期末金牌恒成立问题训练-2021-2022学年高二数学上学期期末金牌模拟试卷（2019选择性）

20212022学年高二上学期期末金牌恒成立问题训练（时间：60分钟总分：100）班级姓名得分一、单选题已知函数fx=−x3,x≤0.lnx+1,x>0.，若fA.−14,0 B.−12,0【答案】C【解析】【分析】

本题主要考查不等式恒成立问题的解法，考查分段函数的运用，属于中档题．

先画出函数图象，分为x>0和x≤0讨论．

【解答】

解：画出y=f(x)和y=ax−14的图象如下：

∵直线y=ax−14过点0,−14且以a为斜率，

由图可知，x>0时，ax−14≤lnx+1成立的充要条件时a≤0；

x≤0时，ax−14≤−x3的临界状态是相切，

设切点为(x0,y0)，f′已知f(x)是定义在R上的增函数，函数y=f(x−1)的图像关于点(1,0)对称，若对任意的x，y∈R，等式f(y−3)+f(4x−x2−3)=0恒成立，则A.[2−233,3] B.[1,2+23【答案】A【解析】【分析】

本题考查函数的单调性和奇偶性的运用，考查直线的斜率和直线和圆的位置关系，考查数形结合的思想方法，考查运算能力，难度较大．

由平移规律，可得y=f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数，即有f(−x)=−f(x)，结合函数的单调性等式可化为y−3=−4x−x2−3，平方即可得到y为以(2,3)为圆心，1为半径的下半圆，再由直线的斜率公式，yx=y−0x−0可看作是半圆上的点与原点的连线的斜率，通过图象观察，过O的直线OA，OB的斜率即为最值，求出它们即可．

【解答】

解：函数y=f(x)的图象可由y=f(x−1)的图象向左平移1个单位得到，

由于y=f(x−1)的图象关于点(1,0)对称，

则y=f(x)的图象关于原点对称，

则f(x)为奇函数，即有f(−x)=−f(x)，

则等式f(y−3)+f(4x−x2−3)=0恒成立即为

f(y−3)=−f(4x−x2−3)=f(−4x−x2−3)，

又f(x)是定义在R上的增函数，则有y−3=−4x−x2−3，

两边平方可得，(x−2)2+(y−3)2=1，

即有y=3−4x−x2−3为以(2,3)为圆心，1为半径的下半圆，

则y已知EF是圆C：x2+y2−2x−4y+3=0的一条弦，且CE⊥CF，P是EF的中点，当弦EF在圆C上运动时，直线l：x−y−3=0上存在两点A，B，使得∠APB≥A.32+1 B.42+2 C.【答案】B【解析】解：由题可知：圆C：x2+y2−2x−4y+3=0，即(x−1)2+(y−2)2=2，圆心C(1,2)，半径r=2，

又CE⊥CF，P是EF的中点，所以CP=12EF=1，所以点P的轨迹方程(x−1)2+(y−2)2=1，

圆心为点C(1,2)，半径为R=1，若直线l：x−y−3=0上存在两点A，B，使得∠APB≥π2恒成立，

则以AB为直径的圆要包括圆(x−1)2+(y−2在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=1与圆(x−n)2+y2=n2(n为常数，n∈N ∗)交于An，Bn两点，点Cn是圆(x−n)2+y2=nA.(1,+∞) B.[1,+∞) C.(2,+∞) D.[2,+∞)【答案】B【解析】【分析】

本题主要考查向量的数量积、平面向量的坐标运算、点到直线的距离公式，裂项相消法求解数列的前n项和以及不等式的恒成立问题，体现了数学运算、逻辑推理能力，属于较难题．

由题意，假设点An在第一象限，点Bn在第四象限，由x2+y2=1x−n2+y2=n2可求出An、Bn坐标；设Cnx,y，利用向量的坐标运算得到CnAn·CnBn=2n−1nx−1+12n2，根据题设条件得到Cn2n,0，于是得到数列an的通项公式为an=1nn+1，n∈N∗，利用裂项相消法求解该数列的前n项和，从而得到实数t的取值范围．

【解答】

解：由题意，不妨设点An在第一象限，点Bn在第四象限，

由x2+y2=1x−n2+y2=n2，即得An12n,4n2−12n，Bn12n已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别是F1(−c,0),F2(c,0)A.13,1 B.13,63【答案】C【解析】【分析】

本题考查了椭圆的方程、性质，椭圆的离心率，转化思想是解题关键，属于中档题．

首先根据M在椭圆内部求出其离心率的一个范围，再利用椭圆定义以及三角形边之间关系，求得PM−PF1⩽MF1=a3求解离心率一个范围，两个范围取交集即为答案．

【解答】

解：∴ca<63，

PF2+PM=2a−PF1即7a<15c,    e=ca>715，

则椭圆离心率的取值范围是7

已知过双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的中心的直线交双曲线于点A,B，在双曲线C上任取与点A,B不重合的点P，记直线PA,PB,AB的斜率分别为kA.1,2 B.(1,2] C.(【答案】D【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，属于拔高题．

设P(x,y )，A(x0,y0)，由题意B(−x0,−【解答】解：设P(x,y )，A(x0,y0)，由题意B(−x0,−y0)，x≠±x0，

则x2a2−y2b2=1，x02a2−y02b2

在抛物线x2=12y第一象限内一点an,yn处的切线与x轴交点的横坐标记为an+1，其中n∈N∗，已知a2A.16 B.32 C.64 D.128【答案】D【解析】【分析】

本题考查数列与函数的综合，注意导数、切线方程和等比数列性质的灵活运用，属中档题．

由已知条件结合等比数列的性质即可求出结果．

【解答】

解：∵y=2x2(x>0)，

∴y′=4x，

∴x2=12y在第一象限内图象上一点an,yn处的切线方程是：y−2an2=4an(x−an)，

整理，得4anx−y−2an2=0，

∵切线与设数列an满足：a1+a2+a3+⋯+an=n−an,n∈N∗，Sn为数列A.数列an−1是等比数列

B.数列bn的最大项为b3或b4

C.t的取值范围为−1【答案】C【解析】【分析】

本题考查数列的递推公式及数列的通项公式，数列的函数特征，属于中档题．

依题意得，Sn=n−an，当n=1时，S1=1−a1，得a1=12，当n⩾2时，Sn−1=n−1−an−1，相减得，an=1−an+an−1，则an−1an−1−1=12，则数列an−1是等比数列，首项为a1−1=−12，公比为12，得an−1=−12n，即an=1−12n，再结合选项依次判断即可．

【解答】

解：依题意得Sn=n−an，

当n=1时，S1=1−a1，得a1=12，

当n⩾2时，Sn−1=n−1−an−1，

相减得an=1−an+an−1，

即an=12an−1+1，

则an−1=12an−1−1，得an已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．令bn=1anan+2，数列bn的前A.λ≥13 B.λ>15 C.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查等差数列和等比数列性质的运用，以及运用裂项相消法求前n项和．考查了转化与化归思想，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．

本题先根据等差数列的求和公式写出S1，S2，S4关于a1的表达式，然后根据等比数列的性质列出算式并解出a1的值，即可得到等差数列{an【解答】解：由题意，可知

S1=a1，S2=2a1+2×12×2=2a1+2，S4=4a1+4×32×2=4a1+12，

∵S1，S2，S4成等比数列，

∴S22=S1⋅S4

已知递增的等差数列{an}的前n项和为Sn，a1⋅a7=5，aA.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，裂项相消法求和，数列的单调性，属于中档题．

由已知可求得a1和公差d，根据等差数列的求和公式得到Sn，利用裂项相消法求得【解答】解：∵等差数列{an}满足a2+a6=6，∴a1+a7=6，又a1⋅a7=5，

∴a1=1a7=5，或a1=5a7=1，

∵等差数列{an}是递增数列，∴a1=1，a7=5，

设公差为d，则a7=a1+6d=5，

函数fx=−x3−2x2+4x，当A.−3,11 B.3,11 【答案】D【解析】【分析】

本题考查了函数最值，不等式恒成立问题，一般是转化为函数的最值问题来解决，而本题涉及到了可导函数在闭区间上的最值问题，因此我们只要从端点值和极值中找最值，注意计算的准确，属于中档题．要使原式恒成立，只需m2−14m≤f(x)【解答】解：因为f(x)=−x3所以f′(x)=−3x2−4x+4，令f′(x)=0因为该函数在闭区间[−3,3]上连续可导，且极值点处的导数为零，所以最小值一定在端点处或极值点处取得，而f(−3)=−3，f(−2)=−8，f(23)=所以该函数的最小值为−33，因为f(x)≥m只需m2即m2−14m≤−33解得3≤m≤11．故选D．

若对于任意的实数x∈(0,+∞)，不等式|1−x2|+e|lnx|≥a2A.[−1,1] B.[−34,34]【答案】D【解析】【分析】

本题考查利用导数求函数的单调性、最值、不等式恒成立问题，属中档题．

先分类讨论去绝对值，分别判断函数的单调性，从而得出函数的最小值为1，再利用恒成立问题求解实数a的范围即得．

【解答】

解：记f(x)=|1−x2|+e|lnx|=1−x2+1x,0<x≤1x2+x−1,x>1

当0<x≤1时，f/(x)=−2x−1x2<0，

即f(x)在(0,1]上单调递减，

当x>1时，f/(x)=2x+1>0，

所以，f(x)在(1,+∞)上单调递增，

所以，f(x)的最小值为f(1)=1．

已知函数y=fx在R上可导且f0=2，其导函数f′x满足，f′x−fxx−2>0，若函数gA.函数gx在2,+∞上为增函数

B.x=2是函数gx的极小值点

C.x≤0时，不等式fx≤2ex【答案】C【解析】【分析】

本题考查利用导数研究函数的单调性、极值以及恒成立和零点问题，属于中档题．

由g′(x)=f′(x)−f(x)ex，可得g(x)的单调性；由单调性可判断极值点，进而判断函数g(x)的零点，由g(x)的单调性可求g(x)的最值，进而判断C．

【解答】

解：因为g′(x)=f′(x)−f(x)ex，所以当x>2时，g′(x)>0，∴g(x)在(2,+∞)上单调递增，A选项正确；

当x<2时，g′(x)<0，∴g(x)在(−∞,2)上单调递减，∴g(x)极小值=g(2)，B选项正确；

若g(2)<0，且g(0)=2>0，则y=g(x)有一个或两个零点；若g(2)=0，则y=g(x)有1个零点；若g(2)>0，则y=g(x)有没有零点，所以D选项正确；

∵g(x)在(−∞,2)上单调递减，∴g(x)在(−∞,0]上单调递减，∴g(x)≥g(0)=f(0)二、多选题已知P是双曲线C：x24−y2m=1上任意一点，A，B是双曲线的两个顶点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2A.双曲线的方程为x24−y2=1

B.双曲线的离心率为3

C.函数y=logax+1+5a>0,a≠1的图象恒过双曲线C的一个焦点

【答案】AC【解析】【分析】本题考查了双曲线的性质，直线斜率的表示，基本不等式的运用，考查了分析和转化能力，属于中档题．

先假设点的坐标，代入双曲线方程，利用直线的斜率可得斜率之积为定值，

再利用|k1|+|k2【解答】解：由题意设A(−2,0)，P(p,q)，则B(2,0)，

因为P在双曲线上，

则有 p24−q2m=1，∴m4=q2p2−4

k1=kAP=qp+2,k2=kBP=qp−2，

所以k1k2=m4>0，

所以k1+k2⩾2k1k2=m，当且仅当|k1|=|k2|时取等号，

又|k1|+|k2|⩾t恒成立，且实数t的最大值为1，

所以m=1，解得m=1，

所以A、双曲线C

设函数y=f(x)由方程x|x|4+y|y|=1确定，关于函数f(x)下列结论中错误的是(    )A.存在x1,x2∈R，x1≠x2，使得f(x1)−f(x2)x1−x2>0成立；

B.∃a,b∈R,a≠b，使得b=f(a)【答案】ABD【解析】【分析】

本题考查函数的单调性、分段函数的图象及圆锥曲线的综合，属于难题。

对方程x|x|4+y|y|=1中的绝对值符号进行分类讨论，得到四种情况下的解析式，根据圆锥曲线的图象得到f(x)这个分段函数的图象，通过图象判定单调性，确定A的正误。对a和b的正负进行分类讨论，从而判定b=f(a)和a=f(b)组成的方程组是否有解，从而判定B的正误。根据f(x)图象的变化趋势和变化速度的趋势判定C和D的正误。

【解答】

解：根据题意，方程x|x|4+y|y|=1，当x≥0且当x<0且y≥0时，方程为−x24+y2=1，即y当x≥0且y<0是时，方程为x24−y对于A，f(x)是定义域R上的单调减函数，则对于任意的x1，x2∈R，x1≠x2，使得f(x1)−f(x2)x1−x2<0成立，A错误；

故B不存在a，b∈R，a≠b，使得b=f(a)且a=f(b)同时成立，②错误；对于C，对于任意x∈R，2f(x)+x>0恒成立，即f(x)>−12x，由函数的图象可知，f(x)>−12x恒成立，C正确；

对于D，当t=12时，此时tf(x

已知数列an不是常数列，其前n项和为Sn，则下列选项正确的是(

)A.若数列an为等差数列，Sn>0恒成立，则an为递增数列

B.若数列an为等差数列，a1>0，S3=S10，则Sn的最大值在n=6或7时取得

C.【答案】ABC【解析】【分析】

本题考查等差数列、等比数列的概念、通项公式、性质以及前n项和公式的应用，属于中档题．

A：由条件可得d>0，继而可知结果；B：由条件可得当n⩽7时，an⩾0，a7=0，继而可知结果；C：由条件可得S2021⋅a2021=a12⋅q2020⋅1−q20211−q>0对于B：若数列an为等差数列，a1>0，设公差为d，由S3=S10，得3a1+3×22d=10a1+10×92d，即a1=−6d．

故an=(n−7)d，所以，当n⩽7时，an⩾0，a7=0，故Sn的最大值在n=6或7时取得，故B正确；

关于函数，下列说法正确的是A.当a=1时，fx在x=0处的切线方程为y=x

B.若函数fx在上恰有一个极值，则a=0

C.对任意a>0，fx≥0恒成立

D.当a=1时，fx在【答案】ABD【解析】【分析】

本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，直接法，逐一验证选项，选项A，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程，选项B通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C、D，通过构造函数，将零点问题转化判断函数与直线y=a的交点问题．

【解答】

解：选项A，当a=1时，f(x)=ex−cosx，x∈(−π,π)，所以f(0)=0，故切点为(0,1)，f′(x)=故直线方程为：y−0=1(x−0)，即切线方程为：y=x，

选项A符合题意；选项B，当a=1时，f(x)=ex−cosx，x∈(−π,π)，f′(x)=ex−sinx，f″(x)=ex−cosx>0恒成立，所以f′(x)对于选项C、D，f(x)=aex−cosx，x∈(−π,π)，令f(x)=0，即aex−cosx=0，x∈(−π,π)，令F′(x)=0，解得，k∈(−4,4)故选项C，任意a>0故选ABD．

三、单空题设点Pi(xi,yi)是直线li:【答案】3【解析】【分析】本题考查了直线经过定点问题、直线平行、两点之间的距离公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题

点Pi(xi,yi)在直线li:aix+biy=ci上，ai+bi=ici(i=1,2)，可得l1过定点M(1,1)，

l2过定点N(12,12)，又|P1P2|≥22恒成立，l1//l2，而|MN|=22，可得MN⊥li(i=1,2).即可得出．

直角坐标系xOy中，已知MN是圆C：的一条弦，且CM⊥CN，P是MN的中点.当弦MN在圆C上运动时，直线l：上总存在两点A，B，使得∠APB⩾π2恒成立，则线段AB长度的最小值是

．【答案】8【解析】【分析】本题考查了直线和圆的关系的应用，考查了点与圆的位置关系，圆的性质等．

依题意，点P在以C为圆心以1为半径的圆上，要使得∠APB≥π2恒成立，则点P所在的圆在以AB为直径的圆的内部，所以【解答】解：由圆C：可知圆心C(4,5)，半径为2，

因为P为MN的中点，所以CP⊥MN，

又因为CM⊥CN，所以三角形CMN为等腰直角三角形，所以CP=1，

即点P在以C为圆心，以1为半径的圆上，点P所在圆的方程为(x−4)2+(y−5)2=1，

要使得∠APB≥π2恒成立，则点P所在的圆在以AB为直径的圆的内部，

而A，B在直线l：x−y−7=0上，

点C到直线l：x−y−7=0的距离d=|4−5−7|1+1=42．

所以以AB为直径的圆的半径的最小值为r=4

在等腰梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2,AD=1,CD=2x，其中x∈(0,1)，以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，若对任意x∈(0,1)，不等式t<【答案】5【解析】【分析】

本题主要考查椭圆的定义和简单性质、双曲线的定义和简单性质等基础知识．

解题时根据余弦定理表示出|BD|，进而根据双曲线的定义可得到a1的值，再由|AB|=2c1，e=ca可表示出e1，同样的在椭圆中用c2和a2表示出e2，然后利用换元法即可求出e1+e2的取值范围，即得结论．

【解答】

解：在等腰梯形ABCD中，BD2=AD2+AB2−2AD×ABcos∠DAB=1+4−2×1×2×(−1)x=1+4x，由双曲线的定义可得a1=1+4x−12，c1=1，e1=21+4x−1，

由椭圆的定义可得a2=已知等差数列an满足a2=2，a3+a7=10，数列bn满足bn=an+1−anan+1【答案】(−∞,−2]∪[2,+∞)【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，裂项求和，不等式恒成立，难度较大．

由题意得方程组求得基本量，得通项公式，从而由裂项求和得Sn=1a1−1an+1=1−1n+1(n∈N∗)【解答】解：设等差数列{an}公差为d，

则由已知得a2=a1+d=2a3+a7=2a1+8d=10，

解得a1=1d=1，

所以an=n(n∈N∗)，

bn=an+1−anan+1an=1an−1

已知a,b∈R，关于x的不等式x3+ax2+bx+1≤1在x∈[0,2]上恒成立，则当b取得最大值时，【答案】[−【解析】【分析】

本题主要考查函数的性质，导数的应用以及不等式恒成立问题，难度较大．

先验证x=0时，不等式恒成立，再二次函数求得a，b的最大值，再分离参数的方法得到−2x−x2⩽ax+b⩽−x2，然后利用导数求a的取值范围，即可得到答案．

【解答】

解：由题可知：当x=0时，不等式化为1⩽1，显然恒成立；

当x∈0,2时，由−1⩽x3+ax2+bx+1⩽1，得到−2−x3⩽ax2+bx⩽−x3，

即−2x−x2⩽ax+b⩽−x2恒成立，即函数y=ax+b在．

f′x=2x2−2x,令f′x=0,则x=1，当

由图可知四、解答题在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x−42+y2=1，且圆C与x轴交于M，N两点，设直线l的方程为y=kx(k>0)(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；(2)已知直线l与圆C相交于A，B两点．直线AM与直线BN相交于点P，直线AM，直线BN，直线OP的斜率分别为k1，k2，k3，是否存在常数a，使得k1【答案】解：(1)由题意，k>0，∴圆心C到直线l的距离d=4k1+k2，

∵直线l与圆C相切，∴d=4k1+k2=1，∴k=1515，

∴直线l:y=1515x．

(2)存在常数a，使得k1+k2=ak3恒成立．

证明：将lAM:y=k1(x−3)与圆C:(x−4)2+y2=1联立，

得：(x−3)[(1+k12)x−(3k12+5)]=0，

∴xM=3，xA=3k12+51+【解析】本题考查直线与圆的综合应用，属于难题．

(1)由题意得k>0，根据圆心C到直线l的距离等于半径得到k的方程即可求出k的值，从而得到直线l的方程；

(2)假设存在，将直线与圆联立消去y后，根据韦达定理得到A、B点坐标，由kOA=kOB，得到(1+k1k2)(3k已知圆C的圆心在x轴的负半轴上，且圆C与直线x=1及直线y=−3(Ⅰ)求圆C的标准方程．(Ⅱ)若直线my−x−2=0(m∈R)与圆C相交于A，B两点，与x轴交于点M，点N为x轴上点M左侧的一点，问：是否存在定点N，使得kAN+kBN=0(kAN,k【答案】解：

(Ⅰ)设圆心C的坐标为(t,0)(t<0)，半径为r.

由题可知r=|t−1|，

且r=|3−33t|1+(33)2=|3−t|2，

所以|t−1|=|3−t|2，

化简可得3t2−2t−5=0(Ⅱ)假设满足题意的定点N存在．

在直线方程my−x−2=0中，令y=0，得x=−2，故M(−2,0).

设Nx0,0，由题可知x0<−2.

设Ax1,y1,Bx2,y2．

由my−x−2=0,(x+1)2+y2=4,消去x可得m2+1y2−2my−3=0.

易知点M在圆C内部，所以Δ>0恒成立．

所以y1+y2=2mm2【解析】本题考查圆的标准方程的求解，直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式，属于中档题．

(Ⅰ)利用直线与圆相切得|3−33t|1+(33)2已知圆C1：x2+y2(1)求两圆公切线的方程．(2)过两圆的公共点(异于坐标原点O)的直线l与圆C1，C2分别相交于另外的两点M，N，在平面内是否存在定点P，使得|PM|=|PN|恒成立？若存在，求出定点【答案】解：(1)圆C1：(x−2)2+y2=4，圆C2：x2+(y−2)2=4，

(2)存在定点P，使得|PM|=|PN|恒成立，理由如下，

由x2+y2−4y=0x2+y2−4x=0，解得x=0,y=0或x=2y=2，

所以直线MN过点(2,2)，当直线斜率不存在时不符合题意，

所以设直线MN的方程为y−2=k(x−2)，即y=kx+2−2k．

由y=kx+2−2kx2+y2−4x=0，解得M2k−12k2+1【解析】本题考查直线与圆的综合应用，圆的标准方程，两圆的公切线方程的确定，考查两条直线垂直的判定，中点坐标公式的应用，属于中档题．

(1)化圆C1与圆C2的方程为标准方程，设公切线的方程为y=kx+b，由|2k+b|1+k2(2)联立两圆方程得x=0,y=0或x=2y=2，即可知直线MN过点(2,2)，设出直线MN的方程，分别与圆C1与圆C2联立求出M，N的坐标，即可得到MN的中点坐标，进而得到线段

已知圆C1：x2+y2(1)求两圆公切线的方程．(2)过两圆的公共点(异于坐标原点O)的直线l与圆C1，C2分别相交于另外的两点M，N，在平面内是否存在定点P，使得|PM|=|PN|恒成立？若存在，求出定点【答案】解：(1)圆C1：(x−2)2+y2=4，圆C2：x2+(y−2)2=4，

(2)由x2+y2−4y=0x2+y2−4x=0，解得x=0,y=0或x=2y=2，

所以直线MN过点(2,2)，

当直线斜率不存在时不符合题意，

所以设直线MN的方程为y−2=k(x−2)，即y=kx+2−2k．

由y=kx+2−2kx2+y2−4x=0，解得M(2(k−1)2k2+1,2(1−【解析】本题考查直线与圆的综合应用，圆的标准方程，两圆的公切线方程的确定，考查两条直线垂直的判定，中点坐标公式的应用，属于中档题．

(1)化圆C1与圆C2的方程为标准方程，设公切线的方程为y=kx+b，由|2k+b|1+k2(2)联立两圆方程得x=0,y=0或x=2y=2，即可知直线MN过点(2,2)，设出直线MN的方程，分别与圆C1与圆C2联立求出M，N的坐标，即可得到MN的中点坐标，进而得到线段

如图，已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1

(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1(3)是否存在常数λ，使得∣AB∣+∣CD【答案】解：(1)由题意知，椭圆离心率为ca=22，

得a=2c，又2a+2c=42+1，

所以可解得a=22，c=2，所以b2=a2−c2=4，

所以椭圆的标准方程为x28+y24=1，

所以椭圆的焦点坐标为(±2,0)，

因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，

所以该双曲线的标准方程为x24−y24=1；

(2)设点P(x0,y0)，

则k1=y0x0+2，k2=y0x0−2，

∴k1⋅k2=y0x0+2·y0x0−2=y02x02【解析】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的