，即方程组有且只有一个解，故B正确，C不正确.故选：B7．（2021·上海·华师大二附中高一期末）已知是R上的偶函数，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【标准答案】A【思路点拨】根据函数的奇偶性，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【精准解析】由题意，函数是R上的偶函数，若，则，则成立，即充分性成立；若，则或，即必要性不一定成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.【名师指导】本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．8．已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（）A． B． C． D．【标准答案】C【思路点拨】由集合描述求集合，结合韦恩图知阴影部分为，分别求出、，然后求交集即可.【精准解析】，，由图知：阴影部分为，而，，∴或，即或，故选：C【名师指导】本题考查了集合的基本运算，结合韦恩图得到阴影部分的表达式，应用集合的交并补混合运算求集合.9．（2021·上海市行知中学高一期末）直角坐标平面中除去两点､可用集合表示为（）A．B．或C．D．【标准答案】C【思路点拨】直角坐标平面中除去两点､，其余的点全部在集合中，逐一排除法．【精准解析】直角坐标平面中除去两点、，其余的点全部在集合中，选项中除去的是四条线；选项中除去的是或除去或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意；选项，则且，即除去两点､，符合题意；选项，则任意点都不能，即不能同时排除，两点．故选：C【名师指导】本题考查了集合的基本概念，考查学生对集合的识别，属于中档题．10．已知非空集合M满足：对任意，总有，且，若，则满足条件的M的个数是A．11 B．12 C．15 D．16【标准答案】A【思路点拨】可得集合是集合的非空子集，且不同时出现，即可得到结论.【精准解析】由题意，可得集合是集合的非空子集，共有个，且不能同时出现，同时出现共有4个，所以满足题意的集合的个数为11个，故选A.【名师指导】本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合的子集个数的判定及应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题11．（2021·上海交大附中高一开学考试）已知集合，，若，则实数m的取值构成的集合为___________.【标准答案】【思路点拨】先化简集合M，然后再根据N⊆M，求出m的值，即可求解．【精准解析】∵集合，∴集合，∵，，∴，或，或三种情况，当时，可得；当时，∵，∴，∴；当，，∴；∴实数m的取值构成的集合为，故答案为：12．（2021·上海市行知中学高一期末）以集合的子集中选出两个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）、都至少属于其中一个集合；（2）对选出的两个子集，其中一个集合为另一个的子集，那么共有_________种不同的选法.【标准答案】32【思路点拨】根据题意，集合A,B可以互换，不妨设元素少的为A，多的为B，则B必包含{a,b}，A为B的真子集，从而解得答案.【精准解析】由题意，不妨设元素少的为A，多的为B，则B必含有a,b，A为B的真子集，若，A为B的真子集，则有种，若，A为B的真子集，则有种，若，A为B的真子集，则有种，若，A为B的真子集，则有种，共有3+7+7+15=32种.故答案为：32.13．（2021·上海·格致中学高一期末）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，B＝{x|mx+1＝0}，若B⊆A，则实数m组成的集合为________．【标准答案】【思路点拨】解方程求得集合；分别在和两种情况下，根据包含关系构造方程，从而求得结果.【精准解析】由题意，当时，，满足B⊆A当时，或，解得：或实数组成的集合为故答案为：14．（2021·上海市大同中学高一期末）已知一个有四个数字元素的集合，的所有子集的元素和（空集的元素和认为是零）的总和等于16192，则的元素之和等于______.【标准答案】2024【思路点拨】利用集合的非空子集个数先求出含每个元素的集合个数，在进行求和即可．【精准解析】解：设集合，

由一个集合中有n个元素，则它有个子集，非空子集有（−1）个可得：

含有元素的集合有个，

含有元素的集合有个，

含有元素的集合有个，

含有元素的集合有个，

若集合的所有非空子集的元素之和是16192，

则集合的所有元素和为，

则；

故答案为：2024．15．（2021·上海师大附中高一期末）设集合是整数集的一个非空子集，对于任意，若且，则称为集合的一个“孤立元”.给定集合，则由中的3个元素组成的所有集合中，不含有“孤立元”的集合共有___________个，分别为___________【标准答案】4、、、【思路点拨】根据集合的新定义，可得集合不含“孤立元”，则集合中的三个数必须连在一起，利用列举法，即可求解.【精准解析】由集合的新定义知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，集合不含“孤立元”，则集合中的三个数必须连在一起，所以符合题意的集合是，，，，共4个．故答案为：4，、、、16．（2021·上海师大附中高一期末）已知集合，集合，若，则___________.【标准答案】【思路点拨】由，结合可得，即或，分别代入验证，即得解【精准解析】由题意，又，即解得：或当时，，此时，成立；当时，，不满足集合中元素的互异性，不成立；因此.故答案为：17．（2021·上海市控江中学高一期末）已知为实常数，集合，集合，且，则实数的取值范围为________.【标准答案】【思路点拨】由题意，可得，再结合关系列出不等式组，即得解【精准解析】由题意，故答案为：18．（2021·上海市控江中学高一期末）已知为实常数，集合，集合，且，则的值为_____.【标准答案】【思路点拨】由题意，，分或两种情况讨论，结合集合中元素的互异性，即得解【精准解析】由题意，或若，此时，矛盾；若，又，此时，成立故答案为：19．（2021·上海大学附属南翔高级中学高一期末）已知非空集合M同时满足①；②若，则，则非空集合M的个数为_______.【标准答案】15【思路点拨】由集合的元素所满足的两个性质，找到集合集合M的元素，从而确定集合M的个数即可【精准解析】因为非空集合M同时满足:；②若，则；所以将数分组成：；；；；所以集合中，若有，则成对出现；若有，则成对出现；若有，则成对出现；若有，则成对出现；因为4组数任选1组有4种，任选2组有6种，任选3组有4种，4组都选有1种，所以满足题意得集合有个，故答案为：1520．（2021·上海桃浦中学高一期末）已知集合和，使得，，并且的元素乘积等于的元素和，写出所有满足条件的集合___________.【标准答案】或或.【思路点拨】求得中所有元素之和后，根据中元素个数得到其元素所满足的关系式，依次判断中元素不同个数时可能的结果即可.【精准解析】，中所有元素之和为；若中仅有一个元素，设，则，解得：，不合题意；若中有且仅有两个元素，设，则，当，时，，；若中有且仅有三个元素，设，则；当，，时，，若中有且仅有四个元素，设，则，当，，，时，，；若中有且仅有五个元素，若，此时，中最多能有四个元素；综上所述：或或.故答案为：或或.【名师指导】关键点点睛：本题解题关键是能够通过对中元素个数的分类讨论，依次从小至大排列中元素可能的取值，根据满足的关系式分析即可得到满足题意的集合.三、解答题21．（2021·上海浦东新·高一期中），.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围.【标准答案】（1）1（2）或.【思路点拨】（1）根据，由4和0是方程的两个根求解；（2）根据，分，，，讨论求解.（1）解：，因为，所以4和0是方程的两个根，所以，解得，所以实数的值是1；（2）解：，因为，所以当时，，解得，符合题意；当时，，解得，符合题意；当时，，解得，符合题意；当时，，解得，综上：实数的取值范围是或.22．（2021·上海桃浦中学高一期末）已知集合，集合.（1）若，求实数的值.（2）若，求实数的取值范围.（3）若，，求实数的取值范围.【标准答案】（1）或；（2）；（3）.【思路点拨】（1）将代入集合中，解方程可求得的值，验算可得结果；（2）由知，由此得到所有可能的结果，由此分类讨论每种可能性即可得到结果；（3）由知，分别在，和三种情况下确定的解，综合可得结果.【精准解析】（1），，即，解得：或；当时，，满足；当时，，满足；综上所述：或；（2），，可能的结果为，，，；①当时，，解得：；②当时，，解得：；若，则，不满足；若，则，不满足；③当时，，解得：或；若，则，不满足；若，则，满足；④当时，，方程组无解；综上所述：实数的取值范围为；（3），；当时，由（2）知：，满足；当时，由（2）知：；若，则；当时，由（2）知：或；若，则且；综上所述：实数的取值范围为.23．（2021·上海市奉贤中学高一期末）（1）求证：；（2）已知，，且，用反证法证明：和中至少有一个小于2.【标准答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【思路点拨】（1）先计算的范围，进而可得的范围，即可求证；（2）假设，，可得，，两式相加得出矛盾即可求证.【精准解析】（1）因为，所以，原不等式得证；（2）假设，，因为，，所以，，所以，即与已知条件矛盾，所以和中至少有一个小于2.24．（2021·上海市新场中学高一期末）已知集合，集合（1）求集合；（2）若集合，求实数的值；（3）若，求实数的取值范围．【标准答案】（1）；（2）或；（3）．【思路点拨】（1）直接解方程可求集合；（2），则且，将代入方程求出的值，再将的值代入方程，解方程可得集合，检验是否满足条件即可；（3）若，则，可得或或或；分别讨论这四种情况即可求解.【精准解析】（1）；（2）由（1）知：，若集合，则且，将代入方程可得，解得：或；当时，原方程可化为，解得：或，此时，满足，当时，原方程可化为，解得：或，此时，满足，所以或；（3）若，则，所以或或或；当时，方程无解，所以，解得：，若，则方程有两个相等的实根，所以此时无解，若，则方程有两个相等的实根，所以此时无解，若，则方程有两个不相等的实根，所以此时无解，综上所述：实数的取值范围为.25．（2021·上海市新场中学高一期末）已知命题：，命题：（1）若是必要非充分条件，求实数的取值范围；（2）求证：是成立的充要条件．【标准答案】（1）；（2）证明见解析．【思路点拨】（1）设，，由题意可知是的真子集，分和两种情况讨论，列出满足条件的不等式组即可求解；（2）分别证明充分性和必要性即可.【精准解析】设，，若是必要非充分条件，则是的真子集，当时，，此时满足是的真子集，符合题意；当时，若是的真子集，则，所以，综上所述：实数的取值范围为：；（2）充分性：若，则若，则，所以命题：可得出命题：；故充分性成立；必要性：若，则，若命题：可得出命题：，则，所以，故必要性成立；综上所述：是成立的充要条件.26．（2021·上海市新场中学高一期末）若，，，全集为实数集，（1）求集合，（2）如果，求实数的取值范围．【标准答案】（1），；（2）【思路点拨】（1）直接进行补集运算可得，再与集合进行交集运算可得；（2）先求时，实数的范围，再求补集即可求解.【精准解析】（1）因为，全集为实数集，所以，因为，所以；（2）因为，，如果，则，所以如果，可得，所以实数的取值范围为.27．（2021·上海市延安中学高一期末）设集合.（1）将集合中的元素进行从小到大的排列，求最小的六个元素组成的子集；（2）对任意的，判定和是否是集合中的元素？并证明你的结论.【标准答案】（1）；（2）存在或存在，一定是集合中的元素，证明见解析.【思路点拨】（1）从0依次令为自然数，计算可得集合B；（2）举例，但，.设，，计算，可得结论.【精准解析】解：（1）当时，；当，或时，；当时，；当时，；当，或时，；当时，；所以最小的六个元素组成的子集；（2）存在或存在，一定是集合中的元素.如：，但，.一定是集合中的元素.设，，则，且，所以.28．（2021·上海大学附属南翔高级中学高一期末）已知集合（1）若，求实数的取值范围；（2）若A中至多有一个元素，求实数的值，并写出相应的集合；（3）若A中至少有两个元素，求实数的取值范围.【标准答案】（1）；（2）实数的取值为；当时，；当时，；当时，；（3）【思路点拨】（1）方程无解，则，根据判别式即可求解；（2）分方程无解或者一个解讨论即可；（3）由题意可知有两个不等的实根，由判别式求解即可.【精准解析】（1）若A是空集，则方程无解，此时且，即，所以的取值范围为；（2）若A中至多有一个元素，则方程有且只有一个实根或者无解，若方程有且只有一个实根，则当时，方程为一元一次方程，满足条件，当时，此时，解得：，若方程无解，由（1）可知，综上可知：若A中至多有一个元素，则实数的取值为；当时，；当时，；当时，；（3）若A中至少有两个元素，则有两个不等的实数根，此时且，解得且，所以a的取值范围是.29．（2021·上海市奉贤中学高一期末）已知集合（，，）具有性质：对任意（），与至少一个属于.（1）分别判断集合，与是否具有性质，并说明理由；（2）具有性质，当时，求集合；（3）①求证：；②求证：.【标准答案】（1）集合M具有，集合N不具有，理由见详解（2）（3）证明见详解【思路点拨】（1）利用性质的定义判断即可；（2）利用，可得，又，，分析可得，即得解；（3）①由，，可证明；②由，以及，可得，将等式左右两边相加可证明.【精准解析】（1）集合具有性质，集合不具有性质理由如下：对集合，由于所以集合具有性质；对集合，由于，故集合不具有性质.（2）由于，故又，故又，故因此集合（3）①由于，故，故得证②由于故又将各个式子左右两边相加可得：故得证30．（2021·上海